1.2復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、11( )( )0 ,( ),( ),f xfxffyfy若可導(dǎo)且若的反函數(shù)定理2:存在且連續(xù)則也可導(dǎo) 且1111() ()()()fyfxfxfy 或或,yy證證: : 設(shè)設(shè)自自變變量量有有改改變變量量所所以以00 ,yx 1xyyx 1(),0,0 ,()0 ,xfyyyxfx 在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)同同時(shí)時(shí)由由于于便便可可得得反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)10011()limlim()yxxfyyyfxx 結(jié)論：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)結(jié)論：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).1()sin, ()22xfyyy 1()arcsin, (11 )yfxxx 例例cos0 ,y 注注意意到

2、到所所以以2211(11 )cos1sin1()1fxxxyy 21(arccos2)1xx 例例21(arctan)1xx 21(cot)1arcxx 1111()()sincosfxfyyy 例例3 3.log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yyIax特別地特別地1(ln ).xx (log)ax 1.lnxa 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)sin 2,cos2?yxyx 設(shè)10(12 ) ,?yxy 設(shè)(),()() ),()()(),u

3、xxyf uuuxfxfxx 若若在在 點(diǎn)點(diǎn)處處 可可 導(dǎo)導(dǎo)又又在在 相相 應(yīng)應(yīng) 點(diǎn)點(diǎn)也也 可可 導(dǎo)導(dǎo)則則（） 在在 點(diǎn)點(diǎn)處處 也也定定1 1可可 導(dǎo)導(dǎo)理理且且xuxd yd yduyyud xdud x 或或 () ()()()()()()fxfxfuxfxx 結(jié)論：因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)().yfxd yd yd ud vd xd ud vd x ： 復(fù)復(fù) 合合 函函 數(shù)數(shù)的的 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 為為推推 廣廣證證( ),yf uu 由由在在點(diǎn)點(diǎn) 可可導(dǎo)導(dǎo)0lim( )uyfuu 0( )( lim0)uyfuu 故故( )yfuuu

4、 則則xyx 0lim0lim ( )xuufuxx 000( ) limlimlimxxxuufuxx ( )( ).fux 1010.(12) .,12yxyuux 例例令令1099() (12)10220(12)xuxyyuuxux 22.ln(1) .1lnyxuxyu 例例令令則則2212(ln)(1)1xxyuuxux 232.3,xuyeuxye 例例令令223(3)6uxyexex .tanyx 例例221sec()sec2yxxxx tan,yu ux 實(shí)實(shí)際際上上是是的的復(fù)復(fù)合合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，要特別關(guān)注的是對(duì)那一個(gè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，要特別關(guān)注的是對(duì)那一個(gè)“對(duì)象求導(dǎo)。對(duì)象求導(dǎo)。2

5、2axy例如1)( 2222axax解2222121)(22axaxax)(21)(222222axaxaxx22axxlnln1()()(ln)xxxxeexxxx 1()xx 例例證證明明：121()21( 21 )nxnxx 227. yax 例例122222222212()()22xxyaxaxaxax 6.()21nxyx 例例112212()()()212121( 21 )nnxxxxxynnxxxx 1(sin)sinxxyee 11cos()cossinsinxxxxxxeeeeee 5.ln(sin)xye 例例319.sinyx 例例2113sin( sin)yxx 222

6、1113113sincos()sincosxxxxxx 2222221()( 1)2xaxxaxa 22221( 1)xxxaxa 221xa 228.ln ()yxxa 例例22221()yxxaxxa 1arctan,yx 例例2222211()()11111xxxyxxx 221() ()2nnfxan xax 2.()(ln)() nfufxfxa 例例設(shè)設(shè)可可導(dǎo)導(dǎo)， 求求，1( ln) ( ln) (ln)( ln)fxfxxfxx222 () () () nnnfxafxaxa 例例1212.arcsin22222的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(

7、222 axaxaxy 22122xxa.22xa )0( a2222222222121xaaxaxxa 222xa x20 22a2)(1ax a11()2xx 21(arcsin )1xx 例例1313.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy11212 xy)2(3112 xxx例例1414.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解xey1sin xe1sin .1cos11sin2xexx x2 )2(31 x)1(sin xx1cos )1( x 例例1515.的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xxxy 解解xxxy 21xxx 21

8、xxxxx 211(21.812422xxxxxxxxxx )( xxx 1(xx 21)( xx)211(x 16 sinsin,nynxxy 例例求求解：解：)(sinsinsin)(sin xnxxnxynnnxcos nxnsin nxsinxnn 1sin xcos 例例1717.)(sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nnnxfy 解解)(sin1nnnxnfy )(sin1nnxn nxcos ).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn )(sinnnxf )(sinnx 1 nnx對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin2

9、3xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)復(fù)合然后利用隱函數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu112( ),( )()()()f xfxx xxxn例例18 18 求求 121()()()( ),()()xxxnf xfxx xxn例例1 19 9 求求 （ ）例例18中：中： 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，兩邊取對(duì)數(shù)得利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，兩邊取對(duì)數(shù)得ln|( )|(ln|ln|1|ln|)f xxxxn ( )( ) (ln|ln

10、|1|ln|)fxf xxxxn 1111()(1)()1x xxnxxxn 32(1)1(4)xxxyxe 例例：332(1)1ln |1|ln |1 | 2ln |4|(4)xxxyxxxxxe （）32(1)1112113(1)4(4)xxxxxxxe （）一般地一般地( )( )( )( ( )0)v xf xu xu x)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf ( )( )( )( )( ) ( ) ln ( )( )v xv x u xfxu xv xu xu x )(ln)()(lnxuxvxf ( )( )( )( ( )0)v xf

11、xu xu x 推推廣廣：11(ln|)(ln|( )|)( )( )uf xfxuf x( )( )(ln |( )|)fxf xf x 即即sin ,xyxy 例例求求1sinsin xxxy解解：xxyxlnsin )(xfa )(xf指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)冪指函數(shù)冪指函數(shù))(sin xxysinln|()xxe sinln| |()xxe sinln| |()xxe (sinln|)xx xxsinx(cosln|x xsin )1x (ln|)(sinln|)yxx 解解2：兩邊取對(duì)數(shù)，然后求導(dǎo)：兩邊取對(duì)數(shù)，然后求導(dǎo)1cosln |sinyxxxyx 即即：sin11(cosl

12、n |sin)(cosln |sin)xyyxxxxxxxxx sinsinsin13)ln | (sin)sinxxxxxxxxx 解解 ： ( (sin1(cosln|sin)xxxxxx 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 )(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()(xxxxxxxC )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc aaxlnxeaxln/1x/121/1x 21/1x )1/(12x )1/(12x 2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)