和差化積、積化和差(理)

1、37 .積化和差、和差化積（理）【教學(xué)目標(biāo)】1. 經(jīng)歷積化和差、和差化積的復(fù)習(xí)過程，進(jìn)一步掌握三角公式系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)；2. 能夠用積化和差、和差化積公式，半角公式解決有關(guān)的三角計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明問題;3. 體會(huì)三角問題中角度的變化，體會(huì)半角與倍角的相對(duì)性，感受辯證唯物主義的思想;【教學(xué)重點(diǎn)】積化和差、和差化積公式，半角公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。【教學(xué)難點(diǎn)】正確運(yùn)用積化和差、和差化積及半角公式解決問題?！局R(shí)整理】1. 積化和差公式1cosG * ') cosG - -) 1；1sin-cossin(-： -') sin(：- -)】；cos二 cos ：=1sin : sin= 

2、7; cos© 亠,) cosC - -) 1.2. 和差化積公式R a + P a - PRa + P a -Psin： sin 2si n cos ,si n si n2cos sin一2 2 2 2Ra + P a - PRa + P a -Pcos： cos - =2cos cos ,cos：cos =-2sinsin 2 2 2 23. 半角公式 前 一-cocos 一1 cota n 一、礦222221 cos：a si1 - cos®tan 21+cos。 si n。4. 萬能公式a2ta n 2sin,cos:2 «1 ta n 1 - ta n2

3、 ,ta n：1 ta n 2CL2ta n21 -ta n2 二2【例題解析】【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】填空：（1）計(jì)算sincos5二12 12（2）若5，且一 %，則tg-二(3) 函數(shù)y =sin(x ) cosx的最小值等于.6(4) 函數(shù)v =COSx COs(x ')的最大值等于3“ 1(5) 已知 tan，貝y sin - cost -.2 2【解答】（1）寧；（2）1 ；（3） - 4 ；（4）、3 ；（5）7。【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】求函數(shù)TLv = 2 cos(x ) cos

4、(x -)+ . 3 sin 2x的值域和最小正周期.【解答】因?yàn)?2 cos(x -)cos(x兀n-)= cos2x cos ,42所以 v 二 cos2x 3 sin 2x 二 2sin(2x),所以 v L 2,2 】，T = ?6 2【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，易，運(yùn)算能力3xx2sin xtan -ta n-22cosx cos2x【題目】證明:【解答】證明：略。【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力nfyry0-1JT Of【題目】（）設(shè)2二，cos（-：i 5）cos ： sin（： 5）sin ，求 an（）2342的值.364(

5、y_tt(2)已知sin(：), cos(其中:-,:為銳角)，求cot( )的值.85524【解答】(1)2 -,所以 sin 二=222ct,所以tan=21 cos：a1 tan2:,為銳角瑋)，泅一)疇，所以一(°2)a.1 - ta n即 tan( ) =2 = 3 2 . 2 .4215 sin- sin (: )-l=si n(：；l')cos亠 sin : cos(:;l：,)= -17計(jì)算得cos 8 ,所以17atan21 cos：5a.1 -ta n2【屬性】咼二，二角比,和差化積與積化和差，解答題，難，運(yùn)算能力ot ncot( )二241 +ta n2

6、【題目】在ABC中，已知a2 b c2 ab.(1) 求也C的大小；3(2) 設(shè)sin As in B，判斷三角形 ABC的形狀。4【解答】解：(1) C =60： ; (2) 由 si A b =魯：吩 A 底- )A-B 二 字, 由.C =60；得，A - B =180； - 60 =120；，所以 cos(A- B) =1即：A二B，三角形ABC為等邊三角形。【課堂反饋】【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】計(jì)算cos2°cos40的值等于sin 20 +sin40【解答】.3【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力24

7、ot【題目】已知是第三象限角，且sin，則tan '等于25 24【解答】-43【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】 化簡(jiǎn)：4sin(60 - v) sin 二 sin(60【解答】sin 3二【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】已知:二乙，二：“：0_0，求y=sin二sin :的最大值與最小值。3【解答】當(dāng) 時(shí),33y ；當(dāng)"°時(shí)，“°?！菊n堂小結(jié)】一號(hào)不表示有兩解，表示符號(hào)不確定，需要選擇;1. 半角的正弦、余弦和正切公式前面的2. 萬能公式的作用是將異名三角比，轉(zhuǎn)化為同名三角比，將

8、三角比轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決;3. “異角化同角”、“復(fù)角化單角”、“異名化同名”以及“切割化弦”等思想方法，是解決 三角問題常用的思想方法；4. 形如 sin 二sin :;cos - cos ： ;sinsin :;cos，cos：的三角比計(jì)算式，習(xí)慣上當(dāng)鳥士/為常數(shù)時(shí)，可以嘗試用和差化積或積化和差公式來解決問題。【課后作業(yè)】【屬性】咼二，二角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】計(jì)算sin丄cosl的值等于8 8【解答】1 42.2 4【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，易，運(yùn)算能力【題目】f兀、(函數(shù)f (x ) = sin ' x +? sin &#

9、39; x +工 的最小正周期是13丿12丿【解答】兀。【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】已知 0 £口 <n，化簡(jiǎn) 寸'1 cosa -Jl+cosa=.【解答】ot n2sin()24【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】兀1H已知cos0十石)=才，求sin。sin(a +§)的值.【解答】兀1兀n 11n1sin sin(。+) =-一 .|cos(2w +) - cos() =-一cos(2a+)+，3233234兀1兀兀7又 cos( ), cos(2 ) =2cos2()-1 二

10、64368所以SM込）罟【題目】已知函數(shù)f（x）=tanx，x；-iO,，且x, x I 0 I 2丿I【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力,為廠x2，求證:2x, x21f （乞2二廠：2f（xi） f（x2）。【解答】證明：略?！緦傩浴扛呷潜?，和差化積與積化和差，填空題，難，運(yùn)算能力1【題目】 已知 cos： cos ：二一，si nr 21宀一3，求 W）的值。1【解答】因?yàn)閏os -cos 一 21 . i（sin2二 rsin2 ） -sin（-：）=2 613 2+ 2 得，22cos（_ _）二一361，sin: -sin，得,3即 sin（二 5

11、 ） bosC - -） -1 - £，12 所以 sin（二 .-）.13【題目資源】【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】貝U cos4x =二 二 1若 sin（x -?cos（x 石）=【解答】-12【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】13 二如果 cos,2 ,則 cos=.522【解答】155【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】已知f(x)= 上若g 包兀則f (cosa) + f (cosg)可化簡(jiǎn)為.H1 + x12丿【解答】2 esc：【屬性】高三，三角比，和差化積與

12、積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】2 二 2 :cos()cos ： cos()化成和差的結(jié)果等于。33【解答】1門cos3：4【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運(yùn)算能力【題目】.丄cos2 尺若tant，則等于。21+sin2 日【解答】2t 2t -12t -2t -1【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，選擇題，易，運(yùn)算能力【題目】24 a已知是第三象限角，并且 sin :=-，貝U tan 等于()25 24(A)-33 34(B) 一(C) 一( D)-4 43【解答】（D）【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，選擇題，難，運(yùn)算能力1【題目】已知cos

13、cos 2，sinsin：s55“、12(A)(B)(C)-13131313，則sin（一八*）的值等于（(D)12131【解答】因?yàn)閏os二-cos 2（sin 2-亠 sin2 ：） -sin（二亠卩）=2 61，sin二一sin，得,31即sin（黒亠卩）Cos（:; 卜）一1丨-6 2+ 2 得，2 -2cos(> - J 二13，所以選C.36【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，選擇題，中，運(yùn)算能力【題目】設(shè)e是第二象限角，則必有（)900(A) tan>cot(B)tan <cot 2222000(C) sin>cos(D)sin <cos 22

14、22【解答】（A）【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】不用計(jì)算器求值：cos21 cos2 50 ： cos2 70 .【解答】原式cos20 1 cos100 1cos140 = 2co曲 cos60 cos1002 23 3 sin10 sin10 3r r =2 2 2 2【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，中，運(yùn)算能力【題目】如果、；-:2 i=3，0汀乞2，則函數(shù)八sinco-的最大值等于 【解答】y = 1 Sin(二! .-) - sin(：-) 1=3 -sin(-)，又因?yàn)?0 _2422住 2兀段 “2兀住 2 兀，所以 卜二

15、一，.- - -, _ ，3 63133 _所以最大值等于.32【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，難，運(yùn)算能力【題目】 在 ABC 中，已知 tan A tan B . 3 = 3 tan Atan B，且 sin Asin B =-，4試判斷 ABC的形狀.【解答】解：在 ABC中tan A tan B = - 3(1 - tan Atan B)，得 n A B) = - _ 3，因?yàn)锳（0,二），所以2A B =-31113又 sinA si心込 Cos(A B) -cosQC)】，所以 4 嚴(yán)-C) q即 cos(A -B) =1，因?yàn)锳-B （-二，二），A-B=0，所

16、以 A = B，即 ABC為等邊三角形.【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力ABC【題目】在厶ABC 中，求證：sin A sinB-sinC = 4sin sin cos.2 2 2【解答】證明：略?！緦傩浴扛呷?，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】若等腰三角形的頂角的正弦值為，求這個(gè)等腰三角形底角的余弦值.25【解答】設(shè)頂角為，底角為一：，所以：2 = ：又因?yàn)閟in=空25上，又 cos '1 cos2 '25.224 7所以 sin(二-2：) ，即 cos2或cos2 -25 25【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，

17、解答題，中，運(yùn)算能力勺，二)，求sin4的值.【題目】已知sin )sin( )=丄，4 46【解答】tHJI由 sin( ) sin( )=4 41兀c 11- coscos2口 =-cos 空.2 I 2丿 21兀所以論一§.又2,因?yàn)閏os2 0,所以2G ( ，2兀)，因此sin 2« =2所以 sin4： - 2sin2： cos2：=4. 29【屬性】咼三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】2 sin 3： 證明：sin：sin3：sin 5：si na【解答】證明：略?！緦傩浴扛呷?，三角比，和差化積與積化和差，解答題，難，運(yùn)算能力【題目】

18、 已知 ABC勺三個(gè)內(nèi)角 A, B, C滿足：A+ C= 2B,1 1+cosA cosCcosB求cos11【解答】由cosA cosC丄得cosBcosA cosC - 2cosAcosC cosB2coscos2 2cosAcosCcosBA -C cos.2 cosA cosC2fcos B又A+C=2B , 所以 B3T,cosB32cos A C = - 2 bos(A C) cos(A-C) 1 2所以 costC=W【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，難，運(yùn)算能力1【題目】 把一sin2 cos(2R-sin sin(2R化簡(jiǎn)所得結(jié)果等于231212【解答】sin 2二【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】梧 sin10" cos70窗算sin 80 cos20【解答】2-、3.【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運(yùn)算能力【題目】 化簡(jiǎn)：cos(120 v)