蘇教版選修2第三章空間向量與立體幾何教案

1、選修2第三章空間向量與立體幾何教案課 題：平面向量知識復習教學目標：復習平面向量的基礎知識，為學習空間向量作準備教學重點：平面向量的基礎知識 教學難點：運用向量知識解決具體問題教學過程：一、基本概念 向量、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量、相反向量、向量的加法、向量的減法、實數(shù)與向量的積、向量的坐標表示、向量的夾角、向量的數(shù)量積。二、基本運算 1、向量的運算及其性質(zhì)運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法1是一個向量,滿足:2>0時,與同向;<0時,與異向;=0時, =0向量的數(shù)量積是一個數(shù)1或時,

2、 =02且時, 2、平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使 ； 注意,的幾何意義3、兩個向量平行的充要條件： 的充要條件是： ；（向量表示） 若，則的充要條件是： ；（坐標表示） 4、兩個非零向量垂直的充要條件： 的充要條件是： ；（向量表示） 若，則的充要條件是： ；（坐標表示） 三、課堂練習1O為平面上的定點，A、B、C是平面上不共線的三點，若( -)·(+2)=0，則DABC是（）A以AB為底邊的等腰三角形 B以BC為底邊的等腰三角形C以AB為斜邊的直角三角形 D以BC為斜邊的直角三角形2P是ABC所在平面上一點，

3、若，則P是ABC的（）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心3在四邊形ABCD中，且·0，則四邊形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夾角為，則以，為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為（）A B C D5O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足，則P的軌跡一定通過ABC的( ) A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心6設平面向量=(2，1)，=(，-1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A B C D7若上的投影為 。8向量，且A，B，C三點共線，則k 9在直角坐標系xoy中，已知點A(0,1)和點B(-3,4)，若點C在AOB的平分線上且

4、|=2,則=10在中，O為中線AM上一個動點，若AM=2，則的最小值是_。課 題：空間向量及其線性運算教學目標：1運用類比方法，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；2了解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運算及其性質(zhì)；3理解空間向量共線的充要條件 F1F2F3教學重點：空間向量的概念、空間向量的線性運算及其性質(zhì)； 教學難點：空間向量的線性運算及其性質(zhì)。教學過程：一、創(chuàng)設情景1、平面向量的概念及其運算法則；2、物體的受力情況分析二、建構數(shù)學1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個平移就是一個向量向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的

5、兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下（如圖）運算律：加法交換律：加法結合律：數(shù)乘分配律：3平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作：ABCD，它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱。4共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線5共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/

6、的充要條件是存在實數(shù)，使.aBAOlP推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 其中向量叫做直線的方向向量.三、數(shù)學運用1、例1 如圖，在三棱柱中，M是的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：（1）;ABCA1B1C1（2）;（3）解：（1）（2）（3）2、如圖，在長方體中，點E,F分別是的中點，設,試用向量表示和OA/CFED/B/ADB解：3、課堂練習 已知空間四邊形，連結，設分別是的中點，化簡下列各表達式，并標出化簡結果向量：（1）； （2）； （3）四、回顧總結 空間向量的定義與運算法則五、布置作業(yè)課

7、題：共面向量定理教學目標：1了解共面向量的含義，理解共面向量定理；2利用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題；教學重點：共面向量的含義，理解共面向量定理 教學難點：利用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題教學過程：一、創(chuàng)設情景1、關于空間向量線性運算的理解BMNADCABCDMN平面向量加法的三角形法則可以推廣到空間向量，只要圖形封閉，其中的一個向量即可以用其它向量線性表示。 從平面幾何到立體幾何，類比是常用的推理方法。二、建構數(shù)學1、 共面向量的定義一般地，能平移到同一個平面內(nèi)的向量叫共面向量；理解：若為不共線且同在平面內(nèi)，則與共面的意義是在內(nèi)或2、共面向量的判定平面向量

8、中，向量與非零向量共線的充要條件是，類比到空間向量，即有 共面向量定理 如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使得這就是說，向量可以由不共線的兩個向量線性表示。三、數(shù)學運用ABCDEFNM1，例1 如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M,N分別在對角線BD,AE上，且.求證：MN/平面CDE證明：= 又與不共線根據(jù)共面向量定理，可知共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN/平面CDE.2、例2 設空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若點P滿足向量關系（其中x+y+z=1）試問：P、A、B、C四點是否共面？解：由可以得到由A,B,C三點不共線，

9、可知與不共線，所以,共面且具有公共起點A.從而P,A,B,C四點共面。 解題總結：推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y使得：，或?qū)臻g任意一點O有：。3、課堂練習（1）已知非零向量不共線，如果，求證：A、B、C、D共面。（2）已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，。求證：（1）四點E、F、G、H共面；（2）平面AC/平面EG。（3）課本74頁練習14四、回顧總結1、共面向量定理；2、類比方法的運用。五、布置作業(yè)課 題：空間向量的基本定理教學目標：1掌握及其推論，理解空間任意一個向量可以用不共面的三個已知向量線性表示，而且這種表示是唯一的；2在簡單問題中，

10、會選擇適當?shù)幕讈肀硎救我豢臻g向量。教學重點：空間向量的基本定理及其推論教學難點：空間向量的基本定理唯一性的理解教學過程：一、創(chuàng)設情景平面向量基本定理的內(nèi)容及其理解如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使 二、建構數(shù)學1、空間向量的基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使證明：（存在性）設不共面，過點作過點作直線平行于，交平面于點；在平面內(nèi)，過點作直線，分別與直線相交于點，于是，存在三個實數(shù)，使所以（唯一性）假設還存在使不妨設即 共面此與已知矛盾 該表達式唯一綜上兩方面，原命題成立由此定理， 若三向量不共面，那么空

11、間的任一向量都可由線性表示，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量?？臻g任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用表示。推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使三、數(shù)學運用OA/CMED/B/ADB1、例1 如圖，在正方體中，點E是AB與OD的交點,M是OD/與CE的交點，試分別用向量表示和解：2、例2 如圖，已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量解： 3、課堂練習 課本練習76

12、頁練習1，2四、回顧總結五、布置作業(yè)課 題：空間向量的坐標表示教學目標：1能用坐標表示空間向量，掌握空間向量的坐標運算；2會根據(jù)向量的坐標判斷兩個空間向量平行。教學重點：空間向量的坐標運算教學難點：空間向量的坐標運算教學過程：一、創(chuàng)設情景1、平面向量的坐標表示分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標， 特別地，二、建構數(shù)學1、空間直角坐標系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底

13、，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面。（3）作空間直角坐標系時，一般使（或），；（4）在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標系為右手直角坐標系規(guī)定立幾中建立的坐標系為右手直角坐標系2、空間直角坐標系中的坐標：如圖給定空間直角坐標系和向量，設為坐標向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作 在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

14、，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標3、空間向量的直角坐標運算律（1）若，則，（2）若，則一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。三、數(shù)學運用1、例1 已知，求解：2、已知空間四點和，求證：四邊形是矩形 解：， 所以， 所以四邊形是矩形。3、課堂練習課本78頁練習16三、回顧總結空間向量的坐標表示及其運算四、布置作業(yè)課 題：空間向量的數(shù)量積教學目標：1掌握空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運算律，了解空間向量數(shù)量積的幾何意義；2掌握空間向量數(shù)量積的坐標形式，會用向量的方法解決有關垂直

15、、夾角和距離問題。教學重點：空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運算律教學難點：用向量的方法解決有關垂直、夾角和距離教學過程一、創(chuàng)設情景1、空間直角坐標系中的坐標；2、空間向量的直角坐標運算律；3、平面向量的數(shù)量積、夾角、模等概念。二、建構數(shù)學 1、夾角定義：是空間兩個非零向量，過空間任意一點O，作，則叫做向量與向量的夾角，記作規(guī)定：特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作。2、數(shù)量積（1）設是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即（2）夾角：（3）運算律；（4）模長公式：若，則，（5）兩點間的距離公式：若，則，或（6）三、數(shù)學運用

16、1、例1已知，求：（1）線段的中點坐標和長度；（2）到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件解：（1）設是線段的中點，則的中點坐標是，（2） 點到兩點的距離相等，則,化簡得：,所以，到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件是點評：到兩點的距離相等的點構成的集合就是線段AB的中垂面，若將點的坐標滿足的條件的系數(shù)構成一個向量，發(fā)現(xiàn)與共線。2、例2 已知三角形的頂點是，試求這個三角形的面積。分析：可用公式來求面積解：，所以，四、回顧總結五、布置作業(yè)課 題：直線的方向向量與平面的法向量教學目標：1理解直線的方向向量和平面的法向量；2會用待定系數(shù)法求平面的法向量。教學重點：直線的方向向量和平面的法向量教學難點：

17、求平面的法向量教學過程一、創(chuàng)設情景1、平面坐標系中直線的傾斜角及斜率，直線的方向向量，直線平行與垂直的判定；2、如何用向量描述空間的兩條直線、直線和平面、平面和平面的位置關系？二、建構數(shù)學1、直線的方向向量 我們把直線上的向量以及與共線的向量叫做直線的方向向量2、平面的法向量如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量。三、數(shù)學運用1、例1 在正方體中，求證：是平面的法向量證：設正方體棱長為1，以為單位正交基底，A1xD1B1ADBCC1yz建立如圖所示空間坐標系 ，所以同理 所以平面從而是平面的法向量。2、 例2 在空間直角坐標系內(nèi)，

18、設平面經(jīng)過點，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點，求滿足的關系式。解：由題意可得 即化簡得3、課堂練習已知點是平行四邊形所在平面外一點，如果，（1）求證：是平面的法向量；（2）求平行四邊形的面積（1）證明：，又，平面，是平面的法向量（2）， 四、回顧總結1、直線得方向向量與平面法向量得概念；2、求平面法向量得方法五、布置作業(yè)課 題：空間線面關系的判定（1）教學目標：1能用向量語言描述線線、線面、面面的平行與垂直關系；2能用向量方法證明空間線面位置關系的一些定理；3能用向量方法判斷空間線面垂直關系。教學重點：用向量方法判斷空間線面垂直關系教學難點：用向量方法判斷空間線面垂直關系教學過程一、創(chuàng)設情景

19、1、空間直線與平面平行與垂直的定義及判定2、直線的方向向量與平面的法向量的定義二、建構數(shù)學1、用向量描述空間線面關系設空間兩條直線的方向向量分別為，兩個平面的法向量分別為，則由如下結論平 行垂 直與與與2、相關說明：上表給出了用向量研究空間線線、線面、面面位置關系的方法，判斷的依據(jù)是相關的判定與性質(zhì)，要理解掌握。三、數(shù)學運用1、例1 證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（三垂線定理）ABCDO已知：如圖,OB是平面的斜線，O為斜足，A為垂足，求證：證明：2、例2 證明：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。（直線

20、于平面垂直的判定定理）已知：，求證：證明：在內(nèi)任作一條直線，在直線上分別取向量lmlnlgl所以因為所以可得即3、例3 在直三棱柱中，, ,是得中點。ABCA1B1C1Myz求證：證明：如圖，建立空間坐標系總結：用向量證明比幾何方法證明簡單、明了。4、課堂練習：棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點P使B1D面PAC？解：以D為原點建立如圖所示的坐標系，設存在點P（0，0，z），=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，B1D面PAC，a2+az=0z=a，即點P與D1重合點P與D1重合時，DB1面PAC四、回顧總結 本課主要研究垂直問題x五、布置作

21、業(yè)課 題：空間線面關系的判定（2）教學目標：1能用向量語言描述線線、線面、面面的平行與垂直關系；2能用向量方法判斷空間線面平行與垂直關系。教學重點：用向量方法判斷空間線面平行與垂直關系教學難點：用向量方法判斷空間線面平行與垂直關系教學過程一、復習引入1、用向量研究空間線面關系，設空間兩條直線的方向向量分別為，兩個平面的法向量分別為，則由如下結論平 行垂 直與與與二、數(shù)學運用1、例4 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在對角線上，且,求證：平面證明：建立如圖所示空間坐標系，設AB,AD,AF長分別為3a,3b,3cABCDEFxyzMN又平面CDE的一個法向量由得到因為MN不在平面CD

22、E內(nèi)所以NM/平面CDEA1xD1B1ADBCC1yzEF2、例5在正方體中,E,F分別是BB1,CD中點，求證：D1F平面ADE證明：設正方體棱長為1，建立如圖所示坐標系D-xyz,因為所以所以平面3、補充 (2004年湖南高考理科試題)如圖，在底面是菱形的四棱錐PABCD中, ，點E在PD上,且PE:ED= 2: 1.()在棱PC上是否存在一點F, 使BF平面AEC?證明你的結論.該問為探索性問題，作為高考立體幾何解答題的最后一問，用傳統(tǒng)方法求解有相當難度，但使如果我們建立如圖所示空間坐標系，借助空間向量研究該問題，不難得到如下解答：根據(jù)題設條件，結合圖形容易得到：ABCDEPxyzF假設

23、存在點F。又， 則必存在實數(shù)使得，把以上向量得坐標形式代入得 即有所以，在棱PC存在點F，即PC中點，能夠使BF平面AEC。本題證明過程中，借助空間坐標系，運用共面向量定理，應用待定系數(shù)法，使問題的解決變得更方便，這種方法也更容易被學生掌握。三、回顧總結綜合運用向量知識判斷空間線面平行與垂直四布置作業(yè) 課 題：空間的角的計算（1）教學目標：能用向量方法解決線線、線面的夾角的計算問題教學重點：異線角與線面角的計算教學難點：異線角與線面角的計算教學過程一、創(chuàng)設情景1、異面直線所稱的角、線面角的定義及求解方法2、向量的夾角公式二、建構數(shù)學1、法向量在求面面角中的應用：原理：一個二面角的平面角1與這個

24、二面角的兩個半平面的法向量所成的角2相等或互補。2、法向量在求線面角中的應用：原理：設平面的斜線l與平面所的角為1，斜線l與平面的法向量所成角2，則1與2互余或與2的補角互余。三、數(shù)學運用1、例1 在正方體中,E1，F(xiàn)1分別在A1B1,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1與DF1所成的角的大小。解1：(幾何法)作平行線構造兩條異面直線所成的角A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG解2：（向量法）設，則且解3：（坐標法）設正方體棱長為4，以為正交基底，建立如圖所示空間坐標系,，152、例2 在正方體中, F分別是BC的中點，點E在D1C1上,且D1C1,試求直線E1

25、F與平面D1AC所成角的大小解：設正方體棱長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyzA1xD1B1ADBCC1yzE1F為D1AC平面的法向量，所以直線E1F與平面D1AC所成角的正弦值為3、補充例題 在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，AC=2，BC=，SB=（1）求證：SCBC；（2）求SC與AB所成角的余弦值解：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標系，則有AC=2，BC=，SB=，得B（0,0）、S（0,0,2）、C（2,0）， =（2,-2），=（2,0） （1）·=0，SCBC（2）設SC與AB所成的角為，=（0,

26、0），·=4，|=4，cos=，即為所求4、課堂練習課本96頁練習13四、回顧總結求異線角與線面角的方法五、布置作業(yè) 課 題：空間的角的計算（2）教學目標：能用向量方法解決二面角的計算問題教學重點：二面角的計算教學難點：二面角的計算教學過程一、創(chuàng)設情景1、二面角的定義及求解方法2、平面的法向量的定義二、建構數(shù)學利用向量求二面角的大小。方法一：轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角（注意：要特別關注兩個向量的方向）如圖：二面角-l-的大小為，A，Bl，AC，BD, ACl，BDl 則=<, >=<, > 方法二：先求出二面角一

27、個面內(nèi)一點到另一個面的距離及到棱的距離，然后通過解直角三角形求角。如圖：已知二面角-l-，在內(nèi)取一點P， 過P作PO，及PAl,連AO，則AOl成立，PAO就是二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO PABl求出PAO。方法三：轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個半平面的法向量夾角的補角。如圖（1）P為二面角-l-內(nèi)一點，作PA， PB，則APB與二面角的平面角互補。 三、數(shù)學運用A1xD1B1ADBCC1yzE1、例3 在正方體中,求二面角的大小。解：設正方體棱長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz（法一）,（法二）求出平面與平面的法向量2、例4 已知E,F分別是

28、正方體的棱BC和CD的中點，求：（1）A1D與EF所成角的大??；（2）A1F與平面B1EB所成角的大??；（3）二面角的大小。解：設正方體棱長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyzA1xD1B1ADBCC1yzEF（1）A1D與EF所成角是（2）,（3）,，二面角的正弦值為四、回顧總結1、二面角的向量解法2、法向量的夾角與二面角相等或互補的判斷五、布置作業(yè)課 題：空間的距離教學目標：能用向量方法進行有關距離的計算教學重點：向量方法求點到面的距離教學難點：向量方法求點到面的距離教學過程一、創(chuàng)設情景1、空間中的距離包括：兩點間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，平行直線間的距離，異面直線直線間的距離，直線與平面的距離，兩個平行平面間的距離。這些距離的定義各不相同，但都是轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離來計算的。2、距離的特征：距離是指相應線段的長度；此線段是所有相關線段中最短的；除兩點間的距離外，其余總與垂直相聯(lián)系。3、求空間中的距離有直接法，即直接求出垂線段的長度；轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為線面距或面面距，或轉(zhuǎn)化為某三棱錐的高，由等積法或等面積法求解；向量法求解。二、建構數(shù)學1、兩點間的距離公式設空間兩點，則2、向量法在求異面直線間的距離設分別以這兩異面直線上任意兩點為起點和終點的向量為，與這兩條異面直線都垂直的向量為，則兩異面直線間的距離是在方向上的正射影向量的模。4、向量