[奧數(shù)課堂]往返行程問(wèn)題的解法探討

1、奧數(shù)課堂往返行程問(wèn)題的解法探討不少學(xué)生在解答往返行程問(wèn)題時(shí)往往束手無(wú)策，有的雖能解出，但過(guò)程冗長(zhǎng)、步驟繁瑣，究其原因是還沒(méi)有把握住這類(lèi)題的基本特征。現(xiàn)以下面幾道題為例，說(shuō)明只有掌握它們的特征，才能得出簡(jiǎn)捷的解法。 例1 甲乙兩輛汽車(chē)分別從相距63千米處的礦山與堆料場(chǎng)運(yùn)料同時(shí)相向開(kāi)出，時(shí)速分別為40千米和50千米，如果不計(jì)裝卸時(shí)間，那么，兩車(chē)往返運(yùn)料自出發(fā)到第三次相遇共經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？該題為往返行程問(wèn)題，即兩者往返于兩地之間，不止一次地相遇。這種問(wèn)題除具備相遇問(wèn)題的特征外，還有如下特征：由圖可見(jiàn)，第一次相遇兩車(chē)行的路程和等于兩地距離。以后每增加一次相遇，兩車(chē)行的路程和為兩地距離的2倍。故到第三次相

2、遇，兩車(chē)行的總路程為兩地距離的5倍，這樣便不難得出該題的解法：63×5÷（40+50）=3.5（小時(shí)）掌握了上述特征后，就能把較復(fù)雜的往返行程問(wèn)題化難為易，解法化繁為簡(jiǎn)。如：例2 甲、乙兩人同時(shí)從東西兩鎮(zhèn)相向步行，在距西鎮(zhèn)20千米處兩人相遇，相遇后兩人又繼續(xù)前進(jìn)。甲至西鎮(zhèn)、乙至東鎮(zhèn)后都立即返回，兩人又在距東鎮(zhèn)15千米處相遇，求東西兩鎮(zhèn)距離？解法一 設(shè)東西兩鎮(zhèn)相距為x千米，由于兩次相遇時(shí)間不變，則兩人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：所以東西兩鎮(zhèn)相距45千米。解法二 緊扣往返行程問(wèn)題的特征，兩人自出發(fā)至第二次相遇所走路程總和為東西兩鎮(zhèn)距離的3倍，

3、而第一次相遇距西鎮(zhèn)20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，則從出發(fā)至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇時(shí)乙已從東鎮(zhèn)返回又走了15千米，所以，兩鎮(zhèn)的距離為（20×3-15=）45（千米）例3 甲乙兩人同時(shí)從東鎮(zhèn)出發(fā)，到相距90千米的西鎮(zhèn)辦事，甲騎自行車(chē)每小時(shí)行30千米，乙步行每小時(shí)行10千米，甲到西鎮(zhèn)用1小時(shí)辦完事情沿原路返回，途中與乙相遇。問(wèn)這時(shí)乙走了多少千米？解法一 東西兩鎮(zhèn)相距90千米，甲每小時(shí)行30千米，共需（90÷30=）3（小時(shí)）。連辦事共用了（3+1=）4（小時(shí)）。乙每時(shí)行10千米，4小時(shí)共行（10×4=）40（千米）。這時(shí)

4、兩人相距（90-40=）50（千米），兩人正好同時(shí)從 A、B相向而行，其相遇時(shí)間為（50÷（30+10）=）1.25（小時(shí)）。于是乙從出發(fā)至相遇經(jīng)過(guò)了（4+1.25因此，共走了10×5.2552.5（千米）。解法二 根據(jù)題意可知甲從東鎮(zhèn)到西鎮(zhèn)，返回時(shí)與乙相遇（乙未到西鎮(zhèn)，無(wú)返回現(xiàn)象），故兩人所行路程總和為（90×2=）180（千米），但因甲到西鎮(zhèn)用了1小時(shí)辦事。倘若甲在這1小時(shí)中沒(méi)有停步（如到另一地方買(mǎi)東西又回到西鎮(zhèn)，共用1小時(shí)），這樣兩人所行總路程應(yīng)為：90×2+30=210（千米），又因兩人速度和為30+10=40（千米），故可求得相遇時(shí)間為：（21

5、0÷40=）5.25（小時(shí)），則乙行了（10×5.25=）52.5（千米）。例4 快慢兩車(chē)同時(shí)從甲乙兩站相對(duì)開(kāi)出，6小時(shí)相遇，這時(shí)快車(chē)離乙站還有240千米，已知慢車(chē)從乙站到甲站需行15小時(shí)，兩車(chē)到站后，快車(chē)停留半小時(shí)，慢車(chē)停留1小時(shí)返回，從第一次相遇到返回途中再相遇，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)？解法一 240÷6=40（千米）（慢車(chē)速度）40×15=600（千米）（甲乙兩站距離）（600-240）÷6=60千米（快車(chē)速度）快車(chē)第一次相遇后繼續(xù)前進(jìn)至乙站，又開(kāi)了（240÷60=）4（小時(shí)），連停留時(shí)間共用了4.5小時(shí)。慢車(chē)第一次相遇后，向前開(kāi)了4.5

6、小時(shí)，應(yīng)行（40×4.5=180（千米），到A處，這樣慢車(chē)距離甲站還有（600-240-180=）180（千米），如繼續(xù)開(kāi)到甲站，加上停留時(shí)間，還要用（180÷40+1=）5.5（小時(shí)）。在這5.5小時(shí)中，快車(chē)又從乙站返回開(kāi)至B處，距甲站為（600-60×5.5）270（千米）。這時(shí)就相當(dāng)于兩車(chē)從相距270千米的兩地（甲站和B處）同時(shí)相向開(kāi)出，則可求出其相遇時(shí)間為：270÷（60+40）=2.7（小時(shí)）最后，求得慢車(chē)從第一次相遇到返回途中再相遇所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（4.5+5.5+2.7=）12.7（小時(shí)），即為問(wèn)題所要求的。解法二 根據(jù)往返相遇問(wèn)題的特征可知，從第一次相遇到返回途中再相遇，兩車(chē)共行的路程為甲乙兩站距離的2倍，再根據(jù)例3解法二的設(shè)想方法，即假設(shè)快車(chē)不在乙站停留0.5小時(shí)，慢車(chē)不在甲站停留1小時(shí)，則兩車(chē)從第一次相遇到第二次相遇所行總路程為600×2+60×0