第六章 第七節(jié) 數學歸納法(理）

1、一、選擇題一、選擇題1(2012濟南模擬濟南模擬)用數學歸納法證明用數學歸納法證明 123n2n4n22，則當，則當 nk1 時左時左端應在端應在 nk 的基礎上加上的基礎上加上()Ak21B(k1)2C. k1 4 k1 22D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析解析：當當 nk 時時，等式左端等式左端12k2，當當 nk1 時時，等式左端等式左端12k2.答案：答案：D2如果命題如果命題 p(n)對對 nk 成立成立，則它對則它對 nk2 也成立也成立若若 p(n)對對 n2 成立成立，則下列則下列結論正確的是結論正確的是()Ap(n)對所有正整數對所有正整數 n 都成立都成立Bp

2、(n)對所有正偶數對所有正偶數 n 都成立都成立Cp(n)對所有正奇數對所有正奇數 n 都成立都成立Dp(n)對所有自然數對所有自然數 n 都成立都成立解析：解析：若若 n2p(n)成立，則成立，則 n4,6,8，時，時 p(n)成立成立答案：答案：B3用數學歸納法證明不等式用數學歸納法證明不等式 1121412n112764(nN*)成立，其初始值最小應取成立，其初始值最小應取()A7B8C9D10解析：解析：可逐個驗證，可逐個驗證，n8 成立成立答案：答案：B4下列代數式下列代數式(其中其中 kN*)能被能被 9 整除的是整除的是()A667kB27k1C2(27k1)D3(27k)解析：

3、解析：(1)當當 k1 時，顯然只有時，顯然只有 3(27k)能被能被 9 整除整除(2)假設當假設當 kn(nN*)時，命題成立，即時，命題成立，即 3(27n)能被能被 9 整除，那么整除，那么 3(27n1)21(27n)36.這就是說，這就是說，kn1 時命題也成立時命題也成立由由(1)(2)可知，命題對任何可知，命題對任何 kN*都成立都成立答案：答案：D5若凸若凸 n(n4)邊形有邊形有 f(n)條對角線，是凸條對角線，是凸(n1)邊形的對角線條數邊形的對角線條數 f(n1)為為()Af(n)n2Bf(n)n1Cf(n)nDf(n)n1解析解析：由題意知由題意知 f(n1)f(n)

4、n1，故故 f(n1)f(n)n1.答案：答案：B二、填空題二、填空題6在數列在數列an中，中，a113且且 Snn(2n1)an，通過計算，通過計算 a2，a3，a4，猜想，猜想 an的表達式是的表達式是_解析：解析：a113113，a2115135，a3135157，an1 2n1 2n1 .答案：答案：an1 2n1 2n1 7(2012徐州模擬徐州模擬)用數學歸納法證明用數學歸納法證明“當當 n 為正奇數時為正奇數時，xnyn能被能被 xy 整除整除”，當當第二步假設第二步假設 n2k1(kN*)命題為真時，進而需證命題為真時，進而需證 n_時，命題亦真時，命題亦真解析：解析：n 為正

5、奇數，假設為正奇數，假設 n2k1 成立后，需證明的應為成立后，需證明的應為 n2k1 時成立時成立答案：答案：2k1三、解答題三、解答題8用數學歸納法證明下面的等式用數學歸納法證明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1n n1 2.證明：證明：(1)當當 n1 時，左邊時，左邊121，右邊右邊(1)01 11 21，原等式成立原等式成立(2)假設假設 nk(kN*，k1)時，等式成立，時，等式成立，即有即有 12223242(1)k1k2(1)k1k k1 2.那么，當那么，當 nk1 時，則有時，則有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1k k1 2(1)k

6、(k1)2(1)kk12k2(k1)(1)k k1 k2 2，nk1 時，等式也成立，時，等式也成立，由由(1)(2)得對任意得對任意 nN*有有12223242(1)n1n2(1)n1n n1 2.9已知點已知點 Pn(an，bn)滿足滿足 an1anbn1，bn1bn14a2n(nN*)，且點且點 P1的坐標為的坐標為(1，1)(1)求過點求過點 P1，P2的直線的直線 l 的方程；的方程；(2)試用數學歸納法證明：對于試用數學歸納法證明：對于 nN*，點，點 Pn都在都在(1)中的直線中的直線 l 上上解：解：(1)由題意得由題意得 a11，b11，b2114113，a211313，P2

7、(13，13)直線直線 l 的方程為的方程為y1131x1131，即，即 2xy1.(2)當當 n1 時，時，2a1b121(1)1 成立成立假設假設 nk(k1 且且 kN*)時，時，2akbk1 成立成立則則 2ak1bk12akbk1bk1bk14a2k(2ak1)bk12ak12ak12ak1，當當 nk1 時，時，2ak1bk11 也成立也成立由由知，對于知，對于 nN*，都有，都有 2anbn1，即點，即點 Pn在直線在直線 l 上上10已知函數已知函數 f(x)13x3x，數列數列an滿足條件滿足條件：a11，an1f(an1)試比較試比較11a111a211a311an與與 1

8、 的大小，并說明理由的大小，并說明理由解：解：f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函數函數 g(x)(x1)21x22x 在區(qū)間在區(qū)間1，)上單調遞增，于是由上單調遞增，于是由 a11，得得a2(a11)21221，進而得，進而得 a3(a21)21241231，由此猜想：由此猜想：an2n1.下面用數學歸納法證明這個猜想：下面用數學歸納法證明這個猜想：當當 n1 時，時，a12111，結論成立；，結論成立；假設當假設當 nk(k1 且且 kN*)時結論成立時結論成立， 即即 ak2k1， 則當則當 nk1 時時， 由由 g(x)(x1)21 在區(qū)間在區(qū)間1，)上單調遞增知，上