(完整word版)實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明

1、實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明(30個(gè))一.確界原理1 .確界原理證明單調(diào)有界定理證不妨設(shè)“”為有上界的單調(diào)遞增數(shù)列.由確界原理，數(shù)列q有上確界，令="q,下面證明：!巴耳=«.對(duì)任意的£>0,山上確界的定義，存在數(shù)列q中某一項(xiàng)使得：由于q單調(diào)遞增，故對(duì)任意的N,有：另一方面，山于。是“的一個(gè)上界，故對(duì)任意的正整數(shù)都有：an <a <a + £.所以任意的 >N,有：a-e<an <a + e t即：|。一由極限的定義，hmq =a.同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界. “一>x2 .確界

2、原理證明區(qū)間套定理證明：設(shè)。抱,是一個(gè)閉區(qū)間套.令數(shù)集§ = 4.由于任一"都是數(shù)列qj的上界，由確界原理，數(shù)集S有上確界，設(shè)spS = J.下證彳屬于每個(gè)閉區(qū)間a",0( = L2,3.L )顯然，a4( = l,2,3,L ),故只需證明對(duì)任意正整數(shù)，都有事實(shí)上，對(duì)任意正整數(shù)，“都是S的上界，而上確界是最小上界，故必有所以存在實(shí)數(shù)使得百可也( =1.2,3、1, )下證唯一性,假設(shè)還有另外一點(diǎn)也滿足七"也( = 1,2,3,L ).則除-苗V4_4 fo5f 叼,故有:歲=夕.唯一性得證.3 .確界原理證明有限覆蓋定理證明：欲證閉區(qū)間。回的任一開(kāi)覆蓋

3、“都有制收的廣覆瓦令S =卜|口能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，a<x<h顯然S有上界.又覆蓋閉區(qū)間d可，所以，存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間(a)w"，覆蓋住了。.取xw(4,)，則顯然能被“中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋(1個(gè))，xeS,從而S非空.由確界原理,令g=sups.先證明g = 6.用反證法，若則覆蓋閉區(qū)間。,，一定存在開(kāi)區(qū)間(火,&)£，覆蓋住了g.取占，毛，使：4 <a； <x2 <4,8gs ,則。,玉能被“中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，把(外,加進(jìn)去， 就得到4工也能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，即毛wS,這與J = spS矛盾，故& = b.最后證明 wS

4、.設(shè)開(kāi)區(qū)間（外血）e”,覆蓋住了.由 = s"S,故存在y使得：4 <yW且昨S.則,，H 能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，把（4,4）加進(jìn)去，就得到以目也能被“中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.4 .確界原理證明聚點(diǎn)定理證明：設(shè)S有界無(wú)限點(diǎn)集，則由確界原理令4 = mfS.若4是S的一個(gè)聚點(diǎn)，則命題已經(jīng)成立，下面設(shè)J不是S的聚點(diǎn).令 丁 =卜|或月中只包含S中有限個(gè)元素.因?yàn)椴皇荢的聚點(diǎn)，所以存在q>0,使得 U（Mq） =（4 - £。苕+ G）只包含S中有限個(gè)數(shù)，故4 + qw7,從而7非空.又S有界，所以S的所有上界就是丁的上界，故7有上確界，令 = supT.下面證明是S的

5、一個(gè)聚點(diǎn).對(duì)任意的£>0, + £WS,故, + £）包含S中無(wú)窮多個(gè)元素.由上確界的定義，存在； 使得/leS,故七,4）中只包含S中有限多個(gè)元素.從而我們得知兒+ £）uU（；£）中包含了 S中無(wú)窮多個(gè)元素，由聚點(diǎn)的定義，是S的一個(gè)聚點(diǎn).5 .確界原理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則證明：必要性：若hmx“=x,則對(duì)任意的£>0,存在正整數(shù)N,對(duì)一切N,有比一 Ref.于是對(duì)一切 有5 "I I 2充分性：現(xiàn)假設(shè)滿足對(duì)任意的£>0,存在N,對(duì)一切正整數(shù)，/”>N,有k“-令數(shù)集S = x|上中只

6、有有限項(xiàng)小于x或乙之x,W,明顯數(shù)列卜的下界都屬于S,并且卜的上界就是 S的上界.由確界存在定理，4nsupS.對(duì)條件給定的£>0和N, 4 + kS,故（一6苫+后）包含x“中無(wú)窮多項(xiàng).由上確界的定義，存在/iw（4-£,司，使得/IwS,故（一吟中只包含S中有限多個(gè)元素.從而我們得知 Z + £）uU（；£）= （一1+£）中包含了 S 中無(wú)窮多個(gè)元素，設(shè) £U（g,£）（k = l,2,3.L ） 則對(duì)任意正整數(shù)N,總存在某個(gè)仆N,故有：區(qū)3Kx-%|+|%3歸£+£ = 2£.從而

7、感IlH二.單調(diào)有界定理6 .單調(diào)有界定理證明確界定理證明：我們不妨證明非空有上界的數(shù)集S必有上確界.設(shè)丁 = 廠卜為數(shù)姓的有理數(shù).上界.明顯了是一個(gè)可數(shù)集，所以假設(shè)：了 = (,八.L ,&L .令= mm/;.則得單調(diào)遞減下界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理得，令4 = limx”先證g是上界.任取seS,有由極限的保序性，s<.其次對(duì)于任意的£>0,取一個(gè)有理數(shù)及(4-£/)，它明顯不是S的上界，否則< =工次看產(chǎn)生矛盾！故存在$eS,使得 我們證明了是數(shù)集S上確界.n>x7 .單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理若&也是一個(gè)區(qū)間套，則“為單調(diào)遞增

8、有上界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理，令4 = hma“，并且容易得到an <(/? = l,2,3,L ).同理,單調(diào)遞減有下界的數(shù)列也有極限，并按區(qū)間套的條件有：lmi"=hma + (4-qj = J + 0 =并且容易得到"之g( = l,2,3,L ).所以也( = L2,3,L )下證唯一性,假設(shè)還有另外一點(diǎn)夕,也滿足g'q。也( = L外3,L ).則10(.s),故有:唯一性得證.8 .單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理設(shè)7 =在|凡"可以被H的開(kāi)區(qū)間有限開(kāi)覆蓋，旦rco/Wb.容易得到丁中包含無(wú)窮多個(gè)元素，并且丁是 一個(gè)可數(shù)集，所以假設(shè)：7 =

9、小/;,1_ ,*L .令%=max/;.則得單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理 得，令4 = lim<.n->®先證明< =從用反證法，若工，則。(從由覆蓋閉區(qū)間口,可，一定存在開(kāi)區(qū)間(4,4)£“，覆蓋 住了 g.取其 = /;,)，使：q <x, = /;< y <4 ,則a,xj能被中限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，把(4,加進(jìn)去，就得到可也能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，即yeS,這與歲= spS矛盾，故最后證明wS.設(shè)開(kāi)區(qū)間(冬,凡)£，覆蓋住了/?.由b= sS ,故存在七=乙使得：a2<xk=rt <b. HO 口,引能被

10、“中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，把(血)加進(jìn)去，就得到可也能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.9 .單調(diào)有界定理證明聚點(diǎn)定理證明：設(shè)S是一有界無(wú)限點(diǎn)集，在S中選取一個(gè)單調(diào),下證數(shù)列。有聚點(diǎn).(1)如果在4的任意一項(xiàng)之后，總存在最大的頂，設(shè)后的最大項(xiàng)是黑，an后的最大項(xiàng)是為，且顯然。小,（2>1）： 一般地，將品后的最大項(xiàng)記為則有：品“ 4吸（k = l,2,3,L ）.這樣，就得 到了 q的一個(gè)單調(diào)遞減子列%（2）如果（1）不成立則從某一項(xiàng)開(kāi)始，任何一項(xiàng)都不是最大的，不妨設(shè)從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不是最大項(xiàng). 于是，取% =可，因不是最大頂，所以必存在另一項(xiàng)a”. >q, （a >%）又因?yàn)橐膊皇亲畲?/p>

11、頂，所 以又有：%>%（%>?。?這樣一直做下去,就得到了,的一個(gè)單調(diào)遞增子列品.綜上所述，總可以在S中可以選取一個(gè)單調(diào)數(shù)列q）,利用單調(diào)有界定理，qj收斂，極限就是S的一個(gè)聚 點(diǎn).10 .單調(diào)有界定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則證明：必要性：若hmx,=x,則對(duì)任意的£>0,存在正整數(shù)N,對(duì)一切>N,有凡一工| <§ .于是對(duì)一切 ?， > N ,有 "TX112凡-亦 L -M+-M充分性：現(xiàn)假設(shè)%滿足對(duì)任意的£>0,存在N,對(duì)一切正整數(shù)有氏一先證明柯西數(shù)列是有界的.取£。= 1,故存在某個(gè)正整數(shù)N。，

12、對(duì)一切，有,-.卜1，即引冊(cè)門(mén)卜1. 故工有界.參考9的做法，可知數(shù)列q有一個(gè)單調(diào)子列qj,由單調(diào)有界定理，/J收斂，令g = hrn.%.則對(duì)任意正整數(shù) >N，總存在某個(gè)名（山N）,使得上一小£，故在 |%3|«卜“一%|+|/3|«£+£=2£.從而螃司=歲.三.區(qū)間套定理11 .區(qū)間套定理證明確界原理證明：僅證明非空有上界的數(shù)集S必有上確界取一個(gè)閉區(qū)間卜力,使得可包含S中的元素，并且。為S的上界.將閉區(qū)間k可等分為兩個(gè)閉區(qū)間。,色W 與竺2 ,若”9為數(shù)集S的上界，則取q，4=。，絲2 , 222_MVL*否則取可也卜竽力

13、.再將閉區(qū)間可力等分為兩個(gè)閉區(qū)間 可,色獸 與.若生他為數(shù)集S的上界，則取222%,”=,否則取%,4=/也.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套4,4.由區(qū)間套定理的得存在g屬于所有的閉區(qū)間q,a( = L2,3,L )并且每個(gè)閉區(qū)間都包含S中的元素，并且右端點(diǎn)“為S的上界.由于對(duì)任意swS,有sW",所有由極限的保序性，sWlim"=4，從而彳是數(shù)集S的上界. n>x最后，對(duì)于任意£>0,存在，使得0<a-為<£.由閉區(qū)間套的選取，包含了 S中某個(gè)元素s,從而有>”一£>看一£.故自是數(shù)集5的上

14、確界.12 .區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理設(shè)居是單調(diào)有界數(shù)列，不妨設(shè)其為單調(diào)遞增且有上界 取一個(gè)閉區(qū)間可，使得?；匕现械捻?xiàng)，并且人為”的上界.若與°為優(yōu)的上界，則取q/J= 0,皆與魚(yú)弛也.若幺出為卜的上界，則取 22將閉區(qū)間?；氐确譃閮蓚€(gè)閉區(qū)間與 彳,b 否則取心幻=竽力. 一 再將閉區(qū)間q,始等分為兩個(gè)閉區(qū)間 小文也 &也=6號(hào)1，否則取生也=&尹也.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套伽，也;|.由區(qū)間套定理的得存在4屬于所有的閉區(qū)間4，"( = 1,2,3，)并且每個(gè)閉區(qū)間都包含4中的項(xiàng)，并且右端點(diǎn)"為£的上界.下面證明limX

15、"=4. /I>x對(duì)任意的£>0,存在，使得0<4-。<£.由閉區(qū)間套的選取，“,"包含了 工中某一項(xiàng)/,從而有由于工單調(diào)遞增，故對(duì)任意的>N,有：又匕<<4 + £<4+£，故有一£<乙 <4 + £，即k“一月<£.13 .區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理若閉區(qū)間回可以被”中的開(kāi)區(qū)間無(wú)限開(kāi)覆蓋.下面證明閉區(qū)間口力可以被"有限開(kāi)覆蓋.用反證法，若閉 區(qū)間小可不能被有限開(kāi)覆蓋.將閉區(qū)間a等分為兩個(gè)閉區(qū)間0、彳與火為.其中必有一個(gè)區(qū)間不能

16、被”有限開(kāi)覆蓋，設(shè)它為M4；再將閉區(qū)間q也等分為兩個(gè)閉區(qū)間,冬普與冬普.其中必有一個(gè)區(qū)間不能被有限開(kāi)覆蓋，設(shè) 它為生，4.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套見(jiàn)也.由區(qū)間套定理的得存在J屬于所有的閉【乂問(wèn)%也( = L2,3,L ).顯然考慮H中覆蓋歲的開(kāi)區(qū)間(a,P),取0<5<min4-a./7-由于lima“=lim“=g ,所以存在N,對(duì)一切正整數(shù)N,有 為一乩"一目<5,故此時(shí) n>x/r>x11a“心uU(4；5)u(a,4).從而q,4J(>N)可以被中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,/7)覆蓋，產(chǎn)生矛盾！故假設(shè)不成立，即閉區(qū)間回可以被有限開(kāi)覆蓋.

17、14 .區(qū)間套定理證明聚點(diǎn)定理證明：已知點(diǎn)集S是有界無(wú)限點(diǎn)集.設(shè)S u a.h.將閉區(qū)間凡句等分為兩個(gè)閉區(qū)間出竽與粵,b .其中必有一個(gè)區(qū)間包含了點(diǎn)集S中無(wú)窮多個(gè)元素， 設(shè)它為4始；再將閉區(qū)間q也等分為兩個(gè)閉區(qū)間外幺產(chǎn)與幺產(chǎn)國(guó).其中必有一個(gè)區(qū)間包含了點(diǎn)集S中無(wú)窮多個(gè) MM元素，設(shè)它為%,4.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套a”,",每個(gè)閉區(qū)間包含了點(diǎn)集S中無(wú)窮多 個(gè)元素.由區(qū)間套定理的得存在g屬于所有的閉區(qū)間a“,”( = L2,3,L ).下證g是點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn).因?yàn)閘ima“ =lini”=相 故對(duì)任意的£>0,必定存在一個(gè)N,對(duì)一切正整數(shù)N,有-4，”一劇

18、<£, 一>«“TX11從而心也uU(g；£)5>N).又每個(gè)閉區(qū)間L也包含了點(diǎn)集S中無(wú)窮多個(gè)元素,故u(g；£)包含了點(diǎn)集S中無(wú)窮多個(gè)元素.由聚點(diǎn)的定義，J是點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn).15 .區(qū)間套定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則 必要性：若hmx=x,則對(duì)任意的£>0,存在正整數(shù)N,對(duì)一切N,有比一工| <£.于是對(duì)一切 7, > N ,有 5 " 口 2£ £,”,一乙|4,膽一刈+卜_. <5 + 5 = 6 充分性：現(xiàn)假設(shè)'滿足對(duì)任意的£>0

19、,存在N,對(duì)一切正整數(shù)小mAN,有k“-xV£.先證明柯西數(shù)列是有界的.取q = l,故存在某個(gè)正整數(shù)N。，對(duì)一切，有4-4產(chǎn)<1，即可心川+1 故居有界.取一個(gè)閉區(qū)間卜力,使得可包含所有%中的項(xiàng).*> 1 r >將閉區(qū)間。力等分為兩個(gè)閉區(qū)間以守與答力其中必有一個(gè)區(qū)間包含了 乙中無(wú)窮多項(xiàng)，設(shè)它為 mJ AT r A -再將閉區(qū)間q,4等分為兩個(gè)閉區(qū)間，然與寫(xiě)，力.其中必有一個(gè)區(qū)間包含了 玉中無(wú)窮多項(xiàng)，設(shè)它為生仇不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套”,",并且每個(gè)閉區(qū)間外,都包含%中無(wú) 分多項(xiàng).由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間L2,3,L ）現(xiàn)在取一個(gè)子

20、列工,滿足X. eq，4（A = l,2,3,L ）.因?yàn)閔mq, =lim" =和夾逼定理，hmx =4.則對(duì)任意正整數(shù)N,總存在某個(gè)k（/ >N）,使得卜也一耳<£,故有：打“一目卜一%|+|%-張£+£ = 2£.從而獨(dú)司=4四.有限覆蓋定理16 .有限覆蓋定理證明確界原理證明：不妨設(shè)S為非空有上界的數(shù)集，我們證明S有上確界.設(shè)為S的一個(gè)上界，下面用反證法來(lái)證明S一定存在上確界.假設(shè)S不存在上確界，取aeS.對(duì)任一,依下述方法確定一個(gè)相應(yīng)的鄰城（開(kāi)區(qū)間）q=u（9）=（A4,x+4）.（1）若X不是S的上界，則至少存在一點(diǎn)x&

21、#39;es.使戈'>x,這時(shí)取R=x'-x. （2）若X是S的上界，由假設(shè)s不存在上確界，故有ao,使得（x2,s中不包含s中的點(diǎn).此時(shí)取u、=（x-4，x+4）,可知它也 不包含S中的點(diǎn).于是我們得到了“問(wèn)的一個(gè)開(kāi)覆蓋：" = q=a5r，x+g）|xekb根據(jù)有限覆蓋定理，4司可以被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間u j：粗溫很明顯（1）的開(kāi)區(qū)間右端點(diǎn)屬于S, （2）的開(kāi)區(qū)間中不包含S中的點(diǎn).顯然。所屬的開(kāi)區(qū)間是屬于（1）的, 所屬的開(kāi)區(qū)間是屬于（2）的，所以至少有一個(gè)（1）中的開(kāi)區(qū)間與某個(gè)（2）中的開(kāi)區(qū)間相交，這是不可能 的.17 .有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理證明：設(shè)七

22、,是單調(diào)有界數(shù)列，不妨設(shè)其為單調(diào)遞增且有上界.任取為卜的一個(gè)上界以及蒼,中某項(xiàng)七，構(gòu)造出閉區(qū)間4葉，對(duì)任意的xcxrb,依下述方法確定一個(gè)相應(yīng)的鄰域（開(kāi)區(qū)間）（1）若x不是x的上界，則xn中至少存在一項(xiàng)七，使這時(shí)?。?）若x是工的上界，由假設(shè)x“發(fā)散，故不會(huì)收斂到x.即有存在某個(gè)£。0,對(duì)任何正整數(shù)N,存在N,使得42。（戈£0）= "-£0/+£0）.由于/遞增，有上界N,所以,4中的所有項(xiàng)均不落在u（x;q） = （x-q,x+q）中.此時(shí)取夕=%.于是我們得到了卜,的一個(gè)開(kāi)覆蓋： =4="一4內(nèi)+4）|/與可.根據(jù)有限覆蓋定理，

23、為，”可以被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間uj：覆蓋.很明顯（1）的開(kāi)區(qū)間右端點(diǎn)屬于工, （2）的開(kāi)區(qū)間中不包含七,中的項(xiàng).顯然£所屬的開(kāi)區(qū)間是屬于（1） 的，所屬的開(kāi)區(qū)間是屬于（2）的，所以至少有一個(gè)（1）中的開(kāi)區(qū)間與某個(gè)（2）中的開(kāi)區(qū)間相交，這是不 可能的.18 .有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理證明：用反證法.假設(shè)4也（ = L2,3,L ）沒(méi)有公共點(diǎn)，則對(duì)任意一點(diǎn)它都不會(huì)是 區(qū)也（ = L2,3.L ）的公共點(diǎn),從而存在正整數(shù)叫 ,使得x”冊(cè)也.故總存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間 4=（戈-使得：（x-Sv/+5jc,a = 0，于是我們得到了 %在的一個(gè)開(kāi)覆蓋： =0、=（工一£/+2）口W6閔.根據(jù)

24、有限覆蓋定理，q力可以被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間4:覆蓋.注意到閉區(qū)間套之間的包含關(guān)系，則所有uj：一定和某個(gè)最小的閉區(qū)間%九=0風(fēng)也,無(wú)交.1-1從而:0.產(chǎn)生矛盾!M C%，% u j Liu J c"= I M c% 卜 3=i j19 .有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理證明：設(shè)點(diǎn)集S是有界無(wú)限點(diǎn)集.設(shè)Su4可.用反證法，假設(shè)S沒(méi)有聚點(diǎn).利用聚點(diǎn)定義，對(duì)任意的xwa,可, 存在一個(gè)領(lǐng)域U,=（xH，x+H）,使得U,中只包含點(diǎn)集S中有限個(gè)點(diǎn).這樣得到了“的一個(gè)開(kāi)覆蓋：=6 =（.&,x+a）|xwa,b.根據(jù)有限覆遁定理，1/力可以被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間“：覆蓋.由于每個(gè)4中只包含點(diǎn)集S中有限

25、個(gè)點(diǎn)，所以,句u|Ju也只包含了 S中有 11=1 限個(gè)點(diǎn)，這與S是無(wú)限點(diǎn)集相矛盾！故假設(shè)不成立，即S有聚點(diǎn).20 .有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則證明：必要性：若則對(duì)任意的£>0,存在正整數(shù)N,對(duì)一切N,有可一目<£.于是對(duì)一切有充分性：（使用反證法）現(xiàn)假設(shè)5滿足對(duì)任意的£>0,存在N,對(duì)一切正整數(shù)，相>N，有上一大/<£.先證明柯西數(shù)列是有界的.取£。= 1,故存在某個(gè)正整數(shù)N。，對(duì)一切，有卜“-k+卜1,即同+ 故，有界假設(shè)x“ua,b.若%“發(fā)散，則對(duì)任意的人4,可以找到一個(gè)。、=（*一,*+4）,使

26、得工中只有 有限項(xiàng)落在U（x；q）中.否則對(duì)任何5>0, （xb,x+5）中均包含中無(wú)限項(xiàng)，則可以證明卜收斂.這樣得到了RN的一個(gè)開(kāi)覆值4 =（大一6,1 +工）|.”。力.根據(jù)有限覆蓋定理，?；乜梢员恢?有限個(gè)開(kāi)區(qū)間/：覆蓋.所以/也只包含了 吃中的有限項(xiàng)，矛盾！故假設(shè)不成立，工收 斂.五.聚點(diǎn)定理21 .聚點(diǎn)定理證明確界原理證明：僅證明非空有上界的數(shù)集S必有上確界.取一個(gè)閉區(qū)間可，使得。力包含S中的元素，并且b為S的上界.將閉區(qū)間可等分為兩個(gè)閉區(qū)間。，竽 與 W色力.若”上為數(shù)集S的上界，則取可也=,與2 ,一- JJJ1否則取q，A= g土力. , 再將閉區(qū)間乩4等分為兩個(gè)閉區(qū)間，

27、.以答與史富力若色普為數(shù)集S的上界，則取%也卜 可，色薩，否則取%也=幺皆也.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套L也 -JJ）由于何明顯有界，所有它有聚點(diǎn)異對(duì)任意£>O,S£S,設(shè)WU（或£） = （4 一 £4 + £），則<g+£.由£的任意性，sW4，故4是S的一 個(gè)上界.其次，對(duì)任意£>0,取以 £。（。£）二（4一£苫+ £），設(shè)SWS包含于閉區(qū)間%也,則$之見(jiàn)>4一£.從而我們證明了是S的一個(gè)上確界.22 .聚點(diǎn)定理證明單調(diào)有界

28、定理證明：設(shè)4是單調(diào)有界數(shù)列，則它一定存在聚點(diǎn)久下證：1哩x“二£對(duì)任意的£>0,由聚點(diǎn)的定義，U(g,£)二房-£4+ £)中包含中的無(wú)窮多項(xiàng)，設(shè) %uU©£)=(g £/+£).則取N = 對(duì)一切正整數(shù)">N = 7' 假設(shè)<%.利用是單調(diào)的，乙 介于仆與心之間，所以由5，/ eU(g，£)，可知七eU©£)，從而由極限的定義，=23 .聚點(diǎn)定理證明區(qū)間套定理證明：設(shè)5 = “7也,則S是有界無(wú)限點(diǎn)集由聚點(diǎn)定理得數(shù)集S聚點(diǎn)/若存在一個(gè)某

29、個(gè)正整數(shù)°,使 得武,也J,不妨假設(shè)<久取名 = 4-4，則對(duì)一切 >。，有4<b”士7-£。于是 U©q) = (4-£。 + £。)中只包含S中有限個(gè)點(diǎn)，這與是數(shù)集S的聚點(diǎn)矛盾！故穴上也( =123,L)下證唯一性，假設(shè)還有另外一點(diǎn)夕，也滿足？4為也( = L2,3,L ).則將31<0-4-0(8),故有：4.唯一性得證.24.聚點(diǎn)定理證明有限覆蓋定理證明：若閉區(qū)間可以被中的開(kāi)區(qū)間無(wú)限開(kāi)覆蓋.下面證明閉區(qū)間凡可可以被有限開(kāi)覆蓋.用反證法, 若閉區(qū)間。回不能被有限開(kāi)覆蓋.將閉區(qū)間N2等分為兩個(gè)閉區(qū)間a,等與彳,b .

30、其中必有一個(gè)區(qū)間不能被”有限開(kāi)覆蓋，設(shè)它為 4用； a 1 r a -再將閉區(qū)間回也等分為兩個(gè)閉區(qū)間可,也產(chǎn)與笠，,”.其中必有一個(gè)區(qū)間不能被有限開(kāi)覆蓋，設(shè) mJLm.它為出,4.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套，”,",并且q,"(=L2,3L )均不能被有限開(kāi) 覆蓋顯然，q是有界的，故它存在聚點(diǎn)異明顯考慮覆蓋中覆蓋住的開(kāi)區(qū)間(。,夕).取 2Vmm卜一夕一昴，則在U©e) = (4£/+£)中包含了 q中的無(wú)窮多項(xiàng)，設(shè) 4匚(/(4£)=精一£4 + £).又“一耳二黑-0(-8) 于是存在某個(gè)，%,使得鬣

31、-a <。一自一£故這與&也（=L2,3L ）均不能被有限開(kāi)覆蓋矛盾！故假設(shè)不成立，即閉區(qū)間?；乜?以被有限開(kāi)覆蓋.25. 聚點(diǎn)定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則證明：必要性：若hmx“二x,則對(duì)任意的£0,存在正整數(shù)N,對(duì)一切N,有由一 x|£.于是對(duì)一切肛N,有 "TX1 n 12充分性：現(xiàn)假設(shè)優(yōu)滿足對(duì)任意的£0,存在N,對(duì)一切正整數(shù)，/“N,有氏七£.先證明柯西數(shù)列是有界的.取£。= 1,故存在某個(gè)正整數(shù)N。，對(duì)一切，有卜“-%+卜1,即阮/ + 1.故x有界.故它存在聚點(diǎn)，設(shè)為舁對(duì)條件中的£0,由聚

32、點(diǎn)的定義，假設(shè)5uU（虞£）=付-£君+ £）則對(duì)任意正整數(shù)，N,總存在某個(gè)仆（外N）,使得仁一身£,故有：匕一自4h_%| +卜一24£+£=2&.從而吧凡二羨六.Cauchy收斂準(zhǔn)則26. Cauchy收斂準(zhǔn)則證明確界原理證明：設(shè)S為非空方上界數(shù)集.由實(shí)數(shù)的阿基米德性，對(duì)任何正數(shù)。，存在整數(shù)心，使得4=幺。為S的上界,而乙一。二（勺-1）&不是S的上界,即存在a'eS使得”（勺-1）-分別取a = 1（ = L2,3,L ）,則對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，存在相應(yīng)的人，使得人為S的上界，而4-9不是S的上 nn界,故存

33、在wS,使得優(yōu)人-白又對(duì)正整數(shù)7兒是s的上界，故有4,2優(yōu).所以乙之優(yōu)4-:，即有474.同理有%于是得至“乙一4I于是，對(duì)任意的20,存在正整數(shù)N,使得當(dāng)初N時(shí)有品一4人 由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列4收斂.記lim/l” =2現(xiàn)在證明之就是S的上確界.首先，對(duì)任何aws和正整數(shù)，有有極限的保序性，tz<lmi2=2, “TOC故/I是S的上界其次,對(duì)于任意的b > 0,存在充分的的正整數(shù)，使得1 < £并且4 > 2- . n 22由于%,不是S的上界，所以存在a'eS,并且L于是優(yōu)>乙一1：>；1-2-2 =彳-6.故/1就是5的上確界. n

34、 2 227. Cauchy收斂準(zhǔn)則證明單調(diào)有界定理證明：設(shè)"是單調(diào)有界數(shù)列，不妨假設(shè)5單調(diào)遞增有上界.若乙發(fā)散，則又柯西收斂準(zhǔn)則，存在>0,對(duì)一切正整數(shù)N,存在使得上“一人| 二/一土之q.于是容易得到上的子列% ，使得X、一 25.進(jìn)而 > / +僅一1)7 故f+8僅8),這與卜是有界數(shù)列矛盾！所有假設(shè)不成立，即上收斂.28. Cauchy收斂準(zhǔn)則證明區(qū)間套定理證明：設(shè), “也為閉區(qū)間套.因?yàn)?則=所以對(duì)任意的£>0,存在正整數(shù)N,對(duì)一切>N,從而對(duì)任意的/ > > N ,心一”| 二"一以<"一凡<£,由柯西收斂準(zhǔn)則,q,也均收斂,而且是同一極限,設(shè)吧為=吧" 由于q單調(diào)遞增，£單調(diào)遞減，由極限的保序性, 所以我4也( = L23,L )下證唯一性，假設(shè)還有另外一點(diǎn)夕,也滿