2020年中考數學一輪專項復習——圓的綜合問題(含詳細解答)

1、2020年中考數學一輪專項復習一一圓的綜合問題1. (2019綿陽中考 第23題)如圖，AB是。O的直徑，點 C為冊的中點，CF為。O的弦，且 CF，AB,垂足為E,連接BD交CF于點G,連接CD, AD, BF.(1)求證：BFGSDG；(2)若 AD= BE=2 ,求 BF 的長.2. (2019黔東南州中考 第22題12分)如圖，點P在。0外，PC是。O的切線，C為切點，直線PO與。相交與點A、B,(1)若/A=30 ,求證：PA=3PB ;1一 (2)小明發(fā)現(xiàn)，/ A在一定范圍內變化時，始終有 NBCP = 2(90-NP)成立，請你寫出推理過程.153. (2019貴港中考 第23題

2、)如圖，在矩形 ABCD中，以BC邊為直徑作半圓 O, OELOA交CD邊于點E,對角線AC與半圓O的另一個交點為 P,連接AE.(1)求證：AE是半圓O的切線；(2)若 PA=2 , PC=4 ,求 AE 的長.4. (2019湖北十堰中考第22題8分)如圖， ABC中，AB = AC,以AC為直徑的。O交BC于點D,點E為C延長線上一點，且/CDE= ZBAC.2(1)求證：DE是。的切線;(2)若 AB = 3BD, CE= 2,求。的半徑.5.在。O中，AB為直徑，C為。上一點.(1)如圖，過點 C作。的切線，與 AB的延長線相交于點 P,若/CAB=27 ,求出的大小;P,若/CAB

3、(2)如圖，D為AC上一點，且OD經過AC的中點E,連接DC并延長，與AB的延長線相交于點=10D圖圖6.(2019鄂州中考 第22題10分)如圖，PA是。O的切線，切點為 A, AC是。O的直徑，連接 OP交。于E.過A點作ABLPO于點D,交。于B,連接BC, PB.(1)求證：PB是。的切線;(2)求證：E為RAB的內心; 一 10(3)若 cos ZPAB=- 10BC =1 ,求PO的長.7.如圖，4PQR是OO的內接正三角形，四邊形 ABCD是。O的內接正方形，BC/QR ,求/ DOR的度數。8. (2019遂寧中考 第24題10分)如圖， ABC內接于。O,直徑AD交BC于點E

4、,延長 AD至點F,使DF= 2OD,連接FC并延長交過點 A的切線于點 G,且滿足 AG/BC,連接OC,若cos ZBAC = -, BC=6.(1)求證：/ COD = /BAC;(2)求。O的半徑OC;(3)求證：CF是。的切線.9 .如圖，以 ABC的邊 AB為直徑畫。O,交AC于點D,半徑 OE/BD,連接 BE, DE, BD,設BE交AC于點 F,若/DEB=/DBC.(1)求證：BC是。的切線；(2)若BF= BC=2,求圖中陰影部分的面積.10 .如圖，已知 ABC是等邊三角形，以 AB為直徑作。，交BC邊于點D,交AC邊于點F,作DEXAC于點E.(1)求證：DE是。的切

5、線；(2)若4ABC的邊長為4,求EF的長度.參考答案1. （2019綿陽中考 第23題）如圖，AB是。O的直徑，點 C為冊的中點，CF為。O的弦，且 CF，AB,垂足為E,連接BD交CF于點G,連接CD, AD, BF.(1)求證：BFGzCDG;(2)若 AD=BE=2 ,求 BF 的長.【解析】 證明：（1） ;。是bL的中點，=SL, AB是。O的直徑，且 CF，AB,疔=lCDG lFGB=lDGC BF=CD. ZBFGzCDG (AAS);(2)如圖，過 C作CHAD于H,連接AC、BC,=，/HAC=/BAC, . CEAB, . CH = CE, AC= AC,RtMHCRt

6、MEC (HL) ,，AE=AH, CH=CE, CD=CB, . RtCDH RtZCBE (HL), .DH=BE=2, .AE=AH=2+2=4 , .AB=4+2=6 ,AB 是。O 的直徑，. / ACB=90 ,BC BL. . CB=/BEC=90 , . EBC= ZABC, 旭ECs/BCA, 7g 股,. BC2 = AB?BE=6 X2=12 , . BF=BC=22. (2019黔東南州中考 第22題12分)如圖，點P在。0外，PC是。O的切線，C為切點，直線PO與。相交與點A、B,(1)若/A=30 ,求證：PA=3PB ;1 一 一、(2)小明發(fā)現(xiàn)，/ A在一定范圍

7、內變化時，始終有 /BCP=萬(90口-/P)成立，請你寫出推理過程【解析】(1)證明：PC是。的切線，所以，/ PCB=ZA = 30 ,由AB是圓O的直徑，得：/ ABC = 60 ,所以，/ BCP=ZBPC=30 ,所以，PB=BC,又 BC= - AB, 2所以,PB=OB=OA,即 PA= 3PB(2) PC是。O的切線，所以，/ PCB=ZA,MCP 中，/A+ /P+ ZACB+ ZPCB= 180 ,所以,2/PCB=180 -90 -zP,1所以， BCP =3 (90 - P)3. (2019貴港中考 第23題)如圖，在矩形 ABCD中，以BC邊為直徑作半圓 O, OEL

8、OA交CD邊于點E,對角線AC與半圓O的另一個交點為 P,連接AE.(1)求證：AE是半圓O的切線；(2)若 PA=2 , PC=4 ,求 AE 的長.【解析】(1)證明：二.在矩形 ABCD中，ZABO=ZOCE=90,.OEXOA, .ZAOE=90 ,，BAO + ZAOB = ZAOB +/COE=90 ,靛 AOAS _ AO. ZBAO = /COE, . MBOsZOCE, m=0E, OB=OC, . OE 呢,. &BO = /AOE=90, .ABOs加OE, .ZBAO=ZOAE,過 O 作 OFAE 于 F, .ZABO= ZAFO=90,2BAO= lFAO二 UF。

9、在AABO 與AAFO 中，UO = AO,.ABO0 公FO (AAS) ,，OF=OB,，AE 是半圓 O 的切線；(2)解：AF是OO的切線，AC是。O的割線，. AF2=AP?AC, . AF=依2 + 4)=2.，AB= AF=2? .AC=6,.bc=2，ao = V/1B2+OBz=3 , abosaoe,2S3 2招色.跳 10, .= 3 , .-.AE= 2 .4. (2019湖北十堰中考 第22題8分)如圖， ABC中，AB = AC,以AC為直徑的。O交BC于點D,點E為C延長線上一點，且/ CDE=/BAC. 2(1)求證：DE是。O的切線；(2)若 AB = 3BD

10、, CE= 2,求。O 的半徑.【解答】 解：(1)如圖，連接 OD, AD, AC是直徑，/ADC=90 ,. ADXBC, AB=AC, /CAD =/BAD =L/BAC, /CDE = 1/BAC.22. &DE = /CAD, .OA=OD, . ZCAD = ZADO , . DO+/ODC = 90 ,.zODC+ ZCDE=90 .ODE = 90 又OD 是。O 的半徑一. DE 是。O 的切線;(2)解：. AB= AC, ADXBC, . BD=CD, AB=3BD, . AC=3DC,設 DC = x,則 AC=3x, AD= JacZ_DC=2&x, . /CDE=/

11、CAD, /DEC=/AED,. 蜀DEsRAE,號及DE AEDE Bn 2 x DE 汽匚,房FT，即 c 廠 DE= 4y 2,AE DE3K+2x=AC = 3x = 14 ,.二。的半徑為 7.在。O中，AB為直徑，C為。O上一點.(1)如圖，過點 C作。O的切線，與 AB的延長線相交于點 P,若/CAB=27 ,求出的大?。?2)如圖，D為AC上一點，且OD經過AC的中點E,連接DC并延長，與AB的延長線相交于點 P,若/CAB 10 ,求zP的大小.圖圖22.解：（1）連接 OC, 二。與 PC 相切于點 C, .OCX PC,即/OCP = 90. （2 分）, OA =ZCA

12、B= 27 ,COB = 2/CAB =54 .在 RtHOP 中，ZP+ZCOP = 90 , . P= 90 OP =（2） 為 AC 的中點，. ODAC,即/AEO=90. （6 分）在 Rt加OE 中，由/EAO=101-ZEAO=80 , .-.ACD=-ZAOD=40 . （8 分）. ZACD 是AACP 的一個外角，. / P=/ACD=30 二（10 分）A, AC是。O的直徑，連接6.(2019鄂州中考 第22題10分)如圖，PA是。O的切線，切點為= OC,，/OCA =36 ;（5 分）,得zAOE=90-ZA=40 T0 OP交。O于E.過A點作ABLPO于點D,交

13、。O于B,連接BC, PB.(1)求證：PB是。O的切線；(2)求證：E為RAB的內心；(3)若 cos ZPAB=皿 , BC =1 ,求 PO 的長.【解析】(1)證明：連結OB.AC為。O的直徑 ./ABC =90y.ABXPO10. PO /BC.zAOP =ZC, /POB = /OBC而 OB = OC.,.QBC = /C ，OP = /POB在那OP和ABOP中(0A=0B ZAOP=ZPOBI P0= pozAOP zBOPQBP = ZOAP. PA 為。O 的切線 . .ZOAP =90 0，/OBP = 90o. PB是。O的切線3 8.如圖，4PQR是。O的內接正三角

14、形，四邊形 ABCD是OO的內接正方形，BC/QR,求/ DOR的度數?！究键c】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質；正方形的性質.【分析】根據等邊三角形和正方形的性質，求得中心角/POR和/POD ,二者的差就是所求.【解答】解：連結OD ,如圖，. ZPQR是。O的內接正三角形，.PQ=PR=QR ,ZPOR= 4X360 =120 ,四邊形ABCD是。O的內接正方形，OD=90 ,ZDOP= X90 =45 2OQ= ZPOR /DOP=75【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的半.也考查了垂徑定理.8. (2019遂寧中考

15、 第24題10分)如圖， ABC內接于。O,直徑AD交BC于點E,延長 AD至點F,使DF = 2OD,連接FC并延長交過點 A的切線于點 G,且滿足 AG/BC,連接OC,若cos ZBAC = -, BC=6.(1)求證：/ COD = /BAC;(2)求。O的半徑OC;(3)求證：CF是。O的切線.G【解答】 解：（1） . AG是。O的切線，AD是。O的直徑，.zGAF = 90 , AG/BC, . AElBC, CE= BE, . ZBAC = 2ZEAC,. zCOE=2ZCAE, . dCOD = ZBAC;（2） . /COD = /BAC,，cos/BAC = cos/CO

16、E=叟 = g, . .設 OE=x, OC = 3x,OC 3BC=6, .-.CE=3, CEXAD,.OE2+CE2=OC2, .x2+32=9x2,9，x=w （負值舍去）， o. OC= 3x= ,8.-.OO的半徑OC為空;8(3) DF=2OD, OF=3OD = 3OC,M工一 、OC OF 3. zCOE= ZFOC,. ZCOEs/FOE, .zOCF = ZDEC=90 .CF是。O的切線.9.如圖，以 ABC的邊AB為直徑畫。O,交AC于點D,半徑OE/BD,連接BE, DE, BD,設BE交AC 于點 F,若/DEB=/DBC.(1)求證：BC是。O的切線；(2)若B

17、F= BC=2,求圖中陰影部分的面積.【解析】(1)證明：: AB是。O的直徑， .zADB = 90 , A+ZABD =90 .X/ZA=ZDEB,ZDEB = ZDBC, . ZA=ZDBC, .zDBC + ZABD = 90 ,即zABC=90 .BC是。O的切線；(2)解: BF=BC= 2 且/ADB=901 /08口 = /尸8口.又 0/8口，/FBD = /OEB. OE=OB, . ZOEB=ZOBE, . ZCBD = ZOEB= ZOBE = -ZABC =1X90 =30 , .A=30 , AC=2CB = 4, 由勾股定理求得 AB = aC2- BC2 = 23, 3 .OO的半徑為 族 連接OD,兀3y3，陰影部分面積為S扇形OBDS/qbD= 一一匚. 2410 .如圖，已知4ABC是等邊三角形， 以AB為直徑作。O,交BC邊于點D ,交AC邊于點F,作DEXAC于點E.(1)求證：DE是。的切線；(2)若4ABC的邊長為4,求EF的長度.5C【考點】切線的判定；等邊三角形的性質.【分析】(1)連接OD,根據等邊三角形的性質求出/ ODE=90。，根據切線的判定定理證明即可；(2)連接AD, BF,根據等邊三角形的性質求出DC、CF,根據直角三角形的性質求出EC,結合圖形計算即可.【解析】(1 )證明：如圖1