1.2·不定積分的換元積分法與分部積分法ppt課件

1、43 不定積分的換元積分法與分部積分法不定積分的換元積分法與分部積分法案例研究案例研究案例案例4.3.1 太陽(yáng)能的能量：太陽(yáng)能的能量：太陽(yáng)能發(fā)電廠 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College某一太陽(yáng)能的能量 f 相對(duì)于太陽(yáng)接觸的表面面積的 變化率為 d0.005.d0.011fAA且當(dāng) 0A時(shí)， 0.f 試 求 f 的函數(shù)表達(dá)式. 分析分析 該問(wèn)題實(shí)際上是求不定積分該問(wèn)題實(shí)際上是求不定積分d0.005dd .d0.011ffAAAA 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng)

2、 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College案例案例4.3.2 天然氣的產(chǎn)量：天然氣的產(chǎn)量：海上石油鉆井平臺(tái) 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College工程師們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)新開發(fā)的天然氣井t月的總產(chǎn) 量P單位： 6310 m）的變化率為 0.02d0.0849,dtPtet試求總產(chǎn)量函數(shù) ( ).PP t分析分析 該問(wèn)題實(shí)際上是求不定積分該問(wèn)題實(shí)際上是求不定積分

3、0.02dd0.0849d .dtPPttett問(wèn)：以上兩個(gè)案例，實(shí)際上是需要解決什么問(wèn)題？問(wèn)：以上兩個(gè)案例，實(shí)際上是需要解決什么問(wèn)題？ 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College抽象歸納抽象歸納第一類換元積分法第一類換元積分法例例 求積分求積分 1cos2 dcos22d2xxxx問(wèn)：你能驗(yàn)證上式的正確性嗎？問(wèn)：你能驗(yàn)證上式的正確性嗎？cos2 d .xx211cos2 d(2 )cos d22xuxxu u令211sinsin2.22uxuCxC回代 湖湖

4、南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College結(jié)論結(jié)論 若所求的積分若所求的積分 ( )dg xx中的被積函數(shù) ( )g x可化為 ( ) ( )( ),g xfxx則有 ( )d( )( )dg xxfxxx d ( )fxx湊微分 ( )dxuf uu令( )F uC積分()( ).uxFxC回代通常把這種求不定積分的方法叫做第一類換元積 分法分法 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic R

5、elations & Trade College問(wèn)：上述四步中，關(guān)鍵是哪一步？問(wèn)：上述四步中，關(guān)鍵是哪一步？關(guān)鍵：選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q關(guān)鍵：選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q ( ),uxf=將 ( )g x dx湊 成 ( ) d ( ),fxx因此第一類換元法又叫湊微分法 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例1 求求 解解 湊微分11d 21221xx11:21d2xuuu 換元1ln2uC積分1:21ln 21.2uxxC回代簡(jiǎn)寫為：.dxx121dxx

6、1211112121221dxdxxx1ln 2x1C.2=+ 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College案例案例4.3.1的解的解 0.005d0.011fAA120.005(0.011)d(0.011)0.01AA120.5 2(0.011)AC0.011AC 將 0A時(shí)， 0f 代入上式，得 1.C 所以，所求 f 的表達(dá)式為0.011 1.fA 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Econo

7、mic Relations & Trade College例例2 求求 tan d .xx解解 sintancosxxdxdxx1d(cos )cosxx ln |cos |xC= -+課堂訓(xùn)練：課堂訓(xùn)練： Cxxdx|sin|lncot. 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例3 求求csc d .xx解解 ddcsc dsin2sincos22xxxxxxx2d2tancos22xxxd tan2ln tan.2tan2xxCx 湖湖 南南

8、對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College因?yàn)?2sin2sin22tan2cos2sincos222xxxxxx1 coscsccot .sinxxxx所以csc dln csccot.xxxxC利用例3的結(jié)論，可求得sec dln sectan.xxxxC 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例4 求求 221d ,(0).xax

9、a解解 2211dd()()xxxaxa xa111()d2xaxaxa111d()d()2xaxaaxaxa1ln|ln|2xaxaCa1ln.2xaCaxa 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例5 求求 cos3 cos2 d .xxx解解 1cos3 cos2 d(cos5cos )d2xxxxxx1 1cos5 d(5 )cos d2 5xxx x11sin5sin.102xxC=+ 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè)

10、學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College第二類換元積分法第二類換元積分法例例 求積分求積分 sind .xxx分析分析 設(shè)設(shè) 2(0),d2 d .xttxt t則于是 sinsind2 dxtxt ttx2 sin d2cost ttC 2cosxC 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College結(jié)論：結(jié)論： 1( )1( )d ( )( )d( )( ).xttxf xxftttF tC

11、FxC回代這種求不定積分的方法叫做第二類換元積分法. 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例6 求求 dd .1xxxx解解 設(shè)設(shè) 1(0),xt t-=即 21,xtd2 d ,xt t則于是2d12 d1x xtt ttx3221 d2,3ttttC再將 1tx=-代回后整理，得d221.31x xxxCx 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations &am

12、p; Trade College例例7 求求 22d ,(0).axx a解解 設(shè)設(shè) sin (),22xattpp=-那么 22dcoscos daxxat at t2221 cos2cos dd2tat tat221(sin2 )(sin cos ).222aattCtttC 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College因?yàn)?sin,xta=那么 2cos1,xta驏=-桫代入上式得22222darcsin.22axxaxxaxCa本題中的變量代換稱為三角代換

13、. 利用三角代換， 可求解含有 2222xaax- 的函數(shù)的積分問(wèn)題. 及 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College分部積分法分部積分法例例 求積分求積分 cos d .xxx分析分析 這類積分是兩類函數(shù)的乘積，不便于用上述這類積分是兩類函數(shù)的乘積，不便于用上述 方法求積分。下面我們研究一種新方法。 ()()uvvuuvuvuvvu兩邊積分，得d() dduvxuvxvux,即dd .uvxuvvux 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè)

14、 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College上述公式稱為分部積分公式，用分部積分公式求積 分的方法稱為分部積分法. 上式可改寫為： dd .u vuvv u分部積法的步驟：分部積法的步驟：ddduvxu vuvv u湊微d( ).uvvuxF xC分部積分問(wèn)：分部積分法的基本思想是什么？（轉(zhuǎn)化）問(wèn)：分部積分法的基本思想是什么？（轉(zhuǎn)化）將一個(gè)函數(shù)的積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)函數(shù)的積分問(wèn) 題，從而求得其解。 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Rel

15、ations & Trade College例例8 求求 cos d .xxx解解 cos dd(sin )xxxxxsincosxxxC=+討論討論 求上述積分時(shí)，若將求上述積分時(shí)，若將x湊微分，可以求出積湊微分，可以求出積 分嗎？ 湊微口訣：指三冪對(duì)反湊微口訣：指三冪對(duì)反xdxxxsinsin 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College案例案例4.3.2的解的解 0.020.0849dtPtet0.0210.0849 d0.02tte0.020.02

16、110.0849d(0.0849 )0.020.02ttteet0.020.024.2454.245dttteet 0.020.024.245212.25.ttteeC 依題意，當(dāng) 0t 時(shí)， 0.P 代入上式，得 212.25.C 0.020.024.245212.25212.25.ttPtee 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例9 求求 解解 22ln dlndxxxx xx31ln d()3xx3311lnd(ln )33xxxx33111ln

17、d33xxxxx3211lnd33xxxx3311ln.39xxxC.xdxxln2 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例10 求求 解解 lnd(ln )xxxxlndxxxln.xxxC.xdxln)(ln1lnlnxxddxxxdx 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外 經(jīng)經(jīng) 濟(jì)濟(jì) 貿(mào)貿(mào) 易易 職職 業(yè)業(yè) 學(xué)學(xué) 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例11 求求 d .xex解解 設(shè)設(shè) ,xt=即 2,xt=那么 d2 dxt t,于是d2d2d()xttextette2(d )ttteet2()ttteeC2(1).xexC 湖湖 南南 對(duì)對(duì) 外外