1.2弧微分與曲率ppt課件

1、一、 弧微分)(xfy 設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 其圖形為 AB,弧長)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx則弧長微分公式為tyxsdd22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT幾何意義幾何意義:sdTM;cosddsxsinddsy若曲線由參數(shù)方程表示:)()(tyytxx二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量。曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量。1M3M)2 2M2

2、S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 )點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停).(1),(,的半徑的半徑為圓弧軌道為圓弧軌道到到率連續(xù)地由零過渡率連續(xù)地由零過渡使曲使曲如圖如圖緩沖段緩沖段彎道之間接入一段彎道之間接入一段穩(wěn)，往往在直道和穩(wěn)，往往在直道和駛平駛平容易發(fā)生事故，為了行容易發(fā)生事故，為了行的曲率突然改變的曲率突然改變道時，若接頭處道時，若接頭處鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎RR例例2 2.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOA

3、xxxRly的曲率近似為的曲率近似為時，在終端時，在終端很小很小并且當(dāng)并且當(dāng)為零為零的曲率的曲率在始端在始端的長度，驗證緩沖段的長度，驗證緩沖段為為，其中，其中緩沖段緩沖段作為作為，通常用三次拋物線通常用三次拋物線 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClxyoR),(00yxA)0 ,(0 xC證證如圖如圖的負半軸表示直道，的負半軸表示直道，x.,是是圓圓弧弧軌軌道道是是緩緩沖沖段段 ABOA（在緩沖段上在緩沖段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx處處在在. 00 k故緩沖始點的曲率故緩沖始點的曲率實際要求實際要求,0 xl lB20210 xRlyxx 有有221

4、lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的的曲曲率率為為故故在在終終端端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1 Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次項略去二次項xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側(cè)取一點在凹的一側(cè)取一點處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點在點處的曲率為處的曲率為在點在點設(shè)曲線設(shè)曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,

5、曲曲率率中中心心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點曲線在該點處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).四、小結(jié)四、小結(jié)運用微分學(xué)的理論運用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué)微分幾何學(xué).基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圓曲率圓.曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程度的描述曲率曲率;曲線弧的近似代替曲率圓曲線弧的近似代替曲率圓(弧弧).思考題思考題 橢圓橢圓 上哪上哪些點處曲率最大？些點處曲率最大？,cos2tx tysin3 思考題解答思考題解答232)(1|