2020年中考數(shù)學(xué)三輪易錯復(fù)習(xí)：專題12類比、探究類綜合題之全等知識

1、CE與ADPE2020年中考數(shù)學(xué)三輪易錯復(fù)習(xí)：專題 12類比、探究類綜合題之全等知識【例1】(2019 濟源一模)在 菱形ABCD中，/ ABG60。，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊 APE點E的位置隨著點 P的位置變化而變化.(1)探索發(fā)現(xiàn)如圖1,當(dāng)點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接 CE填空：BP與CE的數(shù)量關(guān)系是 AD的位置關(guān)系是.(2)歸納證明當(dāng)點E在菱形ABCD外部時，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由.(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理)(3)拓展應(yīng)用如圖4,當(dāng)點P在線段BD的延長線上時，連接 BE若AB=273, BE=2

2、ji9,請直接寫出四邊形的面積.以點【變式1-1(2019 周口二模)在 ABCK / AB勃銳角，點 M為射線AB上一動點，連接C為直角頂點，以。皿直角邊在CM&側(cè)作等腰直角三角形 CMN連接NB(1)如圖1,圖2,若 ABC等腰直角三角形，問題初現(xiàn)： 當(dāng)點 M為線段 AB上不與點 A重合的一個動點，則線段BN, AM之間的位置關(guān)系是深入探究:當(dāng)點M在線段AB的延長線上時，判斷線段 BN, AM之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由;類比拓展:(2)如圖3, / AC學(xué)90° ,若當(dāng)點 M為線段AB上不與點A重合的一個動點， MPLCM交線段BN于點P,且/ CBA45 ,

3、BC=4、2,當(dāng) BM,時,BP的最大值為圖2圖3【例2】(2018 洛陽三模)在正方形 ABCDK動點E、F分別從D C兩點出發(fā)，以相同的速度在直線DC CB上移動.(1)如圖1,當(dāng)點E在邊CD上自D向C移動,同時點F在邊CB上自C向B移動時，連接 AE和DF交于點P,請你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由;(2)如圖2,當(dāng)E, F分別在邊CD BC的延長線上移動時， 連接AE DF (1)中的結(jié)論還成立嗎？ (請你直接回答“是"或“否”，不需證明)；連接AC請你直接寫出 ACE為等腰三角形時 CE CD的值;(3)如圖3,當(dāng)E, F分別在直線 DC CB上移動時，連接

4、 AE和DF交于點P,由于點E, F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點 P運動路徑的草圖.若 AD=2,試求出線段 CP的最大值.【變式2-1(2019 西華縣一模)如圖1,在正方形ABCW,點E,F分別是邊BGAB上的點，且CE=BF連接DE過點E作EGL DE使EGDE連接FG FC(1)請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是;(1)中結(jié)論是否仍然成立?(2)如圖2,若點E, F分別是邊CB BA延長線上的點，其它條件不變,請作出判斷并給予證明;(3)如圖3,若點E, F分別是邊BG AB延長線上的點，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立?請直接寫出你的判斷.圖1圖2圖3強化精

5、煉：1. (2019 河南南陽一模) 我們定義：如圖1,在 ABG把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 風(fēng)(0° < “<180° )得到AB ,把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) 3得到AC，連接B' C',當(dāng)a+ §=180°時，我們稱 AP C是 ABC的“旋補三角形"， AB C'邊B' C'上的中線 AD是 ABC勺旋補中線，點 A叫旋補中心.特例感知：(1)在圖2,圖3中，ABC'是 ABC勺“旋補三角形"，AB，C邊B'C上的中線AD>AABC的旋補中線，如圖2,當(dāng) ABB

6、等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系是 如圖3,當(dāng)/ BA(=90 , BG8時，則AD的長為猜想論證：(2)如圖1,當(dāng) ABC是任意三角形時，猜想 AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明. »重福磔衿野磋理碎蹄把尾邨邈)下 呼魂西京建A 一 七 =& 二，7： X .2. (2019 鄭州外國語測試) 已知如圖1所示，在ABC4 Z ACB90 , AC=BQ點D在AB上，DEL AB 交BC于E,點F是AE的中點，(1)寫出線段FD與線段FC的關(guān)系并證明；a (0。V a<90。)，其它條件不變，線段 FD與線段FC(2)如圖2所示，將4 BD瞰點B逆時針旋轉(zhuǎn)的關(guān)系是否變化

7、，寫出結(jié)論并證明;（3）將 BDEg點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果 BG4, BE=2"，直接寫出線段 BF的范圍.3. （2019 偃師一模） 特殊：（1）如圖1 ,在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB90° .作 CM平分/ ACB 交AB于點M點D為射線CM上一點，以點 C為旋轉(zhuǎn)中心將線段 CD逆時針旋轉(zhuǎn) 90。得到線段 CE 連接DE交射線CB于點F,連接 BD BE填空：線段BD BE的數(shù)量關(guān)系為 ;線段 BC DE的位置關(guān)系為 .一般：（2）如圖2 ,在等腰三角形 ABC中，/ ACBa ,作CM平分/ ACB交AB于點 M,點D為4ABC 外部射線 CM上一點，以

8、點C為旋轉(zhuǎn)中心將線段 CD逆時針旋轉(zhuǎn) a度得到線段 CE連接DE BD BE.請 判斷（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由.特殊：（3）如圖3 ,在等邊三角形 ABC中，作 BM平分/ ABC交AC于點 M點D為射線 BM上一 點，以點B為旋轉(zhuǎn)中心將線段 BD逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段 BE連接DE交射線BA于點F,連接AD AE若 AB=4,當(dāng)ADM/ AFD全等時，請直接寫出 DE的值.圖1圖2圖34. （2019 省實驗一模）觀察猜想（1）如圖，在RtA ABC, ZBAC= 90。，AB= AC= 3,點D與點A重合，點E在邊BC上，連接DE 將線段D蹴點D順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線

9、段DF,連接BF, BE與BF的位置關(guān)系是 ,BE+BF=探究證明(2)在(1)中，如果將點 D沿AB方向移動，使 AD= 1,其余條件不變，如圖，判斷BE與BF的位置關(guān)系，并求 B&BF的值，請寫出你的理由或計算過程;拓展延伸(3)如圖，在 ABC, AB= AC /BAG= a,點D在邊BA的延長線上，BD= n,連接DE將線段DE交AB于點F,將A讖點D順時針旋轉(zhuǎn) e得到ED連接BE(1)特例猜想如圖1 ,當(dāng)a =90°時，試猜想:(2)拓展探究(3)解決問題得到ED連接BE當(dāng)BD= 3CD時，請直接寫出 BE的長度.繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角/EDF= a,連接BF,

10、則B3BF的值是多少？請用含有 n, a的式子直接寫出結(jié)圖1圖2圖35. (2019 濮陽二模)在4ABC中，AC= BC / ACB= a，點D為直線BC上一動點，過點 D作DF/ ACAF與BE的數(shù)量關(guān)系是;/ ABE=如圖(2),當(dāng)0° v a <90°時，請判斷 AF與BE的數(shù)量關(guān)系及/ ABE的度數(shù)，并說明理由.如圖(3),在 ABC中，AC= BG AB= 8, Z ACB= a，點D在射線BC上，將 AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn) a6. (2019 開封二模)問題發(fā)現(xiàn)圖1圖2圖3如圖1, 4ABB等邊三角形，點 D是邊AD上的一點，過點 D作DE/ AC交AC于

11、E,則線段BD與CEW何數(shù)量關(guān)系？拓展探究如圖2,將4八口或點A逆時針旋轉(zhuǎn)角 a (00 < a <360° ),上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立, 請就圖中給出的情況加以證明.問題解決如果 ABC勺邊長等于2 卮 AD= 2,直接寫出當(dāng) ADEt轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時 BD的長.圖1圖2備用圖7. (2019 安陽二模)(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖 1,在四邊形 ABCD, AB/ DC E是BC的中點，若 AE是 /BAD的平分線，則 AB AD DC之間的數(shù)量關(guān)系為 .(2)問題探究：如圖 2,在四邊形 ABCW, AB/ DC E是BC的中點，點F是DC的延長線上

12、一點，若AE是/ BAF的平分線，試探究 AB AF, CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(3)問題解決：如圖 3, AB/ CD點E在線段BC上，且BE EC= 3: 4.點F在線段 AE上，且/ EFD =/ EAB直接寫出AB, DF CD之間的數(shù)量關(guān)系.圖1圖2圖38. (2019 中原名校大聯(lián)考)如圖 1,在RtAABC, / BAC= 90° , AB= AC點D E分別在邊 ABAC上，AD= AE,連接DC BE點P為DC的中點，(1)【觀察猜想】圖1中，線段AP與BE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是.(2)【探究證明】把 AD或點A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，(1)中的猜想是

13、否仍然成立？若成立請證明，否請說明理由;(3)【拓展延伸】把 ADE第點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 AD= 4, AB= 10,請直接寫出線段 AP長度的最大值和最小值.9. (2018 新鄉(xiāng)一模)如圖 1,在 ABC與 ADE, AB=AC AD=AE / A是公共角.(1) BD與CE的數(shù)量關(guān)系是： ；(2)把圖1的 ABC繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到如圖2所示的圖形.求證：BD= CEBD與CE所在直線的夾角與/ DAE勺數(shù)量關(guān)系是什么？說明理由.(3)若AD=10, AB=6,把圖1中的 ABCg點A順時針旋轉(zhuǎn) 風(fēng)度(0 ° <5W360)直接寫出BD長度的取 值范圍.圖1圖

14、210. (2019 河南模擬)【問題探索】(1)如圖1,在RtABC中，/ ACB90,AGBC點D,E分別在AC BC邊上，DGCE,連接DE AE BD點M N、P分別是 AE BD AB的中點，連接 PM PN MN探索 BE與MN的數(shù)量關(guān)系.聰明的小華推理發(fā)現(xiàn) PM PN的關(guān)系為,最后推理得到 BE與MN的數(shù)量 關(guān)系為.【深入探究】(2)將口£¥§點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖 2的位置，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由;2020年中考數(shù)學(xué)三輪易錯復(fù)習(xí)：專題 12類比、探究類綜合題之全等知識【例1】(2019 濟源一模

15、)在 菱形ABCD中，/ AB(=60。，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè) 作等邊 APE點E的位置隨著點 P的位置變化而變化.(1)探索發(fā)現(xiàn)如圖1,當(dāng)點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接 CE填空：BP與CE的數(shù)量關(guān)系是 , CE與 AD的位置關(guān)系是(2)歸納證明當(dāng)點E在菱形ABCD外部時，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由.(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理)(3)拓展應(yīng)用如圖4,當(dāng)點P在線段BD的延長線上時，連接 BE若AB=273, BE=2ji9,請直接寫出四邊形 ADPE的面積.AEEBC圖4 / CAD60 ,【答案】(1) BPC

16、E caAD (2) (3)見解析.【解析】解：(1)連接AC延長CE至AD 四邊形 ABCO菱形，/ ABG60。， Z BAR120 , / BAG60 , / CAR60 , . ABO等邊三角形， . AB=AC APEM等邊三角形， . AP=AE / PAE=60 ,/ BAfaZ CAEBA國 CAEBP=CE / AB060 , / ABP=30 ,. BA國 CAEZ ABf=Z ACE=30 , ./ACE+/CAB90 ,即 CDL AD(2)結(jié)論仍然成立，理由如下：(以圖2為例)連接AC設(shè)CE與AD交于點H,四邊形 ABCD1菱形，/ ABB60。， .ABCF口 AC

17、*等邊三角形，/ ABB/CBD30。， .AB=AC / BAB60 ,. APE等邊三角形，AP=AE / PAE=60 ,/ BAfaZ CAEBA國 CAE . BP=CE /ACE=/ABP=30 , / CAH60 , /AHC90 ,即 CEL AD(3)連接AC交BDT Q連接CEC由(2)知，CELBC. AB=273, BE=2M,在RtABCF,由勾股定理得： CE=8,由 BA國 CAE得：BP=CE BD=6,DP=BP- BD=2,agH在RtAAOF,由勾股定理得：AP=2J7,S=S；A AD+&APE1 L 3 一 2=23 2 72 4=8 3.【變

18、式1-1 （2019 周口二模）在 ABCK / AB勃銳角，點 M為射線AB上一動點，連接 CM以點C為直角頂點，以。如直角邊在 CM&側(cè)作等腰直角三角形 CMN連接NB（1）如圖1,圖2,若 ABS等腰直角三角形，問題初現(xiàn)：當(dāng)點 M為線段 AB上不與點 A重合的一個動點，則線段BN AM之間的位置關(guān)系是深入探究：當(dāng)點M在線段AB的延長線上時，判斷線段 BN, AM之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理類比拓展：（2）如圖3, / AC序90° ,若當(dāng)點 M為線段AB上不與點A重合的一個動點， MPLCM交線段BN于點P,且/ CB/=45 , BG4J2,當(dāng)B的 時，BP的最

19、大值為 【答案】（1） BNLAM BN=AM （2）見解析，（3） 2, 1.【解析】解:(1)由 AGBC / ACM/ BCNCMCN 可AC降 BCNBN=AM / A=Z CBN45 , /ABN90 ,即 BNL AM(2) BNL AM BNtAM 理由如下:N AB比等腰直角三角形，AG=BC /A=/ABG45 , / ACB90 ,同理，/ NCM90 , NCMC / ACM/ BCN . AC陣 BCN BNAM / A=Z CBN45 , /ABN90 ,即 BNL AM過C作CGL BC交BA的延長線于 G過C作CHL AB于H,如圖所示,易證 GCB BCN由（2

20、）知，BN!AB . CHMb MBP.CH HM , BM BP即44 BMBM BP '設(shè) BM=x,則 BP=1 x 2 2 1, 4 當(dāng)B的2時，BP取最小值，最小值為 1.【例2】（2018 洛陽三模）在正方形 ABCD動點E、F分別從D C兩點出發(fā)，以相同的速度在直線DC CB上移動.(1)如圖1,當(dāng)點E在邊CD上自D向C移動，同時點F在邊CB上自C向B移動時，連接 AE和DF交 于點P,請你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2,當(dāng)E, F分別在邊CD BC的延長線上移動時， 連接AE DF (1)中的結(jié)論還成立嗎？(請你直接回答“是"或“

21、否”，不需證明)；連接AC請你直接寫出 ACE為等腰三角形時 CE CD的值；(3)如圖3,當(dāng)E,F分別在直線 DCCB上移動時，連接AE和DF交于點P,由于點E,F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點 P運動路徑的草圖.若 AD=2,試求出線段 CP的最大值.【答案】見解析.【解析】解：(1) AE=DF, AE1DF，理由如下：.四邊形ABCD1正方形，AD=DC / ADE=Z DCI=90 ,由題意知：DE=CF. AD摩 DCF . AE=DF / DAE=Z FDC / ADS90 , /ADF+/CDF=90 , .Z ADF+Z DAE=90 , /APB180°

22、-90° =90° , . AE1 DF(2) (1)中的結(jié)論還成立，CE CD=J2或2,理由如下:如圖，當(dāng) AGCE時，設(shè)正方形 ABCD勺邊長為a,由勾股定理得： AGCE=.2a,則CE Ct="a：4& ;如圖，當(dāng) AEAC時,設(shè)正方形 ABCD勺邊長為a,由勾股定理得： ACAE=.2a,四邊形ABCO正方形, /ADC90 ,即 AD± CEDE=C1=a,. CE CD=2a： a=2；故，CE CD：拒或2;(3)二,點P在運動中/ APD90 ,.點P的路徑是以AD為直徑的圓,如圖，設(shè)AD的中點為Q連接Cg延長交圓Q于點P,此

23、時CP的長度最大,在RtA QD中，由勾股定理得：Q(=75,.CP=QCQP=書+1,即線段CP的最大彳1是非+1.【變式2-1(2019 西華縣一模)如圖1,在正方形ABCDK點E, F分別是邊BC, AB上的點，且CE=BF.連 接DE過點E作EGL DE使EGDE連接FG FC(1)請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;(2)如圖2,若點E, F分別是邊CB BA延長線上的點，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；(3)如圖3,若點E, F分別是邊BC AB延長線上的點，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷.【答案】(1) FGC

24、E FG/ CE (2) (3)見解析.【解析】解：(1) FGCE FG/ CE. BF=CE BC=CD / FBG/ DC巨90 ,BC陣 CDE / DEC/CFB /CFB/FCB=90 , ./ DEC+Z FCB=90 ,即 CFL DE. DEL EGEG/ CFEGDE=CF,四邊形FCE境平行四邊形, . FGCE FG/ CE(2) . BF=C BGCQ / FBG/DCE90 ,BC陣 CDE / DEC/CFB CF=DE /CFB/FCB=90 , ./ DEC+Z FCB=90 ,即 CFL DE. DEL EGEG/ CFEGDE=CF, 四邊形FCE境平行四

25、邊形，F(xiàn)G=CE FG/ CE(3)成立.由上可證： CBm DCE得：/ BCI=Z CDE CF=DE. EGDE. CF=EG. DEL EG / DEC/CEG90/ CDE/ DE090 Z CDE/CEG ./ BCF:/CEG . CF/ EG 四邊形CEG"行四邊形，F(xiàn)G/ CE FG=CE強化精煉：1. (2019 河南南陽一模) 我們定義：如圖1,在 ABCK 把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 風(fēng)(0° < “<180° ) 得到AB ,把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)(3得到AC ,連接B' C ,當(dāng)a+ 3=180°時，我們稱 A

26、B C是 ABC的“旋補三角形"， AB C'邊B' C'上的中線 AD是 ABM旋補中線，點 A叫旋補中心.特例感知：(1)在圖2,圖3中，AB C'是 ABC勺“旋補三角形”， AB，C邊B' C上的中線 AD>AABC 的旋補中線，如圖2,當(dāng) ABB等邊三角形時， AD與BC的數(shù)量關(guān)系是 如圖3,當(dāng)/ BA090。，BG8時，則AD的長為猜想論證：(2)如圖1,當(dāng) ABC是任意三角形時，猜想 AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.KCZZJ【分析】(1)由 ABB等邊三角形，得 A&BGACAB =AC , / BAG60 ,

27、/ BAC/B' AC =180 , 得/ B' =/C' =30° ,即BG2AD可利用“直角三角形中， 斜邊的中線等于斜邊的一半”，證彳導(dǎo):BG2ADAD=4;(2)BG2AD利用倍長中線構(gòu)造全等三角形， 延長AK M使DMAD,連接B' M C' M證得 ABC B AM 得 BC=AM BC=2AD【解析】解：(1).一 ABB等邊三角形， . AB=BGAC=AB =AC , / BA(=60 ,. DB =DC ,. ADL B' C ,. BAG/B' AC =180 ,B' AC =120° ,

28、/ B' =/ C' =30 , BG2AD即：答案為BG2ADBA(=90 , BAG/B' AC =180 , .Z B' AC =/ BAC90. AB=AB , AC=AC , .BAC2 B, AC ,. BOB' C',. B' D=DC , . BC=2AQBC=8, . AD=4;(2)結(jié)論：BC=2AD理由如下：如圖，延長長 AD至M使DMAD連接B' M C M, AD=DM B' D=DC ,.四邊形AC MB是平行四邊形， .AC =B' M=AC/ BAG/B' AC =180 ,

29、 / AB M+/B' AC =180 , / BAB/ AB' M . AB=AB ,. .BA室 AB MBGAM即 BC=2AD2. (2019 鄭州外國語測試)已知如圖1所示，在ABC4 Z ACB90 , AC=BQ點D在AB上，DEEL AB交BC于E,點F是AE的中點，(1)寫出線段FD與線段FC的關(guān)系并證明；(2)如圖2所示，將4 BD段點B逆時針旋轉(zhuǎn)a (0。V a <90。)，其它條件不變，線段 FD與線段FC 的關(guān)系是否變化，寫出結(jié)論并證明；(3)將 BDEg點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果 BG4, BE=2 J2 ,直接寫出線段 BF的范圍.【解析】解：

30、(1) FD=FQ FD! FC,理由如下:由題意知：/ ADEZACE=90 , AF=EF,DF=AF=EF=CF / FAD=/ FDA / FAG/ FCA/ DFE:Z FDA/ FAD=2/ FAD / EFC=2/ FACCA=CB / AC&90 , / BAB/ B=45 , Z DFG/ EFD/ EFG2 (/ FAD/ FAC =90 ,. FD=FC FD! FC(2)結(jié)論不變，理由如下：延長AC至M使得CMAC延長ED至N,使DN=DE連接BN BM EM AN,延長ME交ANT H,交AB于O,如圖所示，. BCL AM AC=CM .AB=BM 同理得：

31、BE=BN / ABM/ EBN / NBA/ EBM. .AB星 MBEAN=EM / BAN=/BME. AF=FE AC=CM八 1八.CF=- EM CF/ EM21 同理，F(xiàn)D=，AN FD/ AN2 . FD=FC / BMEZ BOIM90 , / BOMZ AOH / BAN/AOH90 , / AHO90 ,即 AN! MH. FU FC（3）由題意知，當(dāng)點 E落在線段AB上時，BF的長最大，如圖所示,此時BF=3 J ,當(dāng)點E落在AB的延長線上時，BF的長最小，如圖所示,此時，bf=-，2,2 WBF<3 2.3. （2019 偃師一模） 特殊：（1）如圖1 ,在等腰

32、直角三角形 ABC中，/ ACB90° .作 CM平分/ ACB 交AB于點M點D為射線CM上一點，以點 C為旋轉(zhuǎn)中心將線段 CD逆時針旋轉(zhuǎn) 90。得到線段 CE 連接DE交射線CB于點F,連接 BD BE填空：線段BD BE的數(shù)量關(guān)系為 ;線段 BC DE的位置關(guān)系為 .一般：（2）如圖2 ,在等腰三角形 ABC中，/ ACBa ,作CM平分/ ACB交AB于點 M,點D為4ABC 外部射線 CM上一點，以點C為旋轉(zhuǎn)中心將線段 CD逆時針旋轉(zhuǎn) a度得到線段 CE連接DE BD BE.請判斷（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由.特殊：（3）如圖3 ,在等邊三角形 ABC中，作 BM平分

33、/ ABC交AC于點 M,點D為射線 BM上一 點，以點B為旋轉(zhuǎn)中心將線段 BD逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段 BE連接DE交射線BA于點F,連接AD, AE若 AB=4,當(dāng) ADM與 AFD全等時，請直接寫出DE的值.圖1圖2圖3【答案】(1) BD=BE, BCLDE (2) (3)見解析.【解析】解：(1)由題意知：/ ACM/ BCIM45 ,由旋轉(zhuǎn)知，/ DC=90° , CHCE / ECBZ DCB45 ,. BGBCBCD2 BCEBD=BE. CD=CE.BC是線段DE的垂直平分線，BCL DE(2)成立，理由如下， CMF分/ ACB / ACB a , Z ACM/

34、BCM, 2由旋轉(zhuǎn)知，/ DC=a , CD=CE / BCD/ BCE： 2又.BC=BQBCD2 BCEBD=BE. CD=CE.BC是線段DE的垂直平分線, BCL DE(3)如圖 3,可證得：/ ABE=ZABD=30 , AB±DE由AAD陣 ADI5 得：/ FAD：/MAD30 , . AF=BF=2,DE=2DF在 RtAADF,DFAF - tan / DAI： 233即 DE=4-.3如下圖所示,同理，得/ FBD=30 , AB=AD=4,/ADF=/ADM30 ,DE=2DF=4 病綜上所述，DE的長為： ±3 , 4 3.34. (2019 省實驗

35、一模)觀察猜想連接DE；5. )如圖，在RtA ABC, /BAC= 90° , AB= AC= 3,點D與點A重合，點E在邊BC上, 將線段D蹴點D順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DF,連接BF,BE與BF的位置關(guān)系是 ,BE+BF=探究證明(2)在(1)中，如果將點 D沿AB方向移動，使 AD= 1,其余條件不變，如圖，判斷BE與BF的位置關(guān)系，并求 B&BF的值，請寫出你的理由或計算過程；拓展延伸舞卷式儀甲；*圖1【答案】(1) BF±BE; BC (2)【解析】解：(1) .一/ EAF=/ EAF- / BAE= / BAC- / BA.Z BAF= / CAE

36、, AF= AE AB= ACBAB CAE ./ ABF= / C, BF= CEAB= AC / BAC= 90 , Z ABO / C= 45° , ./FBE= /ABF+/ABC= 90° ,故答案為：BF± BE BC過D作DH/ AC交BCT H,. DH/ AC圖2圖3(3)見解析.BAG= 90 ,、EBC= BEEO BRBF,BDR / A= 90° , DBK等腰直角三角形,(3)如圖，在 ABC, AB= AC /BAG= a,點D在邊BA的延長線上，BD= n,連接DE將線段DE 繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角/ EDF= a,連

37、接BF,則B3BF的值是多少？請用含有 n, a的式子直接寫出結(jié) 論.由（1）可證得：BF，BE BF+BE= BH . AB= AC 3, AD= 1,BD= DH= 2,BH= 2 2 ,BF+BE= BH= 2應(yīng)；(3)過D作DH/ AC交BC的延長線于 H,彳DM_ BC于M. AC/ DH/ ACH= / H, / BDH= / BAC= a ,AB= AC ./ ABG= / ACB .Z DBH= / H,DB= DH. / EDF= / BDH= a , ./ BDF= / HDEDF= DE DB= DHBD陣 HDEBF= EHBF+BE= EH+BE= BH. DB= D

38、H DML BHBM= MH / BDMt / HDMBM= MH= BD?sin .2BF+BE= BH= 2n?sin .25. (2019 濮陽二卞篁 在 ABC中，AC= BC / ACB= a，點D為直線BC上一動點，過點 D作DF/ AC交AB于點F,將A讖點D順時針旋轉(zhuǎn)a得到EQ連接BE（1）特例猜想如圖1 ,當(dāng)a =90°時，試猜想：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是 ;/ ABE=;（2）拓展探究如圖（2）,當(dāng)0。v a <90。時，請判斷 AF與BE的數(shù)量關(guān)系及/ ABE的度數(shù)，并說明理由.（3）解決問題如圖（3）,在 ABC中，AC= BG AB= 8, Z ACB=

39、 a，點D在射線BC上，將 AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn) a得到ED連接BE當(dāng)BA 3CD時，請直接寫出 BE的長度.【答案】（1） AF= BF, 90。；（2） （3）見解析.【解析】解：（1）設(shè)AB交DE于O. ./ABC= 45 , DF/ AC ./ FDB= / C= 90° , ./ DFB= / DBF= 45° ,DF= DBADE= / FDB= 90° , ./ ADF= / EDB . DA= DE . AD目 EDBAF= BE / DAM / E,. / AOD= / EOB .Z ABE= / ADO= 90 ,所以答案為AF= BF, 90

40、。.(2)結(jié)論：AF= BE, / ABE= a .理由如下：. DFII AC / ACB= / FDB= a , / CAB= / DFB. AC=BC ./ ABC= / CAB ./ ABC= / DFBDB= DF. / ADF= / AD曰 / FDE / EDB= / FDEB- / FDE即/ ADF= / EDBAD= DE . AD目 EDBAF= BE / AFD= / EBD. / AFD= / ABG/ FDB / DBE= / ABD/ ABE ./ ABE= / FDB= a .(3)分兩種情況討論：當(dāng)點D在線段BC上時，由(2)可知：BE= AF, DF/ AC

41、,AF CD 1一一,BA BC 4AB= 8,AF= 2,BE= A曰 2,當(dāng)點D在BC的延長線上時,. AC/ DF,AF CD 1 一,BA BC 2AB= 8, . AF= 4,即 BE=4,綜上所述，BE的長度為2或4.6. （2019 開封二模）問題發(fā)現(xiàn)如圖1, 4ABO等邊三角形，點 D是邊AD上的一點，過點 D作DE/ AC交AC于E,則線段BD與CE有 何數(shù)量關(guān)系？拓展探究如圖2,將4AD或點A逆時針旋轉(zhuǎn)角 a （0° V a <360° ）,上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請就圖中給出的情況加以證明.問題解決如果 ABC勺邊長等于2芯,AD= 2

42、,直接寫出當(dāng) AD或轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時 BD的長.圖1圖2備用圖【答案】見解析.【解析】解：（1）如圖1, BD= CE,理由是：.ABO等邊三角形,AB= AQ DE/ BQ.ADEM等邊三角形，即 AD=AE,BD= CE(2)結(jié)論仍然成立，由圖1得：AD= AE由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：/ BA氏/CAE. AB=AQBA國 CAEBD= CE(3)分兩種情況討論，如圖所示，過 D作DGL AB,垂足為 G. AF，DE ADAE / DAM / EA已 30° , .Z BAD= 30° ,由 AD= 2,得：DG= 1, AG= .3,由 AB= 2 J3,得：B

43、G= J3,由勾股定理得：BD= 2.如圖，DD! IV ooan «1由（2）中證明可知： BA挈 CAE BA CE. AA AE DEI AC Z ADE= 60 EA展 / FAD= 30 ,1 .EF= FD=AD= 1, 2AF=事,.CF= A（+CF= 3 V3 ,在RtA EFC43,由勾股定理得： EC= 2 ",BD= EO 2 .7 ,綜上所述，BD的長為2或2 J7 .7. （2019 安陽二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖 1,在四邊形 ABC珅，AB/ DC E是BC的中點，若 AE是/BAD的平分線，則 AB AD DC之間的數(shù)量關(guān)系為 .（2）問題

44、探究：如圖 2,在四邊形 ABCW, AB/ DC E是BC的中點，點F是DC的延長線上一點，若AE是/ BAF的平分線，試探究 AB AF, CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（3）問題解決：如圖 3, AB/ CD點E在線段BC上，且BE EC= 3: 4.點F在線段 AE上，且/ EFD=/ EAB直接寫出AB, DF CD之間的數(shù)量關(guān)系.圖1圖2圖3【答案】(1) AD= ADCD (2) (3)見解析.【解析】解：(1)結(jié)論：AD= A8CD理由： . AB/ CF ./ CFE= / EAB. CE= EB / CEF= / AEB . CE咯 BEA, . AB= CF. AF平

45、分/ DAB ./ DAF= / EAB. / EAB= / CFE .Z DAF= / DFAAD= DF. DF= DGCF= CBARAD= ARCD(2)結(jié)論：AB= AF+CF.理由：延長AE DC交于G. AB/ DG. . / G= / EAB. CE= EB / CEG / BEA.CE與 BEAAB= CG / G= / EAB. AE平分/ FAB ./ FAG= / EAB . Z G= / EAB/ FAG= / G, .CG= CF-FG= CF+AF, . AB= AF+CF3(3)結(jié)論：AB= 3 (Ct+DF). CGI AB.BE 竺 3, /G=小CE CG

46、 43 一一 . AB= 2 CG 4. / DFE= / A, ./ DFG= / G,DF= DGCDOF= Ct+DO CG3 . AB= - (CDDF).48. (2019 中原名校大聯(lián)考)如圖 1,在RtAABC, / BAC= 90° , AB= AC點D, E分別在邊 AB AC上，AD= AE,連接DC BE點P為DC的中點，(1)【觀察猜想】圖1中，線段AP與BE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是.(2)【探究證明】把 ADEg點A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立請證 明，否請說明理由；(3)【拓展延伸】把 ADE第點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 AD

47、= 4, AB= 10,請直接寫出線段 AP長度的 最大值和最小值.1 _ _ 一 一一【答案】(1) AP,BE PAL BE (2) (3)見解析. 2【解析】解：(1)設(shè)PA交BE于點O.AD= AE AC= AB / DAG= / EABDAC2 EABBE= CD / ACD= / ABE/ DAC= 90° , DA PC1八八PA= 1 CD= PC= PD21PA= 1 BE Z C= / PAE2 /CAP/BAO= 90 , /ABO/BAO= 90 , ./AOB= 90 , PAL BE(2)結(jié)論成立.理由：延長 AP至M 使PM= PA 連接 MC延長PA交BE于OPA= PM PD= PC / A