2016年遼寧省大連市高三第一次模擬考試理科數學試題及答案

1、2015年一模測試 數學(理科)本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，其 中第II卷第22題第24題為選考題，其它題為必考題.考生作 答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結束后， 將本試卷和答題卡一并交回.-.選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小 題給由的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)(1)已知集合A x 1 x 1, B x x2 2x 0,貝U AI B ()(A) 1,0(B) 1,0(C)0,1(D) ( ,1U2,)(2)設復數z 1 i (i是虛數單位)，則2 z2=()z(A) 1 i(B) 1 i(C)1 i(D)1 i

2、(3)已知|a 1, b也，且a (a b),則向量a與向量b的夾角為(A)623(4 )已知ABC中,(B)4內角A,(C)(D)3B, C的對邊分別為|a,b,c,若a2 b2 c2 bc, bc 4,則 ABC 的面積為()(A)1(B)1(C) 73(5)已知 a 2,0,1,3,4 , b 1,2 ,則函數, 1 ,f(x) (a2 2)x b為增函數的概率是()(A) 2(B) 3(C) 1(D)且55210(6)閱讀如圖所示的程序框圖， 運行相應的程序.若輸由的S為泉則判斷框中填寫的內容可以是()(A) n 6(B) n 6(C) n 6(7)如圖，網格紙上小正方形的邊長為線畫生

3、的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積( )(A) 32(B) 64(C)謔33(D) n 8(D)64(8)已知直線y 272(x 1)與拋物線C:y2 4x交于A, B兩點，點M ( 1,m),若 MA MB 0 ,貝U m (A).2夸(C)2(D) 0(9)對定義在0,1上，并且同時滿足以下兩個條件的函數f(x)稱為M函數，對任意的x 0,1,恒有f(x) 0 ；當Xi0, x20,Xix21 時，總有f (Xix2)f(Xi)fd)成立,則下列函數不是M函數的是()(A)f (x)x2(B)f (x) 2x 1(C)f (x)ln(x21)(D)f (x)x21x 4y 4 0(10

4、)在平面直角坐標系中，若 P(x,y)滿足2x y 10 0,則當xy取5x 2y 2 0得最大值時，點P的坐標是()(A) (4,2)(B) (2,2)(C) (2,6)(D) (-,5)22(11)已知雙曲線與 a2b2 1(a 0,b 0)與函數y 4(x 0)的圖象交于點P ,若函數y6在點P處的切線過雙曲線左焦點F( 1,0),則雙曲線的離心率是()(A)號(B)建(C)第(D) |(12)若對x,y 0,)，不等式4ax exy 2 ex y 2 2恒成立，則實數a的最大值是()(A) 1(B) 1(C) 2(D)41 2第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分， 第13題第21題為必

5、考題， 每個試題考生都必須做答.第 22題第24題為選考題，考生根據 要求做答.二.填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在 答卷紙的相應位置上)(13 )函數y ：sinx亨cosx ( x 0,)的單調遞增區(qū)間是6(14) x 1的展開式中常數項為 2x(15)已知定義在R上的偶函數 ”)在0,)單調遞增，且f0 ,則不等式f(x 2) 0的解集是 .(16)同底的兩個正三棱錐內接于同一個球.已知兩個正三棱錐的底面邊長為a,球的半徑為R設兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為、，則tan()的值是 .三.解答題：(本大題共6小題，共70分，解答應寫由文字說明、證明過程或演

6、算步驟)(17)(本小題滿分12分)2已知數列an中，a1 1,其前n項的和為Sn ,且滿足an 三(n 2).2Sn 1(I )求證：數列-1是等差數列； Sn(n)證明：當n 2時，S1 1s2 1&Sn W. 23 n 2ABCD 是(18)(本小題滿分12分) 如圖，在四棱錐P-ABCDK底面 菱形，/ DAB= 60o, PD_¥面 ABCDP摩AD=1,點e,f分別為為AB和PD中點.(I)求證：直線AF/平面PEC;(II)求PC與平面PABff成角的正弦值.(19)(本小題滿分12分)某校甲、乙兩個班級各有 5名編號為1, 2, 3, 4, 5的學生進行投籃訓

7、練，每人投10次，投中的次數統(tǒng)計如下表：學生1號2號3號4號5號甲班6r 5798 1乙班48977(I)從統(tǒng)計數據看，甲乙兩個班哪個班成績更穩(wěn)定(用數據說 明)？(II)若把上表數據作為學生投籃命中率，規(guī)定兩個班級的1號和2號同學分別代表自己的班級參加比賽，每人投籃一次，將甲、 乙兩個班兩名同學投中的次數之和分別記作X和Y ,試求X和Y的分布列和數學期望（20）（本小題滿分12分）已知橢圓I51°）的上頂點為（0,1），且離心率為名,（I ）求橢圓C的方程;(n2證明：過橢圓Ci：亮 m2-yr 1(m n 0)上一點Q(x0, y0)的切線方程 n(m)以圓 X2 y216上一點

8、P向橢圓C引兩條切線,切點分別為A,B,當直線AB分別與x軸、y軸交于M、N兩點時，求MN的最小值.（21）（本小題滿分12分）, 10 ,若定義在R上的函數f(x)滿足f(x) 等e2x2 x2 2f (0)x,X 1 9g(x) f (-) -x (1 a)x a, 24(I )求函數f(x)解析式；(n)求函數g(x)單調區(qū)間；(田)若x、y、m滿足|x m | | y m | ,則稱x比y更接近m .當a 2 J=L x 1時，試比較e和ex1 a哪個更接近lnx,并說明理由。 x請考生在22, 23, 24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆選題目對

9、應的標號涂黑.(22)(本小題滿分10分)選修41:選講如圖所示,AB為圓O的直徑， BC , CDD幾何證明OB在答題卡上把所圓O的切線，B, D為切點.(I )求證： AD / OC ；(n)若圓。的半徑為2,求AD OC的值.(23)(本小題滿分10分)選修44:坐標系與參數方程已知在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為x 3 28s (為y 4 2sin參數)(I)以原點為極點、x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求圓 C的極坐標方程；(n)已知 A( 2,0), B(0,2),圓C上任意一點 M(x,y),求 ABM面積 的最大值.(24)(本小題滿分10分)選修45:不等式選講設函數 f

10、(x) 2x 2 x 2 .(I)求不等式f(x) 2的解集；(n)若x R, f(x) t2,恒成立，求實數t的取值范圍.201 5年大連市高三一模測試 數學(理科)參考答案與評分標準 說明：一、本解答給生了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法 與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相 應的評分細則.二、對解答題，當考生的解答在某一步由現錯誤時，如果后 繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后 繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如 果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累 加分數.四、

11、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.一.選擇題(1) C; (2) A; (3) B; (4) C; (5)B ; (6) C; (7) D; (8) B; (9) D; (10) D; (11) A ;(12) D.二.填空題(13) 0 ； (14)5； (15) ( ,1U3,); (16) 亞.623a三.解答題(17)解：(I)當 n 2 時，Sn Sn12S22Sn 1Sn1Sn2SnSn1構成以1為首項,2為公差的等差數列。（口）由（1）可知,S1(n 1)Sn12n當n 2時，1Snn11n(2n 1) n(2n 2)112 n(n 1)2(n11一一 11從而 S1 2S

12、2 3S3231 Sn 1n12(11131)n 1 n 2 2n（18）解：（I ）證明：作FM/ CD PC于 M,12'線 AF/.點 F 為 PD 中點，FM 1CD. 2.11 k - , . AE AB FM , 2 '2AEMFJ平行四邊形，AF/ EM AF 平面PEC, EM 平面PEC , .二直 平面PEC 6分（II ） Q DAB 60o ,DE DCAxB如圖所示，建立坐標系，則R0Q，C（0，1，0），可A(直，1,0), B(直 1,0) 222 2uur 3 1 uurAP ,1,1 , AB 0,1,0 .2 2設平面PAB的一個法向量為n

13、x,y,z .r uuu r uuun AB 0 , n AP 0 ,¥x梟z 0,取x 1,則z岑, y 02平面pab的一個法向量為n（1,0,1）. PC （0,1, 1） , 設向量 n與PC所成角為，. cosr uuir n PC r uuur n PC.4214.p訐面PA斷成角的正弦值為號12分（19）解：解：（I）兩個班數據的平均值都為7,甲班的方差2Si(6-7)2+ (5-7)2+ (7-7)2+ (9-7)2+ (8-7)乙班的方差2S2(4-7)2+ (8-7)2+ (9-7)2+ (7-7)2+ (7-7)2因為S12 S2,甲班的方差較小，所以甲班的成績

14、比較穩(wěn)定(n) x可能取0,1,221131211P(X 0)-, P(X 1)- - ,P(X52552 52 2所以X分布列為：2)13)，X012121110310數學期望EX 0Y可能取0,1,2P(Y 0) 3 1 ,5 5 25所以Y分布列為：P(Y1)1 14_5 25? P(Y2). 16 ,數學期望EY 02511425(20)解：(I)Qb8625 5c_.3a 2,b 1Y012P3148252525橢圓C方程為法一：橢圓C1：2 x-2 m2 y2 ny 0時,當y。時，k2 n1 x。一 y。n2，上。4 分m y。切線方程為V。 a xm

15、y。22n x°x m y°ym y。2 22 2n x。m nx°x-2 m同理可證,Vo。時，切線方程也為%x-2 m當y0=。時，切線方程為x m滿足=岑 m n綜上，過橢圓上一點Q（x0,y。）的切線方程為1。%x2m解法2.當斜率存在時，設切線方程為 ykx等1。7 分nt ,聯(lián)立方程：2 x-2 my2 y2 nkx(n21 可得 n2x2m2(kx t)2m2n2 ,化簡可得:2 2、 2 m k )x2m2ktx m2(t2 n2)。，由題可得:4 2 2224m k t 4m (n2 222m k )(t n )化簡可得:t2式只有一個根,記作X

16、o ,x。m2kt-22, 2n m k2 手，x。為切點的橫坐標,切點的縱坐標Vokx。2所以一 2|& mk,所以ky。 n2n x。2，m y。所以切線方程為:y。k(xx。）2n x。/、2 (x x。)，m y?；喌茫簑券m n當切線斜率不存在時,切線為m,也符合方程%x %y1,22綜上：、41在點（x°,y°）處的切線方程為 m nx°x2 m（其它解法可酌情給分）(m)設點 P (xp, yp)為圓 x2y2 16上一點,PA, PB是橢圓1的切線，切點 A(x1, y1), B(x2 , y2) ,過點A的橢圓的切線為x1xT y1y1

17、,過點B的橢圓的切線為早y2yQ兩切線都過P點,yypy2yp切點弦AB所在直線方程為XXp4yyp1M (0, 一)，yp4N(一,0),xpMN162xp1162 yp2XP12 yp2XP2 yp161 xp16 yp17162Yp2 xp116 17J 2216 Ypxp25o16當且僅當2 xp 2 yp216與xpXp2 64,yP23時取等, 55MN4,MN |的最小值為5. 12分（21）（本小題滿分12分）解：（I ）2x 2_f '(x)f'(1)e 2x2f(0),所以 f'(1)f'(1)2f(0),f(0) 1 .又 f (0)所以f

18、（x）fjne e22xe2,所以f'(1)(2) Q f(x) e2x 2x x2,. 18 g(x) f(x) 4x2 (1 a)x.5分1 2 -x41 2x - x (1 a)x a 4ex a(x 1). 20 ,g (x) ex a,當a00時,g (x) 0,函數在R上單調遞增；當a 0時，由 g (x) e：,lna 時，g (x) 0, g(x)單調遞減；x 1n a,時，g (x) 0 , g(x)綜上，當a00時，函數g(x)的單調遞增區(qū)間為)；當a 0時,函數g(x)的單調遞增區(qū)間為lna,單調遞減區(qū)間為,1n a . . 8分(3)(田)解：設 p(x) -

19、1nx,q(x) ex1 a In x, xQ p'(x)-4-0, P(x)在 x 1,)上為減函數，又 p(e) 0,x x當1 x e時,P(x) 0 ,當 x e 時，p(x) 0.x11x11Qq'(x) ex1, q''(x) ex1=0,xxq'(x)在x 1,)上為增函數，又 q1(1) 0,x 1,)時，q1(x) 0, q(x)在 x 1,)上為增函數，q(x) q(1) a 2 0.當 1 x e 時，| p(x) | |q(x)| p(x) q(x) - ex1 a, x設 m(x) e ex1 a,則 m'(x) 與 ex1 0, m(x)在 x 1,)上為減函數, xxm(x) m(1) e 1 a ,Q a 2, m(x) 0,| p(x) | |q(x)|,£ 比 ex1 更接近 In x.x當 xe 時，| p(x) | |q(x)| p(x)q(x)- 21nxex 1a 2ln xex 1x設 n(x)21n x ex 1 a,則 n'(x) -ex 1 ,n''(x) 與 ex 10,xx門'國在* e時為減函數， n'(x) n'(e) 2 ee 1 0, en(x)在 x e 時為減函數， n(x) n(e) 2 a e