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文檔簡介

1、第九章 二次型1.設(shè)A,B是階對稱矩陣,B是非奇異的.又設(shè)的根互異,分別是齊次線性方程組的非零解,證明:的線性無關(guān).2.設(shè)A,B,C為階方陣,且正定,證明:也是正定的.3.用非退化線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并用矩陣驗算所得結(jié)果：(1) ；(2) ；(3) +；(4) ，其中4.設(shè)實二次型=，證明：的秩等于矩陣的秩5設(shè)A是n階實對稱矩陣，證明：存在一正實數(shù)c使對任一個實n維向量X都有.6證明:(1) 如果是正定二次型，那么是負(fù)定二次型；(2)如果A是正定矩陣，那么，這里是A的階的順序主子式(3)如果A是正定矩陣，那么. (4)如果是階實對稱矩陣,那么7證明：實對稱矩陣A是半正定的充分必要條件

2、是A的一切主子式全大于或等于零（所謂k階主子式是指形為的k階子式，其中）第九章 二次型一、填空題(第小題3分,共15分)1二次型的矩陣為 2實數(shù)域上3階對稱矩陣按合同關(guān)系可分為 類3兩個元實二次型等價的充分必要條件是 4A正定 5某四元二次型有標(biāo)準(zhǔn)形，則其典范形為 二、判斷說明題（先判斷正確與錯誤，再簡述理由每小題5分，共20分）1元實二次型的符號差與秩有相同的奇偶性2階實對稱矩陣A若滿足，則A正定3A為階復(fù)對稱矩陣，則與合同4設(shè)A，B分別是階正定矩陣，則也是正定矩陣三、計算題（每小題15分，共45分）1用可逆線性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形寫出所用的線性變換及變換矩陣，并求出的正慣性指數(shù)與符號差2設(shè)矩陣其中為實數(shù)，I為單位矩陣求對角矩陣，使B與相似，并求為何值時，B為正定矩陣3已知二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求的值及所作的正交變換四、證明題（第小題10分，共20分）1A為實對稱矩陣，B為對稱正定矩陣，證明：存在可逆矩陣T，使

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