高中數(shù)學圓錐曲線問題常用方法經(jīng)典例題(含答案)講義

1、解圓錐曲線問題常用方法 1、定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。（2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，當r1>r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將 半徑與“點到準線距離”互相轉(zhuǎn)化。（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達定理法 因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一

2、，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運算中，常設一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設弦的兩個端點A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點為M(x0,y0)，將點A、B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求”法，具體有： （1）與直線相交于A、B，設弦AB中點為M(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于A、B，設弦AB中點為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p&

3、gt;0）與直線l相交于A、B設弦AB中點為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例題】例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4)與到準線的距離和最小,則點 P的坐標為_ (2)拋物線C: y2=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當A、P、F三點共線時，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當B、Q、R三點共線時，距離和最小。解：（1）（2，）連PF，當A、P、F三點共線時，最小，此時AF的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（

4、注：另一交點為()，它為直線AF與拋物線的另一交點，舍去）（2）（）過Q作QRl交于R，當B、Q、R三點共線時，最小，此時Q點的縱坐標為1，代入y2=4x得x=，Q()點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細體會。例2、F是橢圓的右焦點，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓上一動點。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑或準線作出來考慮問題。解：（1）4- 設另一焦點為，則(-1,0)連A,P 當P是A的延長線與橢圓的交點時, 取得最小值為4-。（2）3 作出右準線l，作PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1

5、， a=2，c=1，e=，當A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為例3、動圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線（如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。解：如圖， （*）點M的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為點評：得到方程（*）后，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出，再移項，平方，相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣！例4、ABC中，B(-5,0),C

6、(5,0),且sinC-sinB=sinA,求點A的軌跡方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的關系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長的關系。解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA即 （*）點A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為 （x>3）點評：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設點，如設A(x1,x

7、12)，B(x2，X22)，又設AB中點為M(x0y0)用弦長公式及中點公式得出y0關于x0的函數(shù)表達式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準線的距離，想到用定義法。解法一：設A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點M(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x2·1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)·1+(2x0)2=9， 當4x02+1=3 即 時，此時法二：如圖， 即， 當AB經(jīng)過焦點F

8、時取得最小值。M到x軸的最短距離為點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關于x0的函數(shù)，這是一種“設而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準線的距離和，結合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證AB是否能經(jīng)過焦點F，而且點M的坐標也不能直接得出。例6、已知橢圓過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準線從左到右依次變于A、B、C、D、設f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

9、分析：此題初看很復雜，對f(m)的結構不知如何運算，因A、B來源于“不同系統(tǒng)”，A在準線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防 此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點F1(-1,0)則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=-（2）當m=5時， 當m=2時，點評：此題因最終需求，而BC斜率已知為1，故可也用“

10、點差法”設BC中點為M(x0,y0),通過將B、C坐標代入作差，得，將y0=x0+1，k=1代入得，可見當然，解本題的關鍵在于對的認識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)是解此題的要點?！就骄毩暋?、已知：F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，過F1作直線交雙曲線左支于點A、B，若，ABF2的周長為（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則P點的軌跡方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列，且，點B、C的坐標分別為(-1

11、，0)，(1，0)，則頂點A的軌跡方程是（ ）A、 B、 C、 D、4、過原點的橢圓的一個焦點為F(1，0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是 （ ）A、 B、C、 D、5、已知雙曲線上一點M的橫坐標為4，則點M到左焦點的距離是 6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是 7、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點p(-2，0)，則弦AB中點的軌跡方程是 8、過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行于虛軸的弦長為 9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù)只有一個，則k= 10、設點P是橢圓上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，求sinF1PF2的最大值。

12、11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點，且AB中點M為(-2，1)，求直線l的方程和橢圓方程。12、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點從左到右依次為A、B、C、D。求證：?！緟⒖即鸢浮?1、C，選C2、C點P到F與到x+4=0等距離，P點軌跡為拋物線 p=8開口向右，則方程為y2=16x，選C3、D，且點A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點不共線，即y0，故選D。4、A設中心為(x，y)，則另一焦點為(2x-1，2y)，則原點到兩焦點距離和為4得， 又c<a,(x-1)2+y2<4

13、 ，由，得x-1，選A5、左準線為x=-，M到左準線距離為 則M到左焦點的距離為6、設弦為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點為(x，y)，則y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22) 2=2·2x，將代入y=2x2得，軌跡方程是(y>)7、y2=x+2(x>2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M(x，y)，則，即y2=x+2又弦中點在已知拋物線內(nèi)P，即y2<2x，即x+2<2x，x>28、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=±2，弦長為49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1

14、)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=±110、解：a2=25，b2=9，c2=16設F1、F2為左、右焦點，則F1(-4，0)F2(4，0)設則 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值為a21+cos的最小值為，即1+coscos， 則當時，sin取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值為1。11、設橢圓方程為由題意：C、2C、成等差數(shù)列，a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),a2=2b2橢圓方程為，設A(x1，y1)，B(x2，y2)則 -得2222222即 k=1直線AB方程為y-1=x+2即y=x+3，