拋物線及其標準方程(李用)（課堂PPT）

1、1 2. 2.4 4.1 .1 拋物線及其標準方程拋物線及其標準方程 234小結(jié)：小結(jié)：5噴噴 泉泉燈燈衛(wèi)星接收天線衛(wèi)星接收天線678拋球運動9復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧： 我們知道我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征： 都可以看作是都可以看作是, ,在平面內(nèi)與一個在平面內(nèi)與一個定點定點的距離和一條的距離和一條定直線定直線的距離的比是的距離的比是常數(shù)常數(shù)e的點的軌跡的點的軌跡. .MFl0e 1(2) 當(dāng)當(dāng)e1時，是雙曲線時，是雙曲線;(1)當(dāng)當(dāng)0e0) )想一想想一想? 這種坐標這種坐標系下的拋物系下的拋物線方程形式線方程形式怎樣怎樣? ?)0(22ppyx四種標

2、準方程四種標準方程 一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程有四不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程有四種形式種形式.16yxoyxoyxoyxo(, 0)2p2px ( (三三) )拋物線的標準方程拋物線的標準方程 圖圖 形形 焦焦 點點 準線方程準線方程 標準方程標準方程y2= - -2px(p0)x2=2py(p0)x2= - -2py(p0)y2=2px(p0)2px (,0)2p 0 ,2p 2py 0,2p 2py 17圖形圖形標準方程標準方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p？焦點在一次

3、項字母對應(yīng)的坐標軸上. 一次項系數(shù)的符號決定了拋物線的開口方向. 左邊都是平方項， 右邊都是一次項.18 2.已知拋物線的標準方程是y2 = -6x ，則它的焦點坐標是 ,準線方程是 . 3.已知拋物線的方程是y=6ax2（a0），則它的焦點坐標是 ,準線方程是 . 1(0,)24a124ya3(,0)232x 應(yīng)用：類題一（由方程求有關(guān)量）1.已知拋物線的標準方程是y2 = 6x ，則它的焦點坐標是 ,準線方程是 .3( ,0)232x 感悟 ：求拋物線的焦點坐標和準線方程要注意兩點: 1.先化為標準方程 2. 判斷焦點的位置是一次項系數(shù)的14是一次項系數(shù) 的相反數(shù)14即：準確“定型”19練

4、習(xí)練習(xí)：填空（頂點在原點，焦點在坐標：填空（頂點在原點，焦點在坐標軸上）軸上） 方程方程焦點焦點準線準線開口方向開口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42開口向開口向右右開口向開口向左左開口向開口向上上開口向開口向下下20 1. 焦點為F（-2，0），則拋物線的標準方程為_. 2. 準線方程是y = -2，則拋物線的標準方程為_. 3.焦點到準線的距離是4,則拋物線的標準方程為_ _.y2=-8xx2=8yy2=8x 、 x2=8y （1）（2）應(yīng)用：類題二（由有關(guān)量求標準方程）感悟 ：1.“定型”“定量

5、”2.如果焦點位置或者開口方向不定則要注意分類討論.214.4.標準方程中標準方程中p前面的前面的正負號正負號決定拋物線的決定拋物線的開口方開口方向向 1.1.拋物線的定義拋物線的定義: :2.2.拋物線的標準方程有四種不同的形式拋物線的標準方程有四種不同的形式: :每一對焦點和準線對應(yīng)一種形式每一對焦點和準線對應(yīng)一種形式. .3.3.p的幾何意義是的幾何意義是: :焦焦 點點 到到 準準 線線 的的 距距 離離22（1）已知拋物線的標準方程是y2 = 6x， 求它的焦點坐標和準線方程；（2）已知拋物線的方程是y = 6x2， 求它的焦點坐標和準線方程；（3）已知拋物線的焦點坐標是F（0，-2

6、）， 求它的標準方程。解：因為，故焦點坐標為（,）準線方程為x=- .3232 1 12解:方程可化為:x =- y,故p=,焦點坐標為(0, -),準線方程為y= .16 1 24 1 242解:因焦點在y軸的負半軸上,且p=4,故其標準方程為:x = - 8y223P67P67練習(xí)練習(xí)1 1：1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準線方程 是x = ；41（3）焦點到準線的距離是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y242、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：(1)

7、y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =012焦點坐標焦點坐標準線方程準線方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=- -5（0，）18y= - - 188x= 5（- - ，0）58（0，- -2）y=225 思考思考: :M是拋物線是拋物線y2 = 2px（p0）上一點，若點）上一點，若點 M 的橫坐標為的橫坐標為x0，則點，則點M到焦點的距離是到焦點的距離是 x0 + 2pOyxFM這就是拋這就是拋物線的焦物線的焦半徑公式半徑公式! !263、(1)拋物線拋物線y2 = 2px（p0）上一點）上一點M到焦點的距到焦點的距離是離是a，則點，則

8、點M到準線的距離是到準線的距離是_，點，點M 的橫坐標為的橫坐標為_ a - 2pOyxFMP67P67練習(xí)練習(xí)3(1)3(1)a273、(2)拋物線拋物線y2 = 12x上與焦點的距離等于上與焦點的距離等于9的點的的點的坐標為坐標為_ OyxFMP67P67練習(xí)練習(xí)3(2)3(2)3-328 2. 若拋物線若拋物線y2=8x上一點上一點M到原點的距離等于點到原點的距離等于點M到準線的距離，則點到準線的距離，則點M的坐標是的坐標是_. 29變式練習(xí)變式練習(xí): :已知拋物線的焦點在已知拋物線的焦點在 x 軸上，拋物線上的點軸上，拋物線上的點M(-3,(-3,m) )到焦點的距離等于到焦點的距離等

9、于5 5，求拋物線的標準方程，求拋物線的標準方程. .解解: :因為是焦點在因為是焦點在 x 軸上且過軸上且過M點的拋物線點的拋物線, ,所以設(shè)所以設(shè)標準方程為標準方程為由拋物線的定義知由拋物線的定義知 -(-3)=5 -(-3)=5 即即p=4.=4.所以所求拋物線標準方程為所以所求拋物線標準方程為y2 2 = -8= -8xy2=- -2px(p0)2p數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合, ,用定義轉(zhuǎn)化條件。用定義轉(zhuǎn)化條件。30 5.求過點A（-3，2）的拋物線的標準方程.AOyx當(dāng)當(dāng)點點軸軸時時設(shè)設(shè)拋拋線線為為將將2 2解解：( (1 1) ) 焦焦在在y y正正方方向向，所所求求物物方方程程：x x =

10、 = 2 2p py y( (p p 0 0) )9 9A A（- -3 3，2 2）代代入入方方程程得得：p p = =4 4( (2 2) )當(dāng)當(dāng)點點軸軸負負時時設(shè)設(shè)拋拋線線為為將將2 2焦焦在在x x方方向向，所所求求物物方方程程：y y = = - -2 2p px x( (p p 0 0) )2 2A A（- -3 3，2 2）代代入入方方程程得得：p p = =3 3y所所以以拋拋線線為為或或2 22 2所所求求物物方方程程：x x = = y y = = - -x x9 94 42 23 3感悟：1.待定系數(shù)法 2.數(shù)形結(jié)合 3. 分類討論應(yīng)用：類題二（由有關(guān)量求標準方程）31o

11、xy4.求焦點在直線3x+4y-12=0上的拋物線的標準方程.應(yīng)用：類題二（由有關(guān)量求標準方程）標準方程對應(yīng)的拋物線焦點在坐標軸上.分析:解:由3x+4y-12=0令x=0得y=3 令y=0得x=4(0,3)(4,0)拋物線的焦點坐標為或2(0,3),2,362ppyp當(dāng)焦點為設(shè)拋物線的方程為x由得2(4,0),2,482ppxp當(dāng)焦點為設(shè)拋物線的方程為y由得2216 . x拋物線的方程為x =12y或y32例例2 2 點點M與點與點F(4,0)(4,0)的距離比它到直線的距離比它到直線l：x+5=0+5=0的的距離小距離小 1 1，求點，求點M的軌跡方程的軌跡方程. .解：如圖解：如圖, ,

12、設(shè)點設(shè)點M的坐標為的坐標為(x, ,y), ,依題意可知依題意可知點點M與點與點F的距離等的距離等于它到直線于它到直線x+4=0的距離的距離，根，根據(jù)拋物線的定義，點據(jù)拋物線的定義，點M的軌跡是的軌跡是以以F（4, ,0）為焦點的拋物線）為焦點的拋物線.4 , 82pp 焦點在焦點在x軸的正半軸上，軸的正半軸上，點點M的軌跡方程為：的軌跡方程為：y2 2=16=16xllMxOyF33題型一題型一 利用拋物線的定義求方程利用拋物線的定義求方程例例1:若動圓若動圓M與圓與圓C:(x-2)2+y2=1外切外切,又與直線又與直線x+1=0相切相切,則則動圓圓心的軌跡方程是動圓圓心的軌跡方程是( )A

13、.y2=8x B.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x答案答案:A34解析解析:如圖所示如圖所示,設(shè)動圓圓心為設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為半徑為R,由題設(shè)可知定由題設(shè)可知定圓圓心為圓圓心為C(2,0),半徑半徑r=1.兩圓外切兩圓外切,|MC|=R+1.又動圓又動圓M與已知直線與已知直線x+1=0相切相切,圓心圓心M到直線到直線x+1=0的距離的距離d=R,|MC|=d+1.即動點即動點M到定點到定點C(2,0)的距離等于它到的距離等于它到定直線定直線x+2=0的距離的距離.由拋物線的定義可知點由拋物線的定義可知點M的軌跡為以的軌跡為以C為焦點為焦點,x+2=0為準線的拋物線為準線

14、的拋物線,其方程為其方程為y2=8x.故正確答故正確答案為案為A.35變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1:動點動點P到點到點(3,0)的距離比它到直線的距離比它到直線x=-2的距離大的距離大1,則動點則動點P的軌跡是的軌跡是( )A.橢圓橢圓 B.雙曲線雙曲線C.雙曲線一支雙曲線一支 D.拋物線拋物線解析解析:將直線將直線x=-2向左平移一個單位向左平移一個單位,由已知可得動點由已知可得動點P到點到點(3,0)的距離等于到直線的距離等于到直線x=-3的距離的距離.答案答案:D362.拋物線拋物線y2=8x的準線方程是的準線方程是( )A.x=-2 B.x=-4C.y=-2 D.y=-4答案答案:A解析解析:y

15、2=8x=24x,p=4,準線方程為準線方程為2.2px 37.,11.()88.CD23xayy2aA 8B8拋物線的準線方程是則實數(shù) 的值為答案答案:B解析解析:x2=ay的準線方程為的準線方程為 ,a=-8.24ay 38111.,0. 0,. 0,.()8,44.BCD24y2xA 1 0拋物線的焦點坐標是答案答案:C1.210,.8:y22y2xx解析 由得焦點坐標為3922222294.239423.,().4.39.2A xyyxyxxyC xyD yx 52 3B頂點在原點 坐標軸為對稱軸的拋物線過點則它的方程是或或答案答案:B40:(, ),()(),(,49),(),2,3

16、249.32pyx 221121222 3x2py p0y2p x p02 322p 392p22pxy解析點在第二象限設(shè)拋物線的標準方程為或把代入 得或或故所求的拋物線方程為或416.在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中中,已知拋物線關(guān)于已知拋物線關(guān)于x軸對稱軸對稱,頂點在頂點在原點原點,且過點且過點P(2,4),則該拋物線的方程為則該拋物線的方程為_.y2=8x 解析解析:設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為y2=ax,又拋物線過點又拋物線過點P(2,4),則則16=2a,a=8,y2=8x.427.(2008上海上海,6)若直線若直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點的焦點

17、,則則實數(shù)實數(shù)a=_.-1 解析解析:由由y2=4x得焦點得焦點F(1,0),代入直線方程得代入直線方程得a+1=0.a=-1.4311.(2010福建卷福建卷)以拋物線以拋物線y2=4x的焦點為的焦點為圓心且過坐標原點的圓的方程為圓心且過坐標原點的圓的方程為( )A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0解析解析:拋物線拋物線y2=4x的焦點坐標為的焦點坐標為(1,0),圓心坐標為圓心坐標為(1,0),半徑半徑r=1,圓的方程為圓的方程為(x-1)2+y2=1,即即x2+y2-2x=0.答案答案:D44題型二題型二 求拋物線的標準方程求拋

18、物線的標準方程例例2:求適合下列條件的拋物線的標準方程求適合下列條件的拋物線的標準方程.分析分析:首先需確定使用哪種標準方程形式首先需確定使用哪種標準方程形式,若無若無法確定法確定,則應(yīng)討論則應(yīng)討論,然后由條件求然后由條件求p的值的值.451249422,32:( )(, ),()(392,.),ppxxy2211213 2y2px p0 x2p y p03 2y解點在第二象限設(shè)拋物線的標準方程為或則由拋物線過解得或所求拋物線方程為或例例2:求適合下列條件的拋物線的標準方程求適合下列條件的拋物線的標準方程.(1)過點過點(-3,2);46 (2)令令x=0,由方程由方程x-2y-4=0得得y=

19、-2,當(dāng)拋物線的焦點為當(dāng)拋物線的焦點為F(0,-2)時時,設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0),則由則由 =2得得p=4,所求拋物線方程為所求拋物線方程為x2=-8y.令令y=0,由方程由方程x-2y-4=0得得x=4,當(dāng)拋物線的焦點為當(dāng)拋物線的焦點為F(4,0)時時,設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則由則由 =4得得p=8,所求拋物線方程為所求拋物線方程為y2=16x.綜上綜上,所求拋物線方程為所求拋物線方程為x2=-8y或或y2=16x.2p2p例例2:求適合下列條件的拋物線的標準方程求適合下列條件的拋物線的標準方程.(2)焦點在直線焦點在直線x-2y-4=

20、0上上;47 (3)焦點到準線的距離為焦點到準線的距離為 p=所求拋物線方程為所求拋物線方程為:y2=5x或或y2=-5x或或x2=5y或或x2=-5y.規(guī)律技巧規(guī)律技巧:(1)拋物線的標準方程有四種形狀拋物線的標準方程有四種形狀,主要看其焦點的主要看其焦點的位置和開口方向位置和開口方向.(2)不知道焦點的具體位置時不知道焦點的具體位置時,標準方程有標準方程有兩種一般形式兩種一般形式:y2=mx(m0)或或x2=ny(n0).5,25,2例例2:求適合下列條件的拋物線的標準方程求適合下列條件的拋物線的標準方程.(3)頂點在原點頂點在原點,以坐標軸為對稱軸以坐標軸為對稱軸,焦點到準線的距離為焦點

21、到準線的距離為5,248變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2:分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.(1)過點過點(3,-4);解解:(1)點點(3,-4)在第四象限在第四象限,設(shè)拋物線標準方程為設(shè)拋物線標準方程為y2=2px(p0)或或x2=-2p1y(p10).把點把點(3,-4)的坐標分別代入的坐標分別代入y2=2px和和x2=-2p1y,得得(-4)2=2p53,32=-2p15(-4),12169, 2.34169.34pyxy 22px故所求的拋物線方程為或49 (2)令令x=0得得y=-5,令令y=0得得x=-15.拋物線的焦點為拋物線的焦點為(0,-5)或或(

22、-15,0).故所求的拋物線的標準方程為故所求的拋物線的標準方程為x2=-20y或或y2=-60 x.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2:分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.(2)焦點在直線焦點在直線x+3y+15=0上上.501.到定點到定點(3,5)與定直線與定直線2x+3y-21=0的距離相等的點的軌跡是的距離相等的點的軌跡是( )A.圓圓 B.拋物線拋物線C.線段線段 D.直線直線解析解析:因為定點因為定點(3,5)在直線上在直線上,所以點的軌跡是直線所以點的軌跡是直線.答案答案:D51方法：利用平移方法：利用平移523.動點動點P到點到點A(0,2)(0,2)的

23、距離比到直線的距離比到直線l: :y=-4-4的距離小的距離小2 2，則動點，則動點P的軌跡方程為的軌跡方程為_x2=8y531.抓住標準方程的特點抓住標準方程的特點, ,注意與焦點位置注意與焦點位置, ,開口方向的對應(yīng)關(guān)系開口方向的對應(yīng)關(guān)系; ; 2.拋物線的定義反映了拋物線的本質(zhì)，靈拋物線的定義反映了拋物線的本質(zhì)，靈活應(yīng)用定義往往可以化繁為簡、化難為易，且活應(yīng)用定義往往可以化繁為簡、化難為易，且思路清晰，解法簡捷，巧妙解法常常來源于對思路清晰，解法簡捷，巧妙解法常常來源于對定義的恰當(dāng)運用定義的恰當(dāng)運用.54題型三題型三 與拋物線有關(guān)的最值問題與拋物線有關(guān)的最值問題例例3:已知拋物線已知拋物

24、線x2=4y,點點P是拋物線上的動點是拋物線上的動點,點點A的坐標為的坐標為(12,6).求點求點P到點到點A的距離與點的距離與點P到到x軸的距離之和的最小軸的距離之和的最小值值.提示：利用準線提示：利用準線55分析分析:由定義知由定義知,拋物線上的點拋物線上的點P到焦點到焦點F的距離等于點的距離等于點P到準到準線的距離線的距離d,求求|PA|與點與點P到到x軸的距離之和的最小值軸的距離之和的最小值,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求成求|PA|+d- 的最小值的最小值.2p56解解:如下圖如下圖,易判斷知點易判斷知點A在拋物線外側(cè)在拋物線外側(cè),設(shè)設(shè)P(x,y),則則P到到x軸的軸的距離即距離即y值值,設(shè)設(shè)P到準線

25、到準線y=-1的距離為的距離為d,則則y=d-1.故故|PA|+y=|PA|+d-1,由拋物線定義知由拋物線定義知|PF|=d.于是于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由圖可知由圖可知,當(dāng)當(dāng)A P F三點共線時三點共線時,|PA|+|PF|取最小值為取最小值為13.故故所求距離之和的最小值為所求距離之和的最小值為|FA|-1=12.57規(guī)律技巧規(guī)律技巧:定義是解決問題的基礎(chǔ)和靈魂定義是解決問題的基礎(chǔ)和靈魂,要善于思考定義和要善于思考定義和應(yīng)用定義應(yīng)用定義,本題如果設(shè)本題如果設(shè)P點坐標為點坐標為(x,y),利用兩點間距離公利用兩點間距離公式求解式求解,無法得到答案無法得到答案.由拋物線

26、定義可知由拋物線定義可知,|PF|等于等于P點到點到準線的距離準線的距離,當(dāng)當(dāng)P A F三點共線時三點共線時,|PA|+|PF|的距離最小的距離最小,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.58變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3:(2008遼寧高考遼寧高考)已知點已知點P是拋物線是拋物線y2=2x上的一上的一個動點個動點,則點則點P到點到點(0,2)的距離與的距離與P到該拋物線準線的距離到該拋物線準線的距離之和的最小值為之和的最小值為( )179.3. 5.22ABCD解析解析:由拋物線的定義可知由拋物線的定義可知,拋物線上的點到準線的距離等于拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離到焦點的距離.由

27、圖可知由圖可知,P點點,(0,2)點和拋物線的焦點點和拋物線的焦點(0.5,0)三點共線時距離之和最小三點共線時距離之和最小.5922117(0)(20).22d所以最小距離答案答案:A601.已知定點已知定點A(3,2)和拋物線和拋物線y2=2x, F是拋物線焦點，是拋物線焦點，試在拋物線上求一點試在拋物線上求一點P,使使 PA與與PF的的 距離之和最小，距離之和最小，并求出這個最小值并求出這個最小值.提示：利用點到直線距離定義及二次函數(shù)最值提示：利用點到直線距離定義及二次函數(shù)最值提示：利用準線提示：利用準線61題型四題型四 拋物線的應(yīng)用拋物線的應(yīng)用例例4:一輛卡車高一輛卡車高3 m,寬寬1

28、.6 m,欲通過斷面為拋物線形的隧道欲通過斷面為拋物線形的隧道,如下圖所示如下圖所示,已知拱口已知拱口AB寬恰好是拱高寬恰好是拱高CD的的4倍倍,若拱寬為若拱寬為a m,求能使卡車通過的求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值的最小整數(shù)值.62分析分析:要求拱寬要求拱寬a的最小值的最小值,需建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼敌杞⑦m當(dāng)?shù)淖鴺讼?寫出拋物線寫出拋物線方程方程,然后利用方程求解然后利用方程求解.632(,),24( ):,2(),2,.42aaaaapp 22yx2py p0BBxay解 以拱頂為原點 拱高所在直線為 軸 建立直角坐標系如上圖所示 設(shè)拋物線方程為則點 的坐標為由于點 在拋物線上 所以所以 拋物

29、線方程為640.64.0( . , ),.64(,.)344,.yaaaa E 0 8 yEABya12 21aa13將點代入拋物線方程 得所以 點 到拱底的距離為解得取整數(shù)的最小值為65規(guī)律技巧規(guī)律技巧:這是拋物線的應(yīng)用問題這是拋物線的應(yīng)用問題.解題時解題時,可畫出示意圖可畫出示意圖,幫助幫助理解題意理解題意,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,作出解答作出解答.66變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4:某河上有座拋物線形拱橋某河上有座拋物線形拱橋,當(dāng)水面距拱頂當(dāng)水面距拱頂5 m時時,水水面寬面寬8 m,一木船寬一木船寬4 m, 高高2 m,載貨后木船露在水面上的載貨后木船露在水面上的部分高為部分高為 m,問水面上

30、漲到與拱頂相距多少時問水面上漲到與拱頂相距多少時,木船開始不木船開始不能通航能通航?672162.516:,51655.4,( ,)(),().,.pxy 222yx2py p0A 45x2py p0162p54x4B BB 2 y2yy解 以拱橋的拱頂為坐標原點 拱高所在直線為 軸 建立如圖所示的直角坐標系 設(shè)拋物線方程為由題意知 點在拋物線上所以所以拋物線方程為設(shè)水面上漲到船面兩側(cè)與拋物線拱橋接觸于 時船開始不能通航 設(shè)由于所以所以水面與拋物線拱頂相3|2( ).4ym距答答:水面上漲到與拋物線拱頂相距水面上漲到與拋物線拱頂相距2 m時時,船開始不能通航船開始不能通航.688.(2009海南海南