第三版常微分方程答案2

1、習(xí)題1.21. dy =2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 dx解：dy =2xdx兩邊積分有：In|y|=x 2 +cy2y=ex +ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0時，y=0原方程的通解為y= cex 2 ,x=0 y=1時c=1特解為y= e ：2. y 2dx+(x+1)dy=0并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解 解：y2dx=-(x+1)dy巽 dy二-丄 dxyx 1兩邊積分：-=-In|x+1|+In|c| y=yIn |c(x 1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 時c=e特解：y=1In |c(x 1)|3 dy = 1 y2d

2、x xy x3y解：原方程為：少=3dx y x x1J dy= 1 3 dxyx x兩邊積分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程為：Jdy二-dxyx兩邊積分：In |xy|+x-y=c另外x=O,y=O也是原方程的解。5. (y+x) dy+(x-y)dx=O解：原方程為：dy =- x ydx x y令y=u則=u+xdu代入有：xdxdx-占丄du=Zdxu21 xln(u 2 +1)x 2 =c-2arctgu即 ln(y 2+x2)=c-2arctg 厶.x6. x 矽-y+ x2 y2 =0dx解：原方程為：矽=y+兇-

3、.,1 (y)2 dx x x ¥ x則令y=u魚二u+ X屯xdxdx1 1du=sgnxdx 1 u2xarcs in - =sg nx In |x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程為：業(yè)二更tgy ctgx兩邊積分：ln |si ny|=-l n|cosx|-l n|c|siny=1一=c另外y=0也是原方程的解，而c=0時，y=0.ccosx cosx所以原方程的通解為sinycosx二c.ey2 3x=015dx yy2解：原方程為：dy=e3x dx y22 e 3x-3e y =c.9.x(l nx-l ny)dy-ydx=O解：原方程為：魚=

4、7;ln上 dx x x 令y=u,則巴二u+ x業(yè) xdxdx-J.u+ x Flnudxln(ln u-1)=-l n| cx|1+ln y =cy.x10. dy=exydx解：原方程為：=exe ydxey=cex11 dy =(x+y) 2dx解：令 x+y=u,則 dy =du-1 dx dx du-1=u2 dx12du=dx1 uarctgu二x+carctg(x+y)二x+c12.史二dx (x y)解：令 x+y=u,則=du-1dx dxdU/- 丄.1 2dx uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)二c.13 dy=2x y 1dx x 2y 1解：原方程為

5、：(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c2 2xy-y +y-x -x=c14： dy=x y 5dx x y 2解：原方程為：(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d( ly2 +2y)-d( -x2+5x)=02 2y 2+4y+x2+10x-2xy=c.15:魚=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1dx解：原方程為：色二(x+4y) 2+3dx令x+4y=u貝卩業(yè)=1屯-1dx 4 dx 41也-丄=+34 dx

6、 4du 2 ,=4 u 2 +13dx2tg(6x+c)= -(x+4y+1).316:證明方程-=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程:y dx1) y(1+x 2y2 )dx=xdy2 22) x dy =2 x y2 2y dx 2-x y證明:令 xy=u,則 xdy +y=dudx dx則巴J巴-爲，有:dx x dx x灣=f(U)+1fn)duVdx所以原方程可化為變量分離方程。1) 令 xy=u 則dy =1 du-(1)dx x dx x2原方程可化為：w=y1+ (xy) 2(2)dx x將1代入2式有：1竺-爲=u(1+u2)x dx x xU

7、= u2 2 +cx17.求一曲線，使它的切線坐標軸間的部分初切點分成相等的部分。解：設(shè)(x +y )為所求曲線上任意一點，則切線方程為：y=y' (x- x )+ y則與x軸，y軸交點分別為：y0,x= x o -0 y= y o - x o yy'貝y x=2 x 0 = x 0 -匹 所以 xy=cy'18-求曲線上任意一點切線與該點的向徑夾角為0的曲線方程其中=-解：由題意得：y'二乂x1 dy=- dxy x所以 c=1 y=x.In |y|=l n|xc| y=cx.=貝卩y=tg x419.證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標成正比的曲線是拋物線證

8、明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點，則 y' =kx貝卩：y=kx2 +c即為所求。常微分方程習(xí)題2.11.理dx2xy ,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分離得1 dy 2 22 xdx ,兩邊同時積分得：In | y xc,即yc ex把x 0, y 1代入得2c 1,故它的特解為 y ex。22. y dx (x 1)dy 0,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分離得：* 7dy,當y0時，兩邊同時積分得；In x 1c,即 yy1c In x 1當y 0時顯然也是原方程的解。當x0,y1時，代入式子得c1,故特解是11 In

9、1 x12yxy3x y解：原式可化為:0,故分離變量得3dxx x1212In21 yInx In21 x2 2 業(yè)？ J顯然 dx y x x y兩邊積分得、 , 2 2 2故原方程的解為(1 y )(1 x ) c xIn c(c0),即(12 2y)(1 x)2cxdx y 則 u xdu dxdyduu x 'dxdx得：u2 1 duu12u)In)x c-dxx1arctgu - ln(15: (y x)dy (y x)dx 0 解型I,令X u,y uxx x匕,變量分離，u 1兩邊積分得:2 2x ydydx6:ydx令y令 u, y ux,x2 2解:煜,則原方程化

10、為:dudx(10 ),分離變量得：*1.1sgn x?1 dxx兩邊積分得：arcsinu代回原來變量，得sgnx?ln xarcs insgnx?lnxx2另外，yx2也是方程的解。7： tgydx ctgxdy 0解：變量分離，得：ctgydy tgxdx 兩邊積分得：In siny In cosx c.2y 3xdx y解：變量分離，得 dy- q3x cey39: x(lnx In y)dy ydx 0解：方程可變?yōu)椋篒n y?dy -dx 0x x令 u ,貝V有dxln u d I nuxx 1 In u代回原變量得：cy 1 ln=。x10 型 exydx d解：變量分離e d

11、y e dx兩邊積分ey ex c4:(1 x)ydx (1 y)xdy 0-dy 0 y解：由y 0或x 0是方程的解，當xy 0時，變量分離-一 dxx兩邊積分 In x x In y y c,即卩 In xy x y c,故原方程的解為In xy x y c; y 0;x0.dy x y dx e解：變量分離，e'dy兩邊積分得:xedxcdx(x2y)解：令x y t,則矽dxdtdx原方程可變?yōu)椋荷?1 1dx t1變量分離得： dt dx,兩邊積分arctgtt 1代回變量得：arctg (x y) x c12.dx (x y)解令x y t，則32 1,原方程可變?yōu)樯?1

12、 1dx dxdxt2、 t2 、 變量分離 -dt dx,兩邊積分t arctgt x c,代回變量t21x y arctg (x y) x c13巴 2x y 1dx x 2y 1解：方程組2xy 10,x2y111 0;的解為x- ,y -33令xX !,yY !,則有dY2X Y'33dXX 2Y2令x u，則方程可化為：xdx f山變量分離14,dy x y 5'dx x y 215.dy (x 1)dx2(4y 1) 8xy 1解:令x y 5 t，則興1 dx,原方程化為：1dt dxtt 7,變量分離(t7)dt 7dx兩邊積分1t22t7t7xc代回變量(xy

13、25)7(x y 5)7x c.解：方程化為 dy x2 2x 1 16y2 8y 1 8xy 1 (x 4y 1)22dx令1 x 4y u,則關(guān)于x求導(dǎo)得1 4dy du，所以1史u2 9, dx dx4 dx41 2 28分離變量 一2du dx，兩邊積分得arctg ( x y) 6x c，是4u2 93 33原方程的解。16. dy斗負dx 2xy x y解: dyV)2 32x22址%y3)：2x2，令 y3 u,則原方程化為dxy2(2xy3 x2dx 2xy3x2dudx2 23u 6x2xu x23u26廠6 x2u 1 x021乙則dudx60,得 zx空，所以dx3或 z

14、3z22z2是當z260時，變量分離61(1)1z ddzx -，dx方程的解。dzx - dx 即y32z2z 13x或y32x是方程的解。(1)即（y 的解為（y33x)7 (y3 2x)3x53x)7(y32x)32z2zc,又因為15x c1-dz dx，xy3 3x或 y3兩邊積分的（z 3）7 （z2x包含在通解中當c17.dydx2x3 3xy x3x2y 2y3352) x c,0時。故原方程解:原方程化為dyx(2x2 3y21).d£2y(3x2 2y21) dx2x2 3y2 13x2 2y2 1U,； xv；則竺dv2v 3u 13v2u 1(1)方程組2v

15、3u3v 2u;令Z vu 1,23,令t yz,，則有型t z,dzdzzdt2 3t，所以t z,dz3 2tdt z一dz2 2t2(2)r 3 2t當2 2t20時，即t1,是方程的解。得y22 x2或y2x2是原方程的解當2 2t20時，3分離變量得32t122 dtdz兩邊積分的y2 x2 2(y x2)5c則有;y 0，從而方程（1化為先二2 2t z另外y2x22,或y2x2，包含在其通解中，故原方程的解為y2 x2（y2x22）5c18證明方程-dy f(xy)經(jīng)變換xy u可化為變量分離方程，并由此求解下列方程 y dx22(1) .y(1 x y )dx xdyx dy

16、2 x y(2) .22y dx 2 x y證明：因為xyu,關(guān)于x求導(dǎo)導(dǎo)得y xdydxdu1 du ,duu、得:-1f(u),(f(u)y dxdx y(f(u) 1) x理所以x du y dxdx dx11)-(uf(u) u)x故此方程為此方程為變程。解(1):當x 0或y 0是原方程的解，當xyOs時，方程化為令xy u，則方程化為詈(2u u3),變量分離得:x2udu31 uxy dx-dxx2兩邊同時積分得：一2u 22故原方程的解為原2 2x y 2cx4,即一x2y2 2y 2cx2,yo也包含在此通解中。解令xyu，2分離變量得24u2cx，x0.則原方程化為篇2 d

17、u-(ufx 2 uu)1 4ux 2丄dx，兩邊積分得ln 2-c，這也就是方程的解。0,試求函數(shù)f (x)的般表達式.解：設(shè) f(x)=y,-兩邊求導(dǎo)得yx則原方程化為f(x)dt0y3 dy; ;；dxdx1y3dy;兩邊積分得x c券；;所以y代入2x cf (x)dt02t cdt2x c; ( .2x c 、c)< 2x c得c 0,所以y20.求具有性質(zhì)x(t+s)二 凹 型 的函數(shù)x(t),已知x' (0)存在1 x(t)x(s)解：令 t=s=0 x(0)=x(0) x(0)1x(0)=2x(0)1x(0)xi(0)若 x(0)0 得 x2=-1 矛盾。所以 x

18、(0)=0. x ' (t)=.x(t1lim 2t) x(t) lim x( t)(1x(t)x'(0)(1 x2(t)tt1 x(t)x( t)響 x'(0)(1 x2 (t)dx(t)2x'(0)dt兩邊積分得arctg x(t)=x ' (0)t+c 所以dt1 x (t)x(t)=tgx ' (0)t+c當t=0時x(0)=0故c=0所以x(t)=tgx ' (0)t習(xí)題2.2求下列方程的解1.dy=y sinxdx解:dx .y=e (sinx edxdx c)2.解:=ex- e2=c e x-1 (2主+3x=e2tdt原

19、方程可化為：x(sinxcosx )+csin xcosx)是原方程的解。所以：x=e3dt=-3x+e21dt2t3dt( e e dt c)=e3t (=c e】e5t+c)53t + le2t是原方程的解。5ds13.=-s cost + sin 2tdt2costdt 13dt、解：s=e ( sin2te dt c )2=e sint ( sin tcostesintdt c)=e sintsint(sintesin te c )sint=cesin t是原方程的解。4.解:dy x y dx n原方程可化為:為常數(shù).dxx y n2dxe x (2dxexxne x dx c)xn

20、(exC)是原方程的解.5.1 =0解:原方程可化為:dy _ 1 2x” , ” ,dx2x2x 1dxe(In x2e(1)2 (12xdxdx c)Inx2 1e xdx c)= x2(1cex)是原方程的解.6.dydx43x x2 xy解:dydx43x x2 xy3x_ + z2y x令工x因此:ux=u X 蟲 dxdxdux =dxdudxu2duxu12udx丄u3u3 3x x(*)323將y u帶入 （* ）中 得：y即x= +ey是方程的通解，且y=0也是方程的解。 3x2 ex'是原方程的解.x7型2y (x 1)3dxx 1解型dx2yi (xx 11)3P

21、(x)2,Q(x)x 1(x 1)3P(x)dx e_Ldx ex1(x 1)2方程的通解為：y=eP(x)dxP(x)dx(eQ(x)dxe)=(x+1)(（x八+際）=(x+1)(2 (x+ 1)dx+e)=(x+1)2(x 1)2 e)2即:2y=e(x+1)2+（x+1）4為方程的通解。8迤=ydx3x y解:空dyx+y1y y2x y則 P(y)= l,Q(y)y2yeP(y)dy扣ey方程的通解為：x=eP(y)dyP(y)dy(eQ(y)dye)=y(1* y2dy e)y=3y ey2dy y3dxxy 2 x3dy-223dx2( xyx )令y2zdz3dx2( xz x

22、 )P(x)2x,Q(x)2xp x2xdxx2兩邊除以y33eee方程的通解為:p xp xz=e dx( edxQ(x)dxc)=ex ( e x ( 2x3)dx c)=x2x2 dce 1故方程的通解為：2y2(x2 cex1) 1,且 y0也是方程的解。9.dy ay dx解：Rx)P(x)dx eL,a為常數(shù)x xa,Q(x)x?dxe x方程的通解為:=xP(x)dx P (x)dxy= e (e Q(x)dxa,1 x+1 .、(a dx+c)x x0時，方程的通解為10.x-y dx3y x解:巴dx1 y xP(x),Q(x)xP(x)dx2dxxc)1方程的通解為:3 x

23、x3當ay=x+In /x/+c當a 1時，方程的通解為y=cx+x ln/x/-1當a 0,1時，方程的通解為1y=P(x)dx eP(x)dxe Q(x)dx c)y=cxa x+ -1-a1-(x3xx* x3dx c)方程的通解為:x3x c y=4 x解:空dxxy25c 2 In x12.( yl nx 2)ydx xdy-x42解型啞y2 2y dx xx兩邊除以y2dy In x 2y 1 y2dxx x1 1In xxP(x)dxc)dy In x 2y1272dxe * * * * * * x ( ec)x2( ( M)dx c)x xc 2In x1x424?dx x (

24、方程的通解為:y（cx2 也 丄）1,且y=0也是解。4241322xydy (2 y x)dx dy 2y2 x y 丄 dx 2xy x 2y這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以1 ,yydy 1y dx x 2令y2 zdzdxdx x2zP(x)= 2xQ(x)=-12_dxz e x (由一階線性方程的求解公式2dxe x dx c)2=x x c2 2y x x cy14 dy e dx3x2 x兩邊同乘以eyy dy e dx(ey)2x23xey令ey zdzdxey屯dxdz z2 3xz3z2 z這是n=2時的伯努利方程。dxx2x2 x兩邊同除以2 z1 dz 3 z2

25、 dx xz4令1 TxzdT1 dzdT3T 1dxz2 dxdx2xxP (x) = 3xQ(x)=1x由一階線性方程的求解公式33hdx1 dxe x ( e x dx c)xc)1 i-x cx2z(1 1x2ey(1 1x2lx2ey2cx 3)1cx3)1ceyx329115dydx33xy x ydxdyyx y3x3這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以x31 dxx3 dy令x2zdz dy2x3生dydzdy2y2 x2y3 =2yz 2y3 P(y)=-2y Q(y)2y31由一階線性方程的求解公式2 ydy32 ydyz e ( 2y e dy c)22=e y (2y3

26、ey dy c)=y2 1 ce y22x2( y21 cey )1x e ( y 1 ce ) ee (1 x x y ) cxx16 y= ex+ °y(t)dtdy x .e y(x)dxdy xy edxP(x)=1Q(x)=ex由一階線性方程的求解公式1dx x 1dxy e ( e e dx c)x x x=e ( e e dx c)=ex(x c)35ex(x c)xo ex(x c)dxc=1y= ex(xc)17設(shè)函數(shù)(t)于 oo <t<'(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)二(t)(s)試求此函數(shù)。令 t=s=0 得(0+0)=(0)(0)即(0

27、)= (0)2 故(0) 0 或(0) 1(1)當(0) 0時(t)(t 0)(t) (0)即(t) 0oo, oo )當(0) 1時(t)lim(t t) (t)_.(t) ( t) (t)t=limtlimt 0(t)( ( t) 1)=limt 0(t 0)(0) (t)于是dr'(0) (t)變量分離得-(0)dt 積分(0)t ce由于(0)1，即t=0時 1 仁0 cec=1故(t) e(0)t20.試證:2.3 )(1) 一階非齊線性方程(2 .28 )的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程(之解；2.28)(2) 若y y(x)是(2.3 )的非零解，而y y(x)是(2.2

28、8 )的解，則方程的通解可表為y cy(x) y(x)，其中c為任意常數(shù).（3）方程（2.3 ）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3 ）的解.證明:dydxP(x)y Q(x)(2.28)學(xué) P(x)y(2.3 )dx(1)設(shè)yi , y是(2.28 )的任意兩個解貝 S塑 P(x)yi Q(x)( 1)dx學(xué) P(x)y2 Q(x) (2) dx(1) - (2)得d y y2dxP(x)(yi y2)即y yi y是滿足方程（2.3 ）所以，命題成立。（2） 由題意得：警 P（x）y（3）dx警 P（x）y（x）Q（x）（4）1）先證y cy y是（2.28 ）的一個解于是c

29、34得cdy dxd y dxcP(x)yP(x)y Q(x)d(cydxy)P(x)(cyy) Q(x)故ycyy是（2.28 ）的一個解2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成cy y的形式設(shè)y1是（2.28）的一個解貝 Sdyi P(x)yi Q(x)(4')dx于是 (4') - (4)得d(y, y) P(x)(% y) dx從而y- y ce Pax cy即yiy cy所以，命題成立。(3) 設(shè)y ,紙是(2.3 )的任意兩個解則dy33 P(x)y3dx(5)乎 P(x)y4(6)dx于是（5)c 得型3 cP(x)y3dx即d(cy3)P(x)(cy3)dx其中c為任

30、意常數(shù)也就是y cy3滿足方程（2.3 ）(5)（6）得dy3dx字 P(x) y3 P(x)y4dx即啞嚴 p（x）（y3 y4）dx也就是y y3 y4滿足方程（2.3 ）所以命題成立。21. 試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5）曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方；（6）曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標和縱坐標的等差中項;解：設(shè)p（x, y）為曲線上的任一點，則過p點曲線的切線方程為Y y y'(X x) 從而此切線與兩坐標軸的交點坐標為(x丄,0),(0, y xy')y'即橫截距為x丄,y'縱截距為y xy'

31、;。由題意得：(5)y xy' x2方程變形為237于是x色dxy2 xdy1yxdxxIdx(-)dxy ex (x)e x dx c)e1叫(x)e 叫xdx c)x ( ( x) x dx c)1 x( ( x)dx c) xx( x c)2x cx所以,方程的通解為yx2 cx。(6)y xy'方程變形為dyX 一dx 業(yè) dx于是 y ey212?丄dx2x (I)e()dx2x dx c)-1n x|e2(2)e 列"dx c)12(c)11 2 -)x dx 2139ix2(1 1gx 2 )dxc)1x2(1x2 e)1ex2所以，方程的通解為yex2

32、2. 求解下列方程。(1) (x21)y' xy 0解：y'學(xué)Ax 1x dxy e x 1 (1x211xee)2ee丿x 11121 dx ex1 2/x21/2dx3e/x21/21=/x2 1/午1=/x2 1/可= e . /1 x2/ x(2) y sin x eosx y sin3 x 0dyy sin2xdx sin xeosx eos xP(x)=1sin xeosxQ(x)=.2sin xeosx由一階線性方程的求解公式sin xeosxdx.2 sin x e1sin xeosxdxdxeosxe)=sinxdx e)eosxsin x(cos x c)c

33、osx=tgxc sinx習(xí)題2.31、驗證下列方程是恰當方程，并求出方程的解。1. (x2 y)dx (x 2y)dy 0解： 巴1，衛(wèi)=1 .y x則衛(wèi)衛(wèi)y x所以此方程是恰當方程。湊微分，x2dx 2ydy (ydx xdy) 0得：lx3 xy y2 C32. (y 3x2)dx (4y x)dy 0解:則衛(wèi)JNy x所以此方程為恰當方程。湊微分，ydx xdy 3x2dx 4ydy 0 得x3 xy 2y2 C3丄皿 J Tldy 0 (x y) x y (x y)解：衛(wèi) 2y(x y)2 2y2(x y)( 1) 2xyy(x y)4(x y)3412x(x y)2 2x2(x y

34、)(x y)42xy(x y)3則衛(wèi)x因此此方程是恰當方程。(Xy21y)2 x(1)2x(x y)2(1)做X的積分，25xVx1dx (y)x(3)做y的積分，d (y)則dy(y)1(1)dy y故此方程的通解為4、2(3xy2 2x3)dx 3(2解:2丄inxx y(1)y2(x2xy y2(x y)2y(x2 y2xy1(xy)2yIn yyIn yy InyxnyxyCxx y2x y2y)dy0N12xy12 yxyx yM 12xy ,2丄inxx y2x(x y)2x2xy)2(y)(X y)2yy)2d (y)dyx2 2xy y2y)2(y)dyxyx y47則此方程為

35、恰當方程。湊微分,6xy2dx4x3dx 6x2 ydy 3y2dy3d(xd(x4)d(x3)0x42 23x yy3 c5.( 1sinycossin)dy=0yxx1M= 1sinxy2 xcosyym =-1xx2sin” ,3 yyyyN1xx2sin1xyyyx2解:y+ixcos- ycos-yy cos - +1)dx+(-xmyNxN=cossin所以,因為1sinycos 丫+爲 sinx xcos 上+耳 sinx x故原方程為恰當方程x dx- 當 cos - dx+dx+1 cos - dy- y x xx xsin-dy+ y4 dy=0yd(-cos -)+d (

36、sin -)+dx+d(- 1)=0yxy所以，d(sin Y-cosx+x- -)=0x y y故所求的解為sin 乂 -cos -+x - 1 =Cx y y求下列方程的解：2 26. 2x(y ex -1)dx+ ex dy=0解：=2x ex2 , =2xex2所以，衛(wèi)=衛(wèi)，故原方程為恰當方程y x又 2xyex dx-2xdx+ ex dy=0所以，d(yex -x2)=02故所求的解為yex-x2=C7. (e x+3y2)dx+2xydy=0解：ex dx+3y2dx+2xydy=0exx2 dx+3x2 y2 dx+2x3ydy=0所以，d e x( x 2-2x+2)+d(

37、x 3y2)=0即 d e x( x 2-2x+2)+ x 3y2=0故方程的解為ex( x 2-2x+2)+ x 3y2=C8. 2xydx+(x 2 +1)dy=0解：2xydx+ x 2 dy+dy=0d( x 2y)+dy=0即 d(x 2y+y)=0故方程的解為x2y+y=C9、ydx xdy x2 y2 dx解：兩邊同除以x2 y2得ydx xdy dxx y即，d arctg dxy故方程的通解為argtg - x cy10、ydx x y3 dy 0解：方程可化為：叫型ydyy即，d - ydyy故方程的通解為：-y2 c即：2x y y2 cy 2同時，y=0也是方程的解。1

38、1、y 1 xy dx xdy 0解：方程可化為：ydx xdy 1 xy dxd xy 1 xy dx 即卩：dx1 xy故方程的通解為：In 1 xy x c12、y x2 dx xdy 0解：方程可化為：班浮dxxd y dxx故方程的通解為：-c x即：y x c xx13、x 2y dx xdy 0解：這里M x 2y, N x ,M N1 x 1方程有積分因子e嚴xNx兩邊乘以 得：方程x x 2y dx x2dy 0是恰當方程349故方程的通解為:x2 2xy dxx2 一 x2 2xy dx dy c y即：x3 3x2y c14、 xcos x y sin x ydx x c

39、os xy dy 0解：這里M x cos x ysin x y , Nx cos x yMN因為cos x yxsin x yy x故方程的通解為：x cos x ysin x y dxxcos x yyxcos x y sin x y dx dy c即：xsin x yc15、 ycosxxsin x dxysin x xcosx dyo解：這里Mycosxxsin x, N ysin xxcosx MNy xM N丿 -1方程有積分因子：edy ey 兩邊乘以 得:M方程 ey ycosx xsin x dx ey ysinx故通解為：ey ycosx xsinx dx即：ey sin

40、xy 1ey cosx c16、x 4ydx2xdyy3 3ydx 5xdy解：兩邊同乘以x2y 得：xcosx dy 0為恰當方程N 一 ey ycosx xsinxdxdy c y0324.4x y dx 2x ydyc 2533x y dx 5x ydy 0d x4yd x3y5故方程的通解為：x4y2 x3y5 c17、試導(dǎo)出方程M(X,Y)dx N(X,Y)dy 0具有形為(xy)和(x y)的積分因子的充要條件53解：若方程具有（x y）為積分因子,(M)y(N)(xy）是連續(xù)可導(dǎo)）MM NNyyxxMN (MN)yxyx令z xydzddxdz xdz，y dzMdM dN dz

41、dz(NxM),y(MdN) d dzN (xM)， yNMdx ydz(xM N方程有積分因子（xy）的充要條件是:此時，積分因子為(x y)(z)dz e令zx ydz yxdx dzdz ' yMx Ny dzdz(NMxy(Mx Ny)ddz(N M) x yy)dz)ddzJM 丄是xNdx dzy的函數(shù),NMd x yMx Ny此時的積分因子為(xy)xMxyNydz5518.設(shè)f(x, y)及丄連續(xù)，試證方程dy f(x,y)dx 0為線性方程的充要條件是它有僅依y賴于x的積分因子.證：必要性若該方程為線性方程，則有巴P(x)y Q(x),dx此方程有積分因子(x) e

42、P"dx,(x)只與x有關(guān).充分性若該方程有只與x有關(guān)的積分因子(x).則(x)dy (x) f(x, y)dx 0為恰當方程，從而(x)f(x, y)d (x)fJ(x)ydxy(x)f(x)dy Q(x)()y Q(x)(x)P(x)y Q(x).其中P(x)羅于是方程可化為dy (P(x)y Q(x)dx 0(x)即方程為一階線性方程，試證方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=O20.設(shè)函數(shù)f(u) ，g(u)連續(xù)、可微且f(u)有積分因子 u=(xyf(xy)-g(xy)1證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 兩邊同乘以u得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0y 丄x(f g) xy 二 xyA則皿二uf+uy 丄+yf二一f+J-yf門yy y xy(f g) xy(f g)x y (f g)ydf g