等效法處理“填補(bǔ)法”類題目

1、等效法處理“填補(bǔ)法”類題目湖北省恩施高中陳恩譜在萬(wàn)有引力和靜電場(chǎng)一章，有一類題目，在物質(zhì)或電荷的幾何分布出現(xiàn)對(duì)稱的破缺后，若直接用微元法和平行四邊形定則求解，數(shù)學(xué)計(jì)算繁復(fù)。對(duì)這類題目，大多資料介紹的方法是填補(bǔ)法：若填補(bǔ)這些空缺后，使得原來(lái)不對(duì)稱的分布變成對(duì)稱的分布，從而根據(jù)對(duì)稱性，用現(xiàn)有的物理規(guī)律即可獲得待求的物理量。不過(guò)，“填補(bǔ)法”思路實(shí)際上打的是迂回戰(zhàn)術(shù)，需要先填回去再挖掉，這樣 的反復(fù)對(duì)學(xué)生提出了較高的思維能力要求，致使其掌握效果不佳。筆者為克服“填補(bǔ)法”的這個(gè)缺陷，在總結(jié)了大量類似題目后，提出了一種更直接的方法一一等效法，這種方法從數(shù)學(xué)角度講和“填補(bǔ)法”是等價(jià)的，但是因?yàn)樗悸分苯?，?duì)學(xué)

2、生思維能力要求低，所以學(xué)生掌握起來(lái)就相對(duì)容易一些。特此介紹，并期與同行交流?！纠?】如圖所示，陰影區(qū)域是“質(zhì)量為M、半徑為R的球體”挖去一個(gè)小圓球后的剩余部分.所挖去的小圓球的球心0 '和大球體球心間的距離是R/2.求球體剩余部分對(duì)球體外離球心0距離為2R、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P的引力F。【解析】 填補(bǔ)法分析：先將挖去部分填補(bǔ)回去，則可得到填補(bǔ)后的球體對(duì)m的引力F合=G-Mm2，這個(gè)F合實(shí)際上是如圖陰影部分和挖去部分對(duì)m的引力的矢量和,(2R)21即F合二F ;而挖去部分對(duì)m的引力為f丄，聯(lián)立解得F二G "吧合(2R |R)2100R2等效法分析：空腔部分可看做是質(zhì)量為詈和-詈的均

3、勻球體組成*，其中M部分與陰影部分8Mmm的引力F1 =G2(2R)223GMm=F1 - F22。100R【例2】如圖所示，m的斥力為F2”(2R*)2,兩力的矢量和為在這些點(diǎn)上各固定 一個(gè)點(diǎn)電荷，除 A點(diǎn)處的電荷量為一q夕卜，其余各點(diǎn)處的電荷量均為+q,則圓心0處()A、B、是半徑為r的圓周上等間距的五個(gè)點(diǎn),A .場(chǎng)強(qiáng)大小為 胃，方向沿0A方向B .場(chǎng)強(qiáng)大小為賈，方向沿A0方向C .場(chǎng)強(qiáng)大小為爺，方向沿0A方向D .場(chǎng)強(qiáng)大小為爺，方向沿A0方向【解析】填補(bǔ)法分析：先將A點(diǎn)處q換成+ q,這時(shí)由對(duì)稱性可知,場(chǎng)強(qiáng)實(shí)際上是 B、C、D、E四點(diǎn)的電荷的合場(chǎng)強(qiáng)E1與A點(diǎn)處+ q的場(chǎng)強(qiáng)E2的矢量和，由

4、 E1 + E2=0可知，E1方向向上，大小為 賈；然后將A點(diǎn)處+ q換回成一q，則一q在0點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E?方向向上,大小為賈,E2與E1的疊加，得到C答案。等效法分析：將A處的q看做是+ q和2q組成，A點(diǎn)處+ q與B、C、D、E四點(diǎn)的+ q在0 點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零，這時(shí)，只需要考慮-2q在0點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)，直接選 C?！究偨Y(jié)】“等效法”的思路就是 將“導(dǎo)致不對(duì)稱的那個(gè)部分”視為“兩個(gè)相反部分”疊合在一 起形成的，其中一部分與原來(lái)的其余部分組合形成對(duì)稱分布，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的?！纠?】如圖1所示，半徑為R均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為 匚，其軸線上任意一點(diǎn) PE =2兀田U _（宀/門（坐標(biāo)為x）的

5、電場(chǎng)強(qiáng)度可以由庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理求出: 方向沿x軸。現(xiàn)考慮單位面積帶電量為 c0的無(wú)限大均勻帶電平板， 從其中間挖去一半徑為 r的圓板, 如圖2所示。則圓孔軸線上任意一點(diǎn) Q （坐標(biāo)為x ）的電場(chǎng)強(qiáng)度為XC. 2j ；0 rrD. 2 Co x【解析】等效法分析：將圖2中空白部分看做是電荷面密度分別為匚0和-；0的兩部分的組合，=1），而面密度分別為-；二o的部分在Q點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為E2=2n0其中面密度分別為 二0的部分與灰色部分組合在一起后在Q點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為Ei=2tv° （分析：r：:，與E2方向相反，則兩者的矢量和為2，二。1 ,本題選A。（r2 +x2【例4】如圖，P、Q為某地

6、區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油。假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為?;石油密度遠(yuǎn)小于 ?，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒(méi) 有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度（正常值）沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和 方向會(huì)與正常情況有微小偏離。 重力加速度在原豎直方向（即PO方向）上的投影相對(duì)于正常值的偏離 叫做“重力加速度反常”。已知引力常數(shù)為 G。設(shè)球形空腔體積為 V，球心深度為d（遠(yuǎn)小于地球半徑），PQ = x，求空腔所引起的 Q點(diǎn)處的重 力加速度反常?！窘馕觥康刃Хǚ治觯嚎涨徊糠挚煽醋鍪敲芏葹閠和- J兩部分的組合，其中密度為的部分與周圍巖石、整個(gè)地球形成所謂正常重力加速度。造成“重力加速度反?！本褪悄莻€(gè)密度為- T的人-GVdg =(d2x2)3/2 -部分，這個(gè)部分在 Q處產(chǎn)生的“引力加速度”為Ag =G 2 ,方向沿OQ斜向上、x -1r其中 M = PV，r = Jd2 +x2 .pTQ重力加速度反常Ag '是這一改變