2018年高考數(shù)學總復習-圓錐曲線綜合(共23頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第六節(jié) 圓錐曲線綜合考綱解讀1.掌握與圓錐曲線有關的最值、定值和參數(shù)范圍問題.2.會處理動曲線（含直線）過定點的問題.3.會證明與曲線上的動點有關的定值問題.4.會按條件建立目標函數(shù)，研究變量的最值及取值范圍問題，注意運用數(shù)形結合法和幾何法求某些量的最值. 命題趨勢研究從內容上看，預測2015年高考主要考查兩大類問題：一是根據(jù)條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質，其熱點有：以客觀題的形式考查圓錐曲線的基本概念和性質；求平面曲線的方程和軌跡；圓錐曲線的有關元素計算、關系證明或范圍確定；涉及圓錐曲線對稱變換、最值或位置關系的有關問題.從形式上看，

2、以解答題為主，難度較大.從能力要求上看，要求學生具備一定的數(shù)形結合、分析問題和解決問題及運算能力.知識點精講一、定值問題 解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決.證明過程可總結為“變量函數(shù)定值”，具體操作程序如下：（1）變量-選擇適當?shù)牧繛樽兞?（2）函數(shù)-把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù).（3）定值-化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值.求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值. 二、求最值問題常用的兩種方法 （1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形

3、性質來解決，這是幾何法.（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值.求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調性法、導數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法.三、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”（1）重視定義在解題中的作用(把定義作為解題的著眼點).（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質與方程的代數(shù)特征在解題中的作用.（3）重視根與系數(shù)的關系在解題中的作用(涉及弦長、中點要用根與系數(shù)的關系).四、求參數(shù)的取值范圍據(jù)已知條件及題目要求等量或不等量關系，再求參數(shù)的范圍.題型歸納及思路提示題型150 平面向量在解析幾何中的應用思路提示 解決平面向

4、量在解析幾何中的應用要把幾何特征轉化為向量關系，并把向量用坐標表示.常見的應用有如下兩個方面. （1）用向量的數(shù)量積解決有關角的問題.直角,鈍角(且不反向), 銳角(且不同向).（2）利用向量的坐標表示解決共線問題. 一、利用向量的數(shù)量積解決有關夾角（銳角、直角、鈍角）的問題其步驟是：先寫出向量坐標式，再用向量數(shù)量積的坐標公式 例10.44過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點，O為坐標原點.求證：ABO的是鈍角三角形. 分析 證明ABO的是鈍角三角形常用的方法是利用余弦定理，但用余弦定理來解決需計算出的長，顯然較復雜.因為O,A,B不共線，故可利用來證明AOB90°，從而得證.

5、解析 設，,拋物線的焦點坐標.根據(jù)題意知，直線AB的斜率存在(若不存在，則A,B在原點，矛盾)，設直線AB的方程為，由，得，則，.因為A,B兩點在拋物線上，所以，兩式相乘得，.，,，又因為O,A,B三點不共線，所以AOB90°，ABO的是鈍角三角形.評注 直線與拋物線交于A,B兩點，則（1）直線在軸上的截距等于時，AOB90°；（2）直線在軸上的截距大于時，AOB90°；（3）直線在軸上的截距大于0且小于時，AOB90°. 變式1（2012重慶理20）如圖10-34所示，設橢圓的中心為原點O，長軸在軸上，上頂點為A，左右焦點分別為F1,F2，線段OF1,

6、OF2的中點分別為B1,B2，且AB1B2是面積為4的直角三角形.（1）求該橢圓的離心率和標準方程；（2）過B1作直線交橢圓于P,Q兩點，使PB2QB2，求直線的方程. 變式2設A,B分別為橢圓的左右頂點，P為直線上不同于的任意一點，若直線AP,BP分別與橢圓交于異于A,B的點M,N，證明：點B在以MN為直徑的圓內.變式3已知，直線,橢圓，F(xiàn)1,F2分別為橢圓C的左右焦點.（1）當直線過右焦點F2時，求直線的方程；（2）設直線與橢圓C交于A,B兩點，AF1F2和BF1F2和的重心分別是G,H；若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數(shù)的取值范圍.例10.45在直角坐標系中，點P到兩點,的距離之和

7、等于4，設點P的軌跡為C，直線與C交于A,B兩點.（1）寫出C的方程； （2）若,求的值.解析 （1）設，由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以,為焦點，長半軸為2的橢圓.其短半軸，故曲線C的方程為.（2）設，,由，即，由韋達定理知，.若,即，而，所以，即，解得.評注 本題的結論可由【例10.44變式3】的評注中的重要結論順利得到：由題意，,故有AOB90°，設原點O到直線的距離為，則有，故可得，又，所以，解得.利用此結論求解，可以對利用常規(guī)方法求解出的結果加以驗證，從而提高解題的準確率，做到胸有成竹.變式1如圖10-35所示，橢圓的頂點為A1,A2,B1,B2，焦點為F1,F2，,.(1

8、)求橢圓C的方程； （2）設為過原點的直線，是與垂直相交于P點,與橢圓相交于A,B兩點的直線，是否存在上述直線使成立？若存在求出直線的方程；若不存在，請說明理由.變式2如圖10-36所示，橢圓的一個焦點是，O為坐標原點，設過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若直線繞點F任意轉動，恒有,求的取值范圍.二、利用向量的坐標表示解決共線問題向量共線的條件是或. 例10.46在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點P,Q.（1）求的取值范圍；（2）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為A,B，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.分析 將向量共線轉化為坐標

9、關系求解.解析 （1）設直線方程為，代入橢圓得即，則，解得,或.（2）設，,則，由方程得，又,.所以向量與共線等價于，將代入上式，解得，由（1）知,或，故沒有符合題意的常數(shù).變式1設橢圓的左右焦點分別為F1,F2，離心率，直線，如圖10-37所示，M,N是上的兩個動點，.（1）若，求的值；（2）證明：當取最小值時，與共線.例10.47設A,B是橢圓上的兩點，并且點滿足,當時，求直線AB斜率的取值范圍.分析 已知的取值范圍，求直線斜率范圍關鍵在于如何用表示，突破口在于將轉化為坐標關系.解析 因為，所以A,B, N三點共線，又點N的坐標為，設直線AB的方程為，則，由，消去得，由條件可知，解得.設，

10、,則，由，得.所以有，消去得，令，則在區(qū)間上為減函數(shù)，從而 .解得或，符合，因此直線AB斜率的取值范圍為,.評注 本題在消元上有個技巧，當時消去得關于的一元二次方程.，消去就會得與之間的關系；當時消去.變式1已知F1,F2分別為橢圓的左右焦點，直線過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為D，線段DF2的垂直平分線交于點M. （1）求動點M的軌跡C的方程；（2）過點F1作直線交曲線C于兩個不同的點P和Q，設,若，求的取值范圍.變式2過點的直線交拋物線于A,B兩點，交直線于點M，已知,求的值.題型151 定點問題思路提示 （1）直線過定點，由對稱性知定點一般在坐標軸上，如直線，若為常量

11、，則直線恒過點；若為常量，則直線恒過. （2）一般曲線過定點，把曲線方程變?yōu)椋閰?shù)），解方程組即得定點.模型一：三大圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）中的頂點直角三角形的斜邊所在的直線過定點.例10.48已知橢圓，直線與橢圓交于A,B兩點（A,B不是原點），且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.分析 要求直線過定點，必須知道直線中與的關系.解析 設，,由，消去得，由條件可知，即，則，（*）因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，所以，即，即，整理得，將（*）代入，化簡得，即或.（1）當時，過右頂點，與題意不符，故舍去；（2）當時，過定點，且滿足，符合.所以過定點.

12、評注 已知橢圓，直線與橢圓交于A,B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點A1,求證：如圖10-38所示，設，,由，消去得，由條件可知，即.（注：截距的平方小于二次方程的二次項系數(shù)，請記?。。﹦t，（*）因為AB為直徑的圓過橢圓的右頂點A1,所以,又，所以，即，即，整理得，將（*）代入，化簡得.（1）當時，過右頂點，與題意不符，故舍去；（2）當時，過定點，且滿足，符合題意.所以，過定點.同理可證，若AB為直徑的圓過左頂點,則過定點；過上頂點時，過定點；過下頂點時，過定點. 類比橢圓，對于雙曲線，上異于右頂點的兩動點A,B，若AB為直徑的圓過右頂點,則過定點；同理，若該圓過左頂點,則過定點；變式1

13、已知橢圓的左頂點為A，不過點A的直線與橢圓交于不同的兩點P,Q，當，求與的關系，并證明直線過定點.變式2（2012北京海淀高三期末理19）已知焦點在軸上的橢圓C過點，且離心率為，Q為橢圓C的左頂點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知過點的直線與橢圓C交與A,B兩點.（）若直線垂直于軸，求AQB的大?。唬ǎ┤糁本€與軸不垂直，是否存在直線使得QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.例10.49已知拋物線上異于頂點的兩動點A,B滿足以AB為直徑的圓過頂點. 求證：AB所在的直線過定點，并求出該定點的坐標.分析 要證明過定點，必須先求得其方程.解析 由題意知的斜率不為0

14、（否則只有一個交點），故可設，設，由，消去得，從而，即，且，（*）因為以AB為直徑的圓過頂點，所以,即，也即，把式（*）代入化簡得，得或.（1）當時，過頂點，與題意不符，故舍去；（2）當時，令，得，所以過定點，此時滿足.綜上，過定點.評注：（1）將斜率存在的直線的方程設為，將斜率不為0的直線的方程設為 ；拋物線中， ；對于過定點問題，必須引入?yún)?shù)，最后令參數(shù)的系數(shù)為0.如本題，先引入?yún)?shù)之后，就剩下參數(shù) ，直線中令參數(shù)的系數(shù)為0，則直線過定點.(2)拋物線 上兩異于原點O的動點A,B滿足，則AB所在的直線過定點；拋物線 上兩異于原點O的動點A,B滿足，則AB所在的直線過定點.變式1 如圖10-

15、39所示，已知定點在拋物線 上，過點作兩直線分別交拋物線于A,B，且以AB為直徑的圓過點P，證明：直線AB過定點，并求出此定點的坐標. 變式2 已知拋物線，過點作兩直線分別與拋物線交于兩點，且的斜率滿足.求證：直線過定點，并求出此定點的坐標.模型二：三大圓錐曲線（橢圓，雙曲線，拋物線）中，若過焦點的弦為，則焦點所在坐標軸上存在唯一定點，使得為定值.例10.50 （2012北京海淀二模理18）已知橢圓的右焦點為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線過點，且與橢圓交于兩點，試問軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.解析 （1）由題意知：.根據(jù)橢

16、圓的定義得：，即.所以.所以橢圓的標準方程為.(2) 假設在軸上存在點，使得恒成立.當直線的斜率為0時，.則,解得.(i)當直線的斜率不存在時，.由于，所以.(ii)下面證明時，恒成立.顯然直線的斜率為0時，.當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，由可得：.因為，所以綜上所述，在軸上存在點，使得恒成立.變式1 已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點.在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.題型152 定直線問題模型：已知橢圓外一點，當過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點時，在線段上取一點,滿足求證：點總在某定直線上，并求出該直線的方程.證

17、明：如圖10-40所示，設，由題意知，設A在P，Q之間，又Q在P，B之間，故,因為，所以.由得，解得同理，由得，解得因為點A在橢圓上，所以，即 同理，點B在橢圓上，得. 由得，即.所以點在定直線上.類比橢圓，對于雙曲線有點在定直線上.再有P，Q的對等性知，當P在橢圓內，仍有上述結論，雙曲線亦同.已知拋物線 ，定點不在拋物線上，過點的動直線交拋物線于兩點，在直線上取點,滿足求證：點在某定直線上，并求其方程.證明：設，由題意知，設A在P，Q之間，又Q在P，B之間，故,因為，所以，由知，解得故點A坐標為.同理，由知，解得故點B坐標為.因為點A在拋物線上，所以，即 同理 . 由得，即.所以點在定直線上

18、.注：三大圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）中，當定點在曲線上時，相應的定直線，均為在定點處的切線.例10.51 設橢圓過點,且左焦點為.(1)求橢圓的方程；（2）當過點的動直線與橢圓相交于兩不同點時，在線段上取點,滿足.證明：點總在某定直線上.分析 用待定系數(shù)法求解橢圓的方程，巧妙地利用定比分點解答點的軌跡問題.解析 （1）由題意知，解得，所求橢圓方程為.（2）如圖10-41所示，設，由題意知，不妨設A在P，Q之間，又Q在P，B之間，故,因為，所以，由得，解得同理，由得，解得因為點A在橢圓上，所以，即 同理，點B在橢圓上，得. 由得，因為所以.所以點在定直線上.評注 由模型的結論不難知動點總在

19、定直線上，得，即.題型153 定值問題思路提示 求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出其值，再證明這個值與變量無關，這符合一般與特殊的思維辯證關系.簡稱為：特殊探路，一般論證.(2)直接推理，計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.模型：三大圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）中，曲線上的一定點P與曲線上的兩動點A，B滿足直線PA與直線PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率為定值.例10.52 已知橢圓，為橢圓上的點，其坐標為，為橢圓上的兩動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出該定值.分析 要求直線EF的斜率，必須知道E，F(xiàn)的坐標.解析 設

20、直線的方程為，聯(lián)立，消得 ，則 又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，故以上用代替 所以，把，兩式代入上式，得，為定值.評注 本題中可以用換元法簡化計算，可以設，得，將代入橢圓方程中得，且（為直線的斜率），聯(lián)立直線方程與橢圓方程得，消得關于的一元二次方程：，得，同理，由，得為定值.變式1 已知A，B，C是長軸為4，焦點在軸上的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓的中心O,且.(1) 求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點,使得的平分線垂直于，問是否總存在實數(shù)，使得？說明理由.變式2 如圖10-42所示，過拋物線上一定點，作兩條直線分別交拋物線于.(1) 求該拋物線上縱坐標為的點到焦點F的距離

21、；(2) 當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù). 題型154 最值問題思路提示有兩種求解方法：一是幾何方法，所求最值量具有明顯的幾何意義時可利用幾何性質結合圖形直觀求解；二是目標函數(shù)法，即選取適當?shù)淖兞?，建立目標函?shù)，然后按照求函數(shù)的最值方法求解，同時要注意變量的范圍.例10.53 設橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上任意一點，點的坐標為，求的最大值和最小值.分析 本題若設，建立目標函數(shù)，則會作繭自縛.但是注意到為橢圓左焦點，聯(lián)想到橢圓定義及三角形中邊的關系不等式時，問題就容易獲解.解析 如圖10-43所示，因為在橢圓上，所以有，令，得.當三點不共線時，

22、有，當落在的延長線時，當落在的延長線時，.所以，.評注 這里利用橢圓定義、三角形兩邊之差小于或等于（注意等號成立的條件）第三邊，使與曲線有關的最值轉化為直線段間的最值.應明確這里不能用，求得的最小值，原因是取不到等號，如果要取到等號，那么必須在線段上，但這是不可能的.變式1 如圖10-44所示，已知點是拋物線上的點，設點到此拋物線的準線的距離為，到直線的距離為，求的最小值.變式2 已知點為雙曲線上的動點，,求的最大值及此時點的坐標.例1054 已知橢圓，點為橢圓上的動點，若的坐標分別是，求的最大值.分析 求積的最大值，由“和為定值積有最大值”知，必須找出和為定值.解析 由題設知是橢圓的上、下焦

23、點，故由橢圓的定義知. 所以.當且僅當時取等號，即為左、右頂點時取等號.所以，當為左、右頂點時，取得最大值4.評注 本題運用基本不等式求最值，但要注意使用基本不等式的條件：一正，二定，三相等，四同時，積為定值時，和最??；和為定值時，積最大，取等號的條件均為.變式1 已知橢圓在第一象限部分為曲線，動點在上，在點處的切線與軸的交點分別為,且向量，求的最小值.例10.55 如圖10-45所示，已知拋物線與圓相交于四點. (1) 求的取值范圍；（2）當四邊形的面積最大時，求對角線的交點的坐標.解析 （1）將代入 并化簡得 因為與有四個交點的充要條件是方程有兩個不等的正根，由此得 ，解得.又，所以的取值

24、范圍是.(2) 不妨設與的四個交點坐標分別為，則直線的方程分別為，.解得點的坐標為.設，由及（1）知.由于四邊形為等腰梯形，因而其面積.即.將，代入上式，并令，得.求導數(shù)得，令，解得（舍去）.顯然當時，；當時，.故當且僅當時，有最大值，即四邊形的面積最大.故所求的點的坐標為.另解，當且僅當時，即時取等號，所以點的坐標為.評注 本題主要有兩個考查點：一個是考查將曲線與曲線的交點問題轉化為二次方程的根的問題，是較基本的問題；另一個是考查四邊形的面積最大值問題，是本題的核心點.要注意本題中表面上求點的坐標，實質上是求四邊形的面積最大值，而且在求目標函數(shù)最值的過程中，利用了導數(shù)判斷單調性的方法，從而使本題的綜合性大大提高.變式1 已知平面內一動點到點的距離與點到軸的距離的差等于1.(1) 求動點的軌跡C的軌跡；(2)過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡C相交于點