一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題

1、【基礎(chǔ)知識(shí)鞏固】知識(shí)點(diǎn)1. 一元二次方程概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。1、判別下列方程是不是一元二次方程,(1)2x 2 -x-3=0.1(6) 2 -3=0.x(2) y -y 2 =0.(3) t 2 =0.(4) x 3 -x 2 =1.(5) x 2 -2y-1=0.2_ .一、.一、.-2(7) x 3x =2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1).(9)3x-+6=0. x(10)3x 2=x-3.2、判斷下列方程是否為一元二次方程:2(1) .x x 1(2) .x2 11.xx(4) .x2 3x 2y 02(5) .x2 3 (

2、x 1)( x 2)2(6) .ax bx c 0(7),mx2 0(m為不等于0的常數(shù))3、下列方程中，關(guān)于 x的一元二次方程是2(A) 3 x 12 x 12(C) ax bx c 01 1 c c(B 220x x22(D) x2 2x x2 14、下列方程中，不是一元二次方程的是(A) 2x2+7=0(B) 2x2+2J3x+1=0(C) 5x2+1+4=0(D) 3x2+(1+x) +1=0x5、若關(guān)于x的方程a(x1)2=2x2 2是一元二次方程，則 a的值是()(A) 2(B) 2(C) 0(D)不等于 2226、已知關(guān)于x的萬程 m 1 x n 3xp0,當(dāng)時(shí)，方程為一次方程；

3、當(dāng)時(shí)，兩根中有一個(gè)為零 a 。2 批7、已知關(guān)于x的方程 m 2 xm 2 x m 0 ：(1) m為何值時(shí)方程為一元一次方程;(2) m為何值時(shí)方程為一元二次方程。知識(shí)點(diǎn)二.一元二次方程的一般形式bx是一次項(xiàng)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)一元二次方程的一般形式是：ax bx c 0 a 0 ,其中ax2是二次項(xiàng)，a叫二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。特別警示：(1) “a 0”是一元二次方程的一般形式的一個(gè)重要組成部分；(2)二次項(xiàng)系數(shù)、項(xiàng)都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必須先將方程化為一般形式。1、指出下列一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)22_2_2_x

4、10x9000(2)5x10x 2.2 0(3)2x 15 0(4)x 3x 0(x 2)23(6) (x2、已知x 1是一兀二次萬程x 2mx 1 0的一個(gè)解，則m的值是()(x 3)02、關(guān)于x的方程ax2 3x 2 0是一元二次方程，則()(A) a 0(B) a 0(C) a 1(D) a 03、將下列一元二次方程化成一般形式，并找出 a、b、c的值.2(1) 4x 3 5x2；(2) 2 x 28 3x x 14、方程(nn- 1) x2+m5= 0是關(guān)于x的一元二次方程，則 m滿足的條件是()(A)1(B)0(Q | n| 1( D) m= 15、關(guān)于x的方程3x2 & 6 0中a

5、是； b是； c是。2_ 2 一 一一一6、方程 3x 2 x 5 3x 2 x 5 49的一般形式為 。7、方程(m-5)(m-3)x m 2 +(m-3)x+5=0中，當(dāng)m為何值時(shí)，此方程為一元二次方程?知識(shí)點(diǎn)三.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。21、已知萬程3x 9x m 0的一個(gè)根是1,則m的值是。(A) 1(B) 0(C) 0 或 1(D) a 03、若x7L2一次萬程 ax bx 2 0的一個(gè)根，則a4、實(shí)數(shù), 2,bb4ac曰十羊口是萬程2a的根(A ax2bx c 0,、2.(B) ax bx(C) ax2bx c 02.(D) ax bx5

6、、設(shè)a是二次方程5x0的較大根,2b 是 x 3x2 0較小根，那么a b的值是(A) -4(B) -3(Q 1(D)6、已知關(guān)于x的2次方程x2kx 2 0的一個(gè)解與方程x 1 _ . 一 3的解相同。x 1(1) 求k的值;2(2) 求萬程x kx 2 0的另一個(gè)解。7、設(shè)x1, x2是關(guān)于x的2二次方程x2pxq 0的兩個(gè)根,x11,x21是關(guān)于x的二次方程2x qx的兩個(gè)根，則p,q的值分別等于多少?知識(shí)點(diǎn)四.一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：(1)直接開平方法：如果 x2 k k 0 ,則x4.利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適

7、用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當(dāng) b 0時(shí)，x abb ,a Jb,當(dāng)b0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。(2)配方法：要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后方程兩變同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式，右邊是非負(fù)常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解；配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的a看做未知數(shù)x,并用x代替，則有x2 2bx b2 (x b)2。配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1,再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方,最后配成完全平方公式b b2 4ac 、(3)公式法：一兀二次方

8、程 ax2 bx c 0 a 0的求根公式是 x b2 4ac 0 ；2a公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法)，在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。(4)因式分解法：如果 x a x b 0則x1 a, x2 b。分解因式法的步驟：把方程右邊化為0,然后看看是否能用提取公因式，公式法(這里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式 溫馨提示：一元二次方程四種解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的頻率最高，在具體應(yīng)用時(shí)，要注意選擇最 恰當(dāng)?shù)姆椒ń狻?1、萬程x 25 0的解是

9、:(A) x 1 x2 5(B) x 1 x2 25(D) x 1 25, x225(B) x11,x23(C) x1 5,x252、方程x2 2x 0的解是:(A) x 1 x2 1(C)x 1 2, x20(D) x12,x2 03、方程 J5 1 x21 J5 x的較簡便的解法應(yīng)選用4、解下列方程：2(2) 2x x 3 02(3) x 2x 3 02(1) x 3 3x15.開平方法解下列方程:25x2 125 0169(x 3)2289y2 3610(1、.3)m2 02(3x 1) 5286.配方法解方程：2x2 2x 5 02y5y 1 02y24y 37.公式法解卜列方程：23

10、x2 6x 22P3 2 3p7y211y9n2 5n 2x 2 (x 2)(2x 1) 38.因式分解法解下列方程：122_2._x 9 0y 4y 45 08x 10x 3 04. 7x2. 21x 06x2 3,3x 2、2x , 6(x 5)22(x 5) 1(x2 3x)2 2(x2 3) 89.用適當(dāng)方法解下列方程:2222m m 1 2(m2m)2(2x 7)2.1286x(x 2) (x 2)(x 3)2_一-一y3y(32y)y(3y1)323-一2_ 281(2x 5)144(x 3)10、解下列方程：(x 3)22x 522 3y22 .3 y- x 1 2 - x 13

11、22C 2cc2c22cm3 y 6 y 2 y 2x m 3x322_x x 1 x x 212x2 x 3 3 02mx 4m 1 x 4m 2 0知識(shí)點(diǎn)五.一元二次方程根的判別式對(duì)于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的根的判別式是b2 4ac:(1) 當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2) 當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2(3) 當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。溫馨提示：若方程有實(shí)數(shù)根，則有 b2 4ac 0。21、已知萬程x 3x k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 k=k的取值圍是2、關(guān)于x的一元二次方程kx2 2x 1 0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

12、則(A) k 1(B) k 1(C) k 0(D) k1且k 03、在下列方程中，有實(shí)數(shù)根 的是(A) x2 3x 1 0(C) x2 2x 3 024、當(dāng)m滿足何條件時(shí)，方程 mx 2 m 1 x(B)(D)9m 1 0有兩個(gè)不相等實(shí)根？有兩個(gè)相等實(shí)根？有實(shí)根?25、關(guān)于x的方程mx 2 m 2 x2_一m 5 0無實(shí)根，試解關(guān)于 x的萬程m 5 x 2 m 2 x m 0。, 一一 一 ，、一26、已知關(guān)于x的一兀二次萬程 x 4 m 1 x 2m 1 0,求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。7、將一條長20m的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形。（1）

13、 要使這兩個(gè)正方形白面積之和等于17平方米，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?（2） 兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12平方米嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由。知識(shí)點(diǎn)六.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2b c .、若一兀二次萬程ax bx c 0 a 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2,則x x?一 ,xX2 。（韋達(dá)定理）a a溫馨提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一元二次方程必須有實(shí)數(shù)根。22x1x2,則k的值為:1、關(guān)于x的一元二次方程 x kx 4k 3 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是 x1，x2,且滿足x x2( )3.A 1或B 14(C) 3(D)不存在42、已知是關(guān)于x的一元二次方

14、程x22112m 3 x m 0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足一 一的值是 （）(A) 3 或-1(B) 3(Q 1(D)-3 或 13、關(guān)于x的一元二次方程22x 2x 3m 1 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1,x2 ,且x1x2x1x24 ,則m的取值圍是( )51(A) m (B) m 32(C) m(D)4、方程x223x 6 0與方程x 6x 3 0的所有根的乘積是5、兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) m,n滿足m2 6m 4,n2 6n 4,則mn的值為2一 一116、設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程xm 1 x m 0m 0的兩個(gè)根，且滿足 一 一x1x2227、已知： ABC的兩邊AB AC的長是關(guān)于x的一兀二

15、次萬程x 2k 3 x k 3k 2 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5,問：k取何值時(shí)， ABC是以BC為斜邊的直角三角形？知識(shí)點(diǎn)七.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5）檢驗(yàn)（6）寫出答案。在檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)從方程本身和實(shí)際問題兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn)。1、某商品原價(jià)每件 25元，在圣誕節(jié)期間連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在商品每件 16元，則該玩具平均每次降價(jià)的百分率2、有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3,而此兩位數(shù)比這兩個(gè)數(shù)字之積的二倍多5,求這個(gè)兩位數(shù)。3、一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個(gè)正方形，制成高是5cm,容積是5 0 0 cmf的無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。4、市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是多少？5、一根長22cmW鐵絲.2- 一（1）能否圍成面積是30cm的矩形?2 .(2)能否圍成面積是 32 cm的矩形？并說明理由.6、西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價(jià)格購進(jìn)一批小型西瓜，以 3元/千克的價(jià)格出售，每天