(完整版)《一元一次不等式組的應(yīng)用》典型例題

1、一元一次不等式組的應(yīng)用典型例題例題 1 車站有待運的甲種貨物1530 噸，乙種貨物1150 噸，原計劃用50節(jié)A,B兩種型號的車廂將這批貨物運至北京，已知每節(jié)A型貨箱的運費為0.5萬元， 每節(jié) B 型貨箱的運費為0.8萬元， 甲種貨物35噸和乙種貨物15噸可裝滿一節(jié) A 型貨箱，甲種貨物25 噸和乙種貨物35 噸可裝滿一節(jié)B 型貨箱，按此要求安排 A, B 兩種貨箱的節(jié)數(shù)，共有哪幾種方案？請你設(shè)計出來，并說明哪種方案的運費最少？例題 2 幼兒園大班分蘋果，若每人分3 個， 則余8 個，若前面每人分5 個，則最后一個小朋友得到的蘋果數(shù)不足3 個，求有多少個小朋友和多少個蘋果？例題 3 某班需要買

2、一些筆記本和鋼筆以表揚在數(shù)學(xué)競賽中獲獎的10 名學(xué)生，已知筆記本的單價是3.5元，鋼筆的單價是8元，且購買獎品的金額不超過70 元問至多能買幾支鋼筆？例題 4 某賓館底樓客房比二樓少5 間，某旅游團有48 人，若全安排在底樓，每間4 人，房間不夠，每間5 人，有房間沒有住滿，又若安排住二樓，每間3 人，房間不夠，每間4 人，又有房間沒有住滿，問賓館底樓有客房幾間？例題 5 幼兒園有玩具若干件，分給小朋友，如果每人3 件，那么還余59件， 如果每人分5 件， 那么最后一個小朋友少幾件，來這個幼兒園有多少玩具？多少個小朋友？例題 6 某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg， 乙種原料290kg， 計劃利用這

3、兩種原料生產(chǎn)A、 B 兩種產(chǎn)品共50 件 已知生產(chǎn)一件A 種產(chǎn)品需甲種原料9kg、 乙種原料3kg;生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需甲種原料4kg、乙種原料10kg.( 1)設(shè)生產(chǎn)x 件 A 種產(chǎn)品，寫出x 應(yīng)滿足的不等式組；(2)如果x是整數(shù)，有哪幾種符合題意的生產(chǎn)方案？請你幫助設(shè)計.例題7 一條鐵路線上A,B,C,D,E各站之間的路程如圖所示，單位為千米.一 列火車7: 30從A站開出，向E站行駛，行駛速度為80km/h,每站停車時間約 4min,問這列火車何時行駛在 D站與E站之間(不包括D站、E站)的鐵路線 上.,80 50 70 , 60 J,48 C D E例題8某自行車廠今年生產(chǎn)銷售一種新自行

4、車，現(xiàn)向你提供以下有關(guān)信息： (1)該廠去年已備有這種自行車的車輪 10000只，車輪車間今年平均每月 可生產(chǎn)車輪1500只，每輛自行車需裝配2只輪；(2)該廠裝配車間(自行車生產(chǎn)最后一道工序的生產(chǎn)車間)每月至少可裝 配這種自行車1000輛，但不超過1200輛；(3)今年該廠已收到各地客戶訂購這種自行車共 14500輛的訂貨單；(4)這種自行車出廠銷售單價為500元/輛.設(shè)該廠今年這種自行車的銷售金額為 a萬元，請你根據(jù)上述信息，判斷a的 取值范圍.例題9某園林的門票每張10元，一次使用.考慮人們的不同需求，也為了 吸引更多的游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種購買個人年票 的售票

5、方法(個人年票從購買日起，可供持票者使用一年).年票分A,B,C三類： A類年票每張120元，持票者進入園林時，無需再買門票；B類年票每張60元， 持票者進入該園林時，需再購買門票，每次 2元；C類年票每張40元，持票者 進入該園林時，需再購買門票，每次 3元.(1)如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出進入該園林的次數(shù)最多的購票方式.(2)求一年中進入該園林至少超過多少次時，購買 A在年票比較合算.例題10有兩個學(xué)生參加四次測驗，他們的平均分數(shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)他們又參加了第五次測驗，測驗后他們的平均成績都提高到90 分 問在

6、第五次測驗時，這兩個學(xué)生的分數(shù)各是多少？（滿分100 分，得分都是整數(shù)）例題 11 大小盒子共裝球99 個， 每個大盒裝12 個， 小盒裝 5 個， 恰好裝完，盒子個數(shù)大于10，問：大小盒子各多少個？3/ 95 / 9例題1分析 這是一道方案設(shè)計優(yōu)化問題，要將貨物運至北京，車廂的總 裝載重量必須大于或等于貨物的總量，由此可列不等式。解答 設(shè)需要A型車廂x節(jié)，35x 25(50 x) 1530由題意得15x 35(50 x) 1150解彳# 28 x 30 ,因為x為整數(shù)，所以x取28, 29, 30,即有3種方案：(1) A型28節(jié)，B型22節(jié)；(2) A型29節(jié)，B型21節(jié)；(3) A型30

7、節(jié), B型20節(jié),由題意知，運費y 0.5x 0.8(50 x) 0.3x 40,當(dāng)x 30時，y取最小值，即A型車廂20節(jié)，B型車廂20節(jié)時運費最少.例題2分析設(shè)有x個小朋友，則蘋果數(shù)為3x 8 .如果每人分5個，因為 最后一個小朋友的蘋果數(shù)不足 3個，所以3x 8應(yīng)在5(x 1)和5(x 1) 3之間， 可得不等式組.解答 設(shè)幼兒園大班共有x個小朋友，根據(jù)題意得5(x 1) 3x 8,(1)13萬；10,x 5.3x 8 5(x 1) 3. (2)由(1)得 5x 5 3x 8,2x 13,x由(2)得 3x 8 5x 5 3, 2x所以不等式組的解集為5 x - 2又因為x為整數(shù)，故x

8、6.所以，有6個小朋友，共有蘋果3>6+8 = 26 (個).例題3分析 因為每人只獲1件獎品，故筆記本和鋼筆的數(shù)量和是10,總金額不超過70元.根據(jù)題意，可列出下列由方程和不等式組成的式子.解答 設(shè)購買x本筆記本，y支鋼筆，依題意可得x y 10,(1)3.5x 8y 70. (2)由(1)得 x 10 y , (3)將(3)代入(2)得 3.5(10 y) 8y 70,解得 y 70.9又y是正整數(shù)，所以y的最大值是7,即至多能買7支鋼筆.例題4解答 設(shè)底樓有x間客房，則二樓有(x+5)間客房,根據(jù)題意，得5x4x4848, .9< x<12.依題意，又可得3(x 5)

9、484(x 5) 48 7V x<11.故 x=10.答：底樓有10間客房.說明 本題是列不等式解應(yīng)用題，在確定設(shè)未知數(shù)后，關(guān)鍵是找出不等式關(guān) 系和列出不等式，為此須認真斟酌關(guān)鍵詞語如不夠”和 沒住滿”的含義.例題5分析 此問題中有兩個未知數(shù)，且沒有等量關(guān)系，有不等關(guān)系，因 此可考慮用不等式組來解.解答設(shè)小朋友x人，則有3x 59 5(x 1)3x 59 5x解(1),得 x 32, 解(2),得 x 29.5 , . 29.5 x 32.x 為整數(shù)，.二 x 30,31.此時 3x 59 149,152.答：幼兒園有小朋友30人，玩具149件；幼兒園有小朋友31人，玩具152 件.說明

10、利用一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟與列一元二次方程組解應(yīng)用題大體相同，不同的是后者尋求的是等量關(guān)系，列出的是等式，前者尋求的是不等關(guān)系， 列出的是不等式，并且解不等式組所得結(jié)果通常為一解集，需從解集中找出符合題意的答案例題6解答 （1）根據(jù)題意，x滿足不等式組：9x 4（50 x） 360 3x 10（50 x） 290（ 2）解不等式組，得30 x 32 因為x是整數(shù)，所以x 30,31,32 .因此生產(chǎn)方案有三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件、B種產(chǎn)品20件；或生產(chǎn)A種產(chǎn) 品31件、B種產(chǎn)品19件；或生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件、B種產(chǎn)品18件.例題 7 分析 如果設(shè)這列火車行駛至DE 這段鐵路線上任意一處（

11、不包括D,E）所經(jīng)過的時間為x,那么就能用x的一次式表示列車所經(jīng)過的路程.根據(jù)這個路程應(yīng)大于（80+ 50+70） km,且小于（80+50+ 70+ 60） km,就可列出 不等式組，解出x的取值范圍.再根據(jù)列車出發(fā)的時間，就能求出列車何時行駛 在 DE 這段鐵路線上解答 設(shè)這列火車行駛至DE 這段鐵路線上任意一處（不包括D,E ）所經(jīng)過的時間為x ,則相應(yīng)所經(jīng)過的路程為80（x 0.2） km.依題意，得80（x 0.2） （80 50 70 60）,（ 1）80（x 0.2） （80 50 70）.（ 2）解不等式（1） ，得x 3.45解不等式（2） ，得x 2.7不等式組的解集是2.

12、7 x 3.45.7.5+2.7= 10.2 （時）,7.5+ 3.45=10.95 （時）.答：這列火車行駛在DE 這段鐵路線上的時間是10： 12至 10： 57說明 列不等式組時，要注意單位的統(tǒng)一，否則會影響表達式的正確性例題 8 解答 （ 1）去年備有和今年生產(chǎn)的車輪共有1000+ 1500X12=28000 （只），共可裝配自行車的輛數(shù)為280002=14000 （輛）.（2）該廠全年生產(chǎn)自行車的輛數(shù)范圍是：1000 12 全年生產(chǎn)自行車輛數(shù)1200 12,即12000全年生產(chǎn)自行車輛數(shù)14400.（3）今年訂購自行車14500輛，可知供不應(yīng)求，以最快生產(chǎn)速度也不能滿 足社會要求，得

13、擴大生產(chǎn)能力.（4）由上分析可知 12000 500 a 14000 500, .600 （萬元） a 700 （萬元）.說明 本例中14400輛是可以生產(chǎn)出，但實際上原料供應(yīng)只能保證生產(chǎn)14000輛，故計算a的范圍時只能用14000輛參與計算.例題9分析 討論某次經(jīng)濟行為是否合算，即要看這種方式與其他方式比 較是否花費最少，故本題（2）要轉(zhuǎn)化為用不等式組的知識求解.解答 （1）因為80 120,所以不可能選A類年票.若選B類年票，則8060 10 （次）；2若選C類年票，則8040 13 （次）；380若不購買年票，則 一 8 （次）.10所以計劃用80元花在該園林的門票上時，選擇購買 C類

14、年票的方法進入國林的次數(shù)最多，為13次.（2）設(shè)至少超過x次時，購買A類年票比較合算，則有不等式組60 2x 120, 40 3x 120, 10x 120,x 30,2解得x 26,3x 12,其公共解集為x 30.所以，一年中進入Ig園林至少超過 30次時，購買A類年票比較合算.說明 本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我們，生活中無處不存在數(shù) 學(xué)的身影，滲透在生活中的一個個細節(jié)中.例題10分析 此例中的未知量較多（如兩學(xué)生前四次的平均分數(shù)，第五次測驗的分數(shù)等），且沒有足夠的等量關(guān)系，難以列方程組求解.但題中蘊含兩 個不等關(guān)系：平均分低于90分；滿分100分，即測驗分數(shù)不超過100分.于是

15、 考慮利用不等式的有關(guān)知識求解.解答 設(shè)其中某個學(xué)生前4次的平均分為x分，第5次測驗的成績?yōu)閥分, 依題意有絲上 90,即y 450 4x .5由第5次測驗的成績高于90分，而又不大于100分，得90 450 4x 100,解得 87.5 x 90,因為x為整數(shù)，故x 88或89.又已知兩個學(xué)生平均分數(shù)不等，故前 4次的平均分一個為88分，另一個為 89分，第5次測驗一個學(xué)生的成績?yōu)?8分，另一個的成績?yōu)?4分.說明 利用不等式（組）解應(yīng)用題，其步驟與列方程（組）解應(yīng)用題大體相 同.不同的是，后者探求等量關(guān)系，列出的是等式，而前者尋求不等關(guān)系，列出 的是不等式，并且解不等式（組）得到的結(jié)果通常為一解集，需從解集中找出符 合題意的答案.例題11分析 問題中有兩個未知量，只有一個等量關(guān)系，另外還有一個 附加條件，這是一個求有條件的不定方程整數(shù)解的問題，求不定方程整數(shù)解的一種方法是觀察系數(shù)特征，用試驗的辦法求解.解答 設(shè)大、小盒分別有x個、y個，根據(jù)題意得:12x 5y 9x y 109 / 9由知y為奇數(shù)，且x 995y 8 5y- 1212.x為自然數(shù)，12 （5y 3）.通過試驗可得y 3時，x 7,但x y 10與x y 10矛盾，故舍去,當(dāng)y 15時，x 2 ,即x 2y 15.