1.2可分離變量的微分方程(1)ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程 二、典型例題二、典型例題 三、小結(jié)三、小結(jié)一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(yg和和)(xf是連續(xù)的是連續(xù)的, dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù), CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程

2、.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12|lnCxy .2為為所所求求通通解解xCey 二、典型例題二、典型例題例例 2 2 衰衰變變問(wèn)問(wèn)題題:衰衰變變速速度度與與未未衰衰變變?cè)幼雍苛縈成成正正比比 ,已已知知00MMt ,求求衰衰變變過(guò)過(guò)程程中中鈾鈾含含量量)(tM隨隨時(shí)時(shí)間間t變變化化的的規(guī)規(guī)律律. 解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(衰衰變變系系數(shù)數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入,ln|ln1CtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律例

3、例 3 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小孔水從它的底部小孔流出流出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開(kāi)始時(shí)開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿(mǎn)了水容器內(nèi)盛滿(mǎn)了水, 求水從小孔流出過(guò)程中容器里求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間隨時(shí)間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由力學(xué)知識(shí)得由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時(shí)間

4、間隔設(shè)在微小的時(shí)間間隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 21cms dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為分離變量法步驟分離

5、變量法步驟: :1、分離變量、分離變量;2、兩端積分、兩端積分-隱式通解隱式通解.三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考題解答思考題解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿(mǎn)足

6、所給初始條件的特解求下列微分方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng), ,這外力這外力和時(shí)間成正比和時(shí)間成正比, ,和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比. .在在10 t秒時(shí)秒時(shí), ,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問(wèn)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)了一分鐘后的速度是多少問(wèn)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點(diǎn)點(diǎn) 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線(xiàn)兩岸為平行直線(xiàn)).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系系數(shù)數(shù)為為).).求小船的航行路求小船的航行路線(xiàn)線(xiàn) . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 .