用微元法建立物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

1、用微元法建立物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式物理競(jìng)賽中，常有一類(lèi)求解物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式的問(wèn)題，例如求某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，光傳播的路徑，具有某種物理性質(zhì)的界面的方程，一個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量變化的函數(shù)關(guān)系式，等等這類(lèi)問(wèn)題通常是先根據(jù)相應(yīng)的物理定律建立起物理量之間的某種局部的間接的關(guān)系，而后將這種關(guān)系推至直接與全體從數(shù)學(xué)的角度而言，前者是建立被積表達(dá)式或微分方程，后者則是求原函數(shù)或微分方程的特解這樣的數(shù)學(xué)背景，使不具備高等數(shù)學(xué)知識(shí)的中學(xué)生難以處理本文作者在對(duì)我省理科班進(jìn)行數(shù)理方法教學(xué)的探索時(shí)，為拓展物理微元方法在中的應(yīng)用，多有關(guān)于高等數(shù)學(xué)的“降解”問(wèn)題的研究，以期達(dá)到只須借助中學(xué)數(shù)學(xué)工具，在以微元方法解決物理

2、問(wèn)題的基礎(chǔ)上，通過(guò)求和、求積、反推或數(shù)學(xué)歸納等數(shù)學(xué)過(guò)程，即可求出對(duì)應(yīng)為拋物線(xiàn)、正弦曲線(xiàn)、圓乃至以為底的指數(shù)函數(shù)等物理規(guī)律的表達(dá)式本文對(duì)此作一初步介紹，與同行交流例1一個(gè)裝有液體的圓柱形容器，固定在一個(gè)旋轉(zhuǎn)的水平圓板中心，圓板旋轉(zhuǎn)的角速度是一定時(shí)間后，液體表面呈凹面型，試求液面與過(guò)轉(zhuǎn)軸的豎直平面的交界線(xiàn)之形狀解法一求和法如圖1所示，曲線(xiàn)C為題述交界線(xiàn)，O為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，O為水平方向曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）求出（）的函數(shù)式即可確定曲線(xiàn)的形狀將橫坐標(biāo)均勻細(xì)分成等分，對(duì)應(yīng)地，曲線(xiàn)C上有無(wú)窮個(gè)分點(diǎn)（0，0）、（，）、（，）（，）（，）由于曲線(xiàn)被無(wú)窮分割，故每相鄰兩分點(diǎn)間的曲線(xiàn)可近似看做直線(xiàn)段，取其中第小段微

3、元它是一極小液元來(lái)考 察設(shè)其質(zhì)量為，它受到內(nèi)部液體的彈力、重力的作用而做角速度為 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)該微元，由牛頓第二定律，可得 圖1（·），式中（）（）于是有（）（）·此式為一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)式，對(duì)該式求和后取極限便可得到對(duì)的函數(shù)即曲線(xiàn)C的方程，即這是一個(gè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程于是可知容器中液體表面與過(guò)轉(zhuǎn)軸的豎直面之交界線(xiàn)呈拋物線(xiàn)，整個(gè)液面為一拋物面解法二反推法本題中如若將縱坐標(biāo)均勻細(xì)分成等分，即?。ǎ?，對(duì)曲線(xiàn)上第小段質(zhì)量為的微元，有·，則（）（）上式給出了曲線(xiàn)C上某一微元對(duì)應(yīng)的斜率與自變量之間的關(guān)系，實(shí)際上是一個(gè)微分方程通過(guò)觀察，我們看到未知函數(shù)的斜率（）（）是的一次

4、函數(shù)，原函數(shù)可猜測(cè)為拋物線(xiàn)，令原函數(shù)為，用微元法求所設(shè)函數(shù)的斜率，有將此式與式相對(duì)照可知，（2），于是所求曲線(xiàn)的方程為（2）·例2已知光學(xué)纖維的折射率沿徑向依（1）分布，式中為光纖中心的折射率，為比1小得多的正數(shù)試求光線(xiàn)在光纖中傳播的軌跡解析光學(xué)纖維是一種帶涂層的透明細(xì)絲，涂層的折射率小于芯層的折射率，使進(jìn)入纖維端面的光線(xiàn)能在涂層與芯層的界面上經(jīng)多次全反射而傳播到另一端由于光學(xué)纖維可以對(duì)光按所需途徑進(jìn)行導(dǎo)播，被用于傳播圖像本題討論的是光纖內(nèi)光線(xiàn)的軌跡，由對(duì)稱(chēng)性，只需分析光纖軸截面內(nèi)的光線(xiàn)路徑即可由折射定律確定在某折射層面的路徑，進(jìn)而用反推法求出光傳播的軌跡取如圖2所示坐標(biāo)，光纖軸線(xiàn)為

5、軸，橫截面的徑向?yàn)檩S，將平面均分成（）層平行于軸的窄條，每一條的厚度為設(shè)光從O點(diǎn)進(jìn)入芯層，入射角為，各層中的折射率依次為，各層界面上光的入射角依次為，由折射定律,即可得圖2由于折射率的分布沿徑向遞減，開(kāi)始一段，光傳播的路徑大致如圖2所示現(xiàn)在來(lái)考察第層中光的路徑：由于極小，光在這薄層中的路徑可視作一段直線(xiàn)，由幾何關(guān)系可知，將和（1）的物理?xiàng)l件代入上式并整理，得=這樣，我們便得到待求的表示光傳播路徑的函數(shù)（）與其斜率之間關(guān)系的方程觀察并推測(cè)該方程，若令（），斜率變化（即導(dǎo)函數(shù))為一余弦函數(shù)，（）即為一正弦函數(shù)，即（），此為正弦函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程，振幅為（），尚待確定值用微元法對(duì)所設(shè)函數(shù)（）求斜率，有（）

6、將此式與式比較，有（）（），可得，（）（）·若光從O點(diǎn)向右下方入射，則軌跡方程為（）（）·可見(jiàn)，光在光纖中的軌跡為正弦曲線(xiàn)這樣，我們成功地在初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)處理了一個(gè)變量可分離的微分方程例3如圖3所示，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域與磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直的水平面中有兩根足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)軌，在它們上面放著兩根平行導(dǎo)體棒，棒的長(zhǎng)度均為、質(zhì)量均為、電阻均為R，其余部分電阻不計(jì)導(dǎo)體棒可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)左棒靜止，右棒獲得向右的初速度試求右導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化圖3解析右棒向右運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，回路中產(chǎn)生逆時(shí)針?lè)较虻碾娏?，使左棒受到向左的安培力而加速，同時(shí)使右棒受向左的安培力而減速，右棒和左

7、棒的速度隨時(shí)間的變化將分別按指數(shù)衰減和按指數(shù)增加這樣一個(gè)復(fù)雜的物理規(guī)律，我們也可用微元法求出其數(shù)學(xué)表達(dá)式設(shè)從右棒起動(dòng)始經(jīng)過(guò)時(shí)間，右棒速度達(dá)到，左棒速度為由動(dòng)量守恒可知兩速度關(guān)系為，則，回路中的電動(dòng)勢(shì)為（）（2）取時(shí)間元（）（），某時(shí)間元內(nèi)，右棒滿(mǎn)足牛頓第二定律，有（2）（2）（）（2（）（2）（2）對(duì)上式整理可得（2（）（2）（2）（）（·），即（2（）（2）（1（）（·）上式等號(hào)左邊表示右棒在第1時(shí)間元內(nèi)相對(duì)于左棒的速度與第時(shí)間元內(nèi)相對(duì)于左棒的速度之比，等式右邊告訴我們這個(gè)比值為定值，也就是說(shuō)兩棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，各時(shí)間元內(nèi)的相對(duì)速度成一等比數(shù)列，那么。（2（）（2）1（）（

8、83;），（2）1（）（·）（·）（）·（）（）利用特殊極限，可知，于是有（2）（）（），由此可得右棒運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間變化的規(guī)律是（12）（1（）（）這里，我們先根據(jù)物理定律，在一個(gè)元過(guò)程中對(duì)右棒建立起速度與時(shí)間的關(guān)系，而后用初等數(shù)學(xué)的求積法替代原本用高等數(shù)學(xué)中解微分方程的積分運(yùn)算，巧妙地求出了右棒運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間依指數(shù)遞減的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)式例4如圖4所示，平板玻璃的折射率隨變化的規(guī)律為（）1式中12，13光線(xiàn)從0處沿軸入射，經(jīng)平板玻璃后從A點(diǎn)射出試求光線(xiàn)在平板玻璃中的軌跡圖4解析與前面各例做法相仿，我們將平板玻璃分成與軸平行的個(gè)薄層（），各層的折射率可視為不變，光在

9、各層傳播時(shí)遵循光的折射定律第層的折射率為，光在該薄層兩界面上的折射角與入射角均為，在下一層的折射角與入射角均為，每經(jīng)過(guò)一薄層，光傳播方向改變，如圖5所示由光的折射定律可得圖5由題給條件（）1，可得（）1（），1（），則有（）（）（2（）2（-）2，當(dāng)時(shí)上式有·由圖5所示幾何關(guān)系可知，光在第層軌跡曲線(xiàn)長(zhǎng)度，即（·）（··）（·）以上結(jié)果表明，對(duì)于光傳播路徑上的任意一段都有相同的曲率半徑，可知該軌跡是圓的一部分，考慮初始條件0處，0，則光線(xiàn)在平板玻璃中傳播的軌跡方程為（13）169我們用初等數(shù)學(xué)方法，通過(guò)證明軌跡各處曲率相同因而為圓，得到了原本需通

10、過(guò)求解微分方程的結(jié)果這里，我們是將高等數(shù)學(xué)中弧微分問(wèn)題“降解”了例5如圖6所示，軸豎直向上，平面是一絕緣的、固定的剛性平面在（，0，0）處放一帶電量為（0）的小物塊，該物塊與一細(xì)線(xiàn)相連，細(xì)線(xiàn)的另一端穿過(guò)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的光滑小孔，可通過(guò)它牽引小物塊現(xiàn)對(duì)該系統(tǒng)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向垂直于軸，與軸的夾角為設(shè)小物塊和絕緣平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)，且靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)相同，不計(jì)重力現(xiàn)通過(guò)細(xì)線(xiàn)來(lái)牽引小物塊，使之移動(dòng)，不得沿軸向上移動(dòng)；小物塊移動(dòng)得非常緩慢，在任何時(shí)刻，都可近似認(rèn)為小物塊處在力平衡狀態(tài)若已知小物塊的移動(dòng)軌跡是一條二次曲線(xiàn)，試求出此軌跡方程圖6解析在本題中，小物塊在繩拉力T、滑動(dòng)摩擦力和電場(chǎng)力沿軸方向分力三力作用下，在平面運(yùn)動(dòng)我們?nèi)點(diǎn)為極點(diǎn)，軸為極軸，在其運(yùn)動(dòng)的平面建立極坐標(biāo)系，則初始時(shí)刻小物塊的坐標(biāo)為，0，軌跡曲線(xiàn)設(shè)為，如圖7所示考察小物塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到達(dá)的任意一點(diǎn)M（，），均有如圖7中所示的三力平衡的矢量關(guān)系，由于，不難得到圖中標(biāo)示的角度，這說(shuō)明，小物塊勻速移動(dòng)的角度與矢徑的角速度是相同的圖7圖8現(xiàn)在我們來(lái)建立與間的關(guān)系，取，當(dāng)，得到小物體所在位置與極點(diǎn)所連的矢徑、，相鄰兩矢徑間夾角，相鄰兩位置間的曲線(xiàn)段長(zhǎng)度，亦即小物體勻速移動(dòng)所通過(guò)的