用微元法建立物理規(guī)律的數學表達式

1、用微元法建立物理規(guī)律的數學表達式物理競賽中，常有一類求解物理規(guī)律的數學表達式的問題，例如求某質點運動的軌跡，光傳播的路徑，具有某種物理性質的界面的方程，一個物理量隨另一個物理量變化的函數關系式，等等這類問題通常是先根據相應的物理定律建立起物理量之間的某種局部的間接的關系，而后將這種關系推至直接與全體從數學的角度而言，前者是建立被積表達式或微分方程，后者則是求原函數或微分方程的特解這樣的數學背景，使不具備高等數學知識的中學生難以處理本文作者在對我省理科班進行數理方法教學的探索時，為拓展物理微元方法在中的應用，多有關于高等數學的“降解”問題的研究，以期達到只須借助中學數學工具，在以微元方法解決物理

2、問題的基礎上，通過求和、求積、反推或數學歸納等數學過程，即可求出對應為拋物線、正弦曲線、圓乃至以為底的指數函數等物理規(guī)律的表達式本文對此作一初步介紹，與同行交流例1一個裝有液體的圓柱形容器，固定在一個旋轉的水平圓板中心，圓板旋轉的角速度是一定時間后，液體表面呈凹面型，試求液面與過轉軸的豎直平面的交界線之形狀解法一求和法如圖1所示，曲線C為題述交界線，O為轉動軸，O為水平方向曲線上任一點的坐標為（，）求出（）的函數式即可確定曲線的形狀將橫坐標均勻細分成等分，對應地，曲線C上有無窮個分點（0，0）、（，）、（，）（，）（，）由于曲線被無窮分割，故每相鄰兩分點間的曲線可近似看做直線段，取其中第小段微

3、元它是一極小液元來考 察設其質量為，它受到內部液體的彈力、重力的作用而做角速度為 的勻速圓周運動對該微元，由牛頓第二定律，可得 圖1（·），式中（）（）于是有（）（）·此式為一個等差數列的通項式，對該式求和后取極限便可得到對的函數即曲線C的方程，即這是一個拋物線的標準方程于是可知容器中液體表面與過轉軸的豎直面之交界線呈拋物線，整個液面為一拋物面解法二反推法本題中如若將縱坐標均勻細分成等分，即?。ǎ?，對曲線上第小段質量為的微元，有·，則（）（）上式給出了曲線C上某一微元對應的斜率與自變量之間的關系，實際上是一個微分方程通過觀察，我們看到未知函數的斜率（）（）是的一次

4、函數，原函數可猜測為拋物線，令原函數為，用微元法求所設函數的斜率，有將此式與式相對照可知，（2），于是所求曲線的方程為（2）·例2已知光學纖維的折射率沿徑向依（1）分布，式中為光纖中心的折射率，為比1小得多的正數試求光線在光纖中傳播的軌跡解析光學纖維是一種帶涂層的透明細絲，涂層的折射率小于芯層的折射率，使進入纖維端面的光線能在涂層與芯層的界面上經多次全反射而傳播到另一端由于光學纖維可以對光按所需途徑進行導播，被用于傳播圖像本題討論的是光纖內光線的軌跡，由對稱性，只需分析光纖軸截面內的光線路徑即可由折射定律確定在某折射層面的路徑，進而用反推法求出光傳播的軌跡取如圖2所示坐標，光纖軸線為

5、軸，橫截面的徑向為軸，將平面均分成（）層平行于軸的窄條，每一條的厚度為設光從O點進入芯層，入射角為，各層中的折射率依次為，各層界面上光的入射角依次為，由折射定律,即可得圖2由于折射率的分布沿徑向遞減，開始一段，光傳播的路徑大致如圖2所示現在來考察第層中光的路徑：由于極小，光在這薄層中的路徑可視作一段直線，由幾何關系可知，將和（1）的物理條件代入上式并整理，得=這樣，我們便得到待求的表示光傳播路徑的函數（）與其斜率之間關系的方程觀察并推測該方程，若令（），斜率變化（即導函數)為一余弦函數，（）即為一正弦函數，即（），此為正弦函數標準方程，振幅為（），尚待確定值用微元法對所設函數（）求斜率，有（）

6、將此式與式比較，有（）（），可得，（）（）·若光從O點向右下方入射，則軌跡方程為（）（）·可見，光在光纖中的軌跡為正弦曲線這樣，我們成功地在初等數學范疇內處理了一個變量可分離的微分方程例3如圖3所示，在勻強磁場區(qū)域與磁感應強度B垂直的水平面中有兩根足夠長的平行導軌，在它們上面放著兩根平行導體棒，棒的長度均為、質量均為、電阻均為R，其余部分電阻不計導體棒可在導軌上無摩擦地滑動，開始時左棒靜止，右棒獲得向右的初速度試求右導體棒運動速度隨時間的變化圖3解析右棒向右運動產生感應電動勢，回路中產生逆時針方向的電流，使左棒受到向左的安培力而加速，同時使右棒受向左的安培力而減速，右棒和左

7、棒的速度隨時間的變化將分別按指數衰減和按指數增加這樣一個復雜的物理規(guī)律，我們也可用微元法求出其數學表達式設從右棒起動始經過時間，右棒速度達到，左棒速度為由動量守恒可知兩速度關系為，則，回路中的電動勢為（）（2）取時間元（）（），某時間元內，右棒滿足牛頓第二定律，有（2）（2）（）（2（）（2）（2）對上式整理可得（2（）（2）（2）（）（·），即（2（）（2）（1（）（·）上式等號左邊表示右棒在第1時間元內相對于左棒的速度與第時間元內相對于左棒的速度之比，等式右邊告訴我們這個比值為定值，也就是說兩棒運動時，各時間元內的相對速度成一等比數列，那么。（2（）（2）1（）（

8、83;），（2）1（）（·）（·）（）·（）（）利用特殊極限，可知，于是有（2）（）（），由此可得右棒運動速度隨時間變化的規(guī)律是（12）（1（）（）這里，我們先根據物理定律，在一個元過程中對右棒建立起速度與時間的關系，而后用初等數學的求積法替代原本用高等數學中解微分方程的積分運算，巧妙地求出了右棒運動速度隨時間依指數遞減的變化規(guī)律的數學式例4如圖4所示，平板玻璃的折射率隨變化的規(guī)律為（）1式中12，13光線從0處沿軸入射，經平板玻璃后從A點射出試求光線在平板玻璃中的軌跡圖4解析與前面各例做法相仿，我們將平板玻璃分成與軸平行的個薄層（），各層的折射率可視為不變，光在

9、各層傳播時遵循光的折射定律第層的折射率為，光在該薄層兩界面上的折射角與入射角均為，在下一層的折射角與入射角均為，每經過一薄層，光傳播方向改變，如圖5所示由光的折射定律可得圖5由題給條件（）1，可得（）1（），1（），則有（）（）（2（）2（-）2，當時上式有·由圖5所示幾何關系可知，光在第層軌跡曲線長度，即（·）（··）（·）以上結果表明，對于光傳播路徑上的任意一段都有相同的曲率半徑，可知該軌跡是圓的一部分，考慮初始條件0處，0，則光線在平板玻璃中傳播的軌跡方程為（13）169我們用初等數學方法，通過證明軌跡各處曲率相同因而為圓，得到了原本需通

10、過求解微分方程的結果這里，我們是將高等數學中弧微分問題“降解”了例5如圖6所示，軸豎直向上，平面是一絕緣的、固定的剛性平面在（，0，0）處放一帶電量為（0）的小物塊，該物塊與一細線相連，細線的另一端穿過位于坐標原點的光滑小孔，可通過它牽引小物塊現對該系統(tǒng)加一勻強電場，場強方向垂直于軸，與軸的夾角為設小物塊和絕緣平面間的動摩擦因數，且靜摩擦因數和動摩擦因數相同，不計重力現通過細線來牽引小物塊，使之移動，不得沿軸向上移動；小物塊移動得非常緩慢，在任何時刻，都可近似認為小物塊處在力平衡狀態(tài)若已知小物塊的移動軌跡是一條二次曲線，試求出此軌跡方程圖6解析在本題中，小物塊在繩拉力T、滑動摩擦力和電場力沿軸方向分力三力作用下，在平面運動我們取O點為極點，軸為極軸，在其運動的平面建立極坐標系，則初始時刻小物塊的坐標為，0，軌跡曲線設為，如圖7所示考察小物塊運動過程中到達的任意一點M（，），均有如圖7中所示的三力平衡的矢量關系，由于，不難得到圖中標示的角度，這說明，小物塊勻速移動的角度與矢徑的角速度是相同的圖7圖8現在我們來建立與間的關系，取，當，得到小物體所在位置與極點所連的矢徑、，相鄰兩矢徑間夾角，相鄰兩位置間的曲線段長度，亦即小物體勻速移動所通過的