誘導公式及其運用

1、誘導公式及其運用 學習目標 了解誘導公式的推導；熟記誘導公式；熟練運用誘導公式解決問題。 重點難點 誘導公式的熟練運用。 知識結(jié)構(gòu) 一、誘導公式的推導 當角的概念作了進一步的推廣之后，求任意角三角函數(shù)值的問題，主要運用誘導公式將之轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的求值。 由任意角三角函數(shù)的概念，可知終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等。而終邊相同的角的大小一定相差2的整數(shù)倍，故有第一組誘導公式:（誘導公式一） 通過誘導公式一，可將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成一個周內(nèi)角(0, 2)的三角函數(shù)值。 我們還需要將任意一個周內(nèi)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)值。對于滿足的，可令=-()或；對于滿足的角，可令=+()或；對于

2、滿足的角，可令=2-()或；當為0，這些軸上角時，可特殊情況特殊處理，直接由定義得出它們的三角函數(shù)值。綜上，就可以將任意一個周內(nèi)角三角函數(shù)的求值問題解決了。 1. +與 如圖，在同一坐標系中做出角與角+。 易知:角終邊OP1與角+終邊OP2在同一條直線上，且點P1與P2關(guān)于原點對稱。分別作與+的正弦線與余弦線，顯然有 M1P1=-M2P2, OM1=-OM2, 故有 我們將以上四個公式并為一組，稱為誘導公式二。 2下面我們先來觀察-與角三角函數(shù)關(guān)系。 若終邊為OP1，P1為終邊與單位圓交點，-角終邊OP2，P2為-終邊與單位圓交點，顯然，P1與P2兩點關(guān)于x軸對稱。 分別作與-的正弦線與余弦線

3、（如圖），易知MP1=-MP2，OM=OM， 故有 sin(-)=-sin cos(-)=cos 由， 有 tan(-)=-tan 從而有 cot(-)=-cot 我們將上面四式稱為誘導公式三。 3-與 類似地，通過作圖，可以發(fā)現(xiàn)-終邊與終邊關(guān)于y軸對稱，故易有誘導公式四: 4. 與。 學習了兩角和與差三角函數(shù)公式后，易得誘導公式五、六、七、八:sin(/2+)=cos, cos(/2+)=-sintan(/2+)=-cot,cot(/2+)=-tan（公式五） 二、公式的記憶 有記憶口訣如下:“奇變偶不變，符號看象限”。所謂“奇”，指括號內(nèi)前角為的奇數(shù)倍，如誘導公式五、六、七、八；所謂“變”

4、，指當括號內(nèi)前的角為的奇數(shù)倍時，右面的三角函數(shù)名稱要變?yōu)榕c符號左邊三角函數(shù)名互余的名稱，如左正弦右余弦，左余切右正切；所謂“偶不變”，指當括號內(nèi)前角為的偶數(shù)倍時，如誘導公式一、二、三、四，三角函數(shù)名稱不變，左右應(yīng)一致；所謂“符號看象限”，指誘導公式中等號左邊角看成銳角，角所在象限的其三角函數(shù)值的符號，即為等號右邊所加的符號。如cos(-), 將看成銳角，則-是第二象限角，余弦值為負，故cos(-)=-cos。 三、誘導公式的運用 求任意角三角函數(shù)值的問題，都可通過誘導公式，化歸為銳角三角函數(shù)的求值問題，具體步驟為“負角化正角”“正角化周內(nèi)角”“周內(nèi)角化銳角”求值。 典型例題分析 例1計算。 解

5、:原式= 例2已知，求的值。 分析:觀察題目中各角關(guān)系，注意到。 解: 例3已知 求(1) sin-cos的值；(2) sin3(2-)+cos3(2-)的值。 分析:由最簡化原則，應(yīng)對已知等式進行化簡。由已知有 。 (1) 欲求sin-cos, 考慮到(sin+cos)2+(sin-cos)2=2 , sin>0, cos<0。 sin-cos>0, 。 (2) 而 例4(1)已知，求sin(-9)的值。 (2)已知，求的值。 解:(1)由， 得， 若是第一象限角，則sin(-9)=-sin(9-)=-sin(-)； 若是第四象限角，則sin(-9)=。 (2)注意到 例5化簡 解:原式 (1) 當n為奇數(shù)時，設(shè)n=2k+1, kZ。 則原式 注意到 上式 當n為偶數(shù)時，證n=2k, (kZ)。 則原式 例6設(shè), 求。 解:先化簡f()。 例7ABC中，若,求ABC的三個內(nèi)角。 解:由已知:.(1) .(2) (1),(2)兩式左右兩邊同時平方相加得:sin2A+3cos2A=2sin2B+2cos2B=2 1+2cos2A=2, , 。 當時，由(2)式， 。 當時，由