八年級秋季班-第18講：直角三角形的判定、性質(zhì)和推論-教師版

1、八年級秋季班昂立教肓oniy EDUcRTion八年級上學(xué)期秋季班最新 講義直角三角形的全等判定及性質(zhì)內(nèi)容分析直角三角形是特殊的三角形，本節(jié)主要討論直角三角形全等的判定定理和性 質(zhì)，難點(diǎn)是直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用.綜合性較強(qiáng)，會(huì)牽涉到輔助線的添加，連 接中線，將散落的條件集中到直角三角形中進(jìn)行求解. 知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)精講1、直角三角形全等的判定方法：(1) 直角三角形是特殊的三角形，對于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都 適用；(2) 直角三角形還有一個(gè)特殊的判定方法：有一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡記“ H. L”).11 / 31ABCBAD,并在括號內(nèi)寫出判【難度】【答案

2、】【解析】【總結(jié)】【例3】【例1】 如圖，/ D=/C=90°,請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得定的依據(jù).(1) AD=();(2) Z DAB=().【難度】【答案】BC , H.L； CBA, A.A.S.【解析】(1)有一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;(2)兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.【總結(jié)】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理.【例2】 已知：如圖，EFXAD , BCXAD, AG=DH , AF=DC,那么圖中全等的三角形共有對.兩條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等;斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;斜邊相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等.C.

3、1D. 0A. 3B. 2【難度】【答案】B【解析】錯(cuò)誤；、正確.【總結(jié)】考查直角三角形全等的判定定理.【例 4】 已知：如圖，ACXBC, ADBD, AD=BC, CEXAB, DF ±AB,垂足分別是 E、F,求證：CE=DF.【難度】【答案】見解析.【解析】QACXBC, ADXBD,ACB BDA 90在 RTVACB 和 RTVBDA 中,AB BABC ADRTVACB 且 RTVBDA ( H.L )CAB DBA （全等三角形對應(yīng)角相等），AC BD（全等三角形對應(yīng)邊相等）QCEXAB, DF ±AB AEC BFD 90在 RTVAEC 和 RTVBFD

4、 中AEC BFDCAB DBA, RTVAEC 且 RTVBFD (A.AS)AC BDCE DF （全等三角形對應(yīng)邊相等）【總結(jié)】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理的綜合應(yīng)用.【例5】 如圖，已知：RtABC中，/ ACB是直角，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC,過D作AB的垂線交AC于E,求證：CDXBE.90【難度】【答案】見解析.【解析】Q ACB 90 , DE AB , ECB EDB在 RTVBEC 和 RTVBED 中，BE BE ，、, RTVBEC 且 RTVBED (H.L)BC BDEC ED （全等三角形對應(yīng)邊相等）E在CD的垂直平分線上（垂直平分線逆定理）又QB

5、C BD （已知），B也在CD的垂直平分線上（垂直平分線逆定理）BE垂直平分CD （兩點(diǎn)確定一條直線），即 CDXBE.【總結(jié)】考查直角三角形斜邊直角邊判定的用法以及垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用.【例 6】 如圖，4ABC 中，ABBC, AD 平分/ BAC, DF，AC, ED=CD .求證：AC =AE+2BE.【難度】【答案】見解析.【解析】QAD平分/ BAC,且ABBC, DF XACBD FD (角平分線性質(zhì)定理)在 RTVBED 和 RTVFCD 中，ED CD, RTVBED 且 RTVFCD ( H .L )BD FDBE FC (全等三角形對應(yīng)邊相等)同理可證： R

6、TVABD RTVAFD (H.L),AB AF (全等三角形對應(yīng)邊相等)Q AC AF FC , AB AE BE ,AC AE 2BE .【總結(jié)】本題主要考查直角三角形全等判定與角平分線性質(zhì)的綜合應(yīng)用.AE=CF ,過 E、 F 分另1J作 DEL AC, BF ±【例7】 如圖1,點(diǎn)A、E、F、C在一條直線上，AC.若 AB=CD,(1) BD與EF有什么關(guān)系？為什么？(2)若變?yōu)閳D2所示位置，結(jié)論是否仍然成立【難度】【答案】(1) BD與EF互相平分；(2)成立.D【解析】(1)提示：證 RTVABF RTVCDE ( RTVDEG 且 RTVBFG ( AAS) 得：EG

7、FG , DG BG (全等三角形對應(yīng)邊相等) (2)同理可證，結(jié)論成立.【總結(jié)】考查直角三角形全等的判定及全等三角形A的判定定理的應(yīng)用.【例8】 在直角 ABC中，AB=AC, / BAC=90° ,直線l為經(jīng)過點(diǎn) A的任一直線，BDL 于點(diǎn)D, CEJ 于點(diǎn)E,若BD>CE,試問：(1) AD與CE的大小關(guān)系如何 ？青說明理由;(2) 線段BD、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系如何 ？你能說明清楚嗎【難度】【答案】(1) AD CE； ( 2) BD CE DE .【解析】(1) Q BAC 90 , BAD CAE 90 ,QBD l , CE l , BDA AEC 90 ,D

8、BA BAD 90 , DBA EAC在 RTVABD 和 RTVCAE 中，BDA AECAB CA , RTVABD RTVCAE (A.S.A)DBA EACAD CE (全等三角形對應(yīng)邊相等)(3) BD CE DEQ AD CE,又 QAE AD DE ,AE CE DEQ RTVABD RTVCAE ,BD AEBD CE DE .【總結(jié)】考查全等三角形的應(yīng)用及線段間的等量代換.【例9】 如圖，在4ABC中，AB=AC, DE是過點(diǎn) A的直線，BD，DE于D , CE，DE于E .(1) 若BC在DE的同側(cè)(如圖 1),且AD=CE,求證：AB± AC.(2) 若BC在D

9、E的兩側(cè)(如圖2),其他的條件不變， 問AB與AC仍垂直嗎？若是，【例10 如圖，在4ABC中，/ACB=90° , CD是斜邊 AB上的高，在AB上截取 AE=AC,過點(diǎn)E作EF / CD、交BC邊于點(diǎn)F, EG垂直BC于點(diǎn)G,求證：DE=EG .【難度】 【答案】見解析.【解析】聯(lián)結(jié)CEQAE=AC , ACE AECQ ACB 90 ,QCD AB,ACE ECG 90AEC ECD 90ECD ECG又Q CD AB, EG BCDE GE【總結(jié)】考查等邊對等角及角平分線性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.模塊二：直角三角形的性質(zhì)I知識(shí)精講2、兩個(gè)性質(zhì)：(1) 直角三角形的兩個(gè)銳角互余；(2

10、) 在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半.如果有直角三角形，作斜邊的 中線這條輔助線，可達(dá)到解決問題的目的.例題解析【例11 如圖，在 ABC中，/ACB=90°, CD，AB于D:(1)若/ B=55° ,貝U/ A=;(2)若/ B /A=10° ,則/ B=;(3)圖中與/ A互余的角有 ,與/ A相等的角有 【難度】VABC、 VACD、 VBCD.【答案】(1) 35 ； (2) 50 ； (3) B、 ACD； BCD .【解析】直角三角形的兩個(gè)銳角互余，題目中有三個(gè)直角三角形【總結(jié)】直角三角形性質(zhì) 1:直角三角形的兩個(gè)銳角互余的運(yùn)用.【例12如圖

11、，已知，四邊形ABCD 中，/ ABC=ZADC=90° , M、N 分別是 AC、BD 中點(diǎn).求證：MNLBD.【難度】【答案】見解析.【解析】聯(lián)結(jié)MD、MB .Q ABC ADC 90 , M分別是AC中點(diǎn)1 1BM AC, DM -AC (直角二角形斜邊上中線等于斜邊的一半)2 2BM DM, QN是BD中點(diǎn)， MN BD (等腰三角形三線合一) 【總結(jié)】考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)及等腰三角形三線合一性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例13】如圖，在 RtAABC中，/ C=90°, AB的中垂線交 AB于E、AC 于 D, BD、CE交于F,設(shè)/ A=y, / DFC=x,(1)求

12、證：/ CDB = /CEB;(2)用x的代數(shù)式表示y-【答案】（1）略；（2） y60【解析】（1） QAE BEC 901-AB、2AB的中垂線交AB于ECE1AB 2（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）AE CE ,ACE,CEB 2 A.又Q AB的中垂線交AB 于 E,AD DB （垂直平分線的性質(zhì)）A ABD ,(2) Q A y,CDB 2DFC x又Q CDB AABDCDBACE CDBDFC即 x 3y 180 ,y 60180 .1 x3CDB CEBACE2y ，【總結(jié)】主要考查：直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例14】 如圖 ABC中，AD是BC邊上的高,中點(diǎn)

13、.求證：（1） DP FC ； （2） B【難度】【答案】略【解析】（1）聯(lián)結(jié)DFACE y線段垂直平分線的性質(zhì)、CF是AB邊的中線，BF三角形內(nèi)角和性Q AD是BC邊上的高，CF是AB邊的中線,DC , P 是 CFBFBFDF .DF是直角VABD斜邊上的中線,DF1 -AB2QBF DCDCDFP是CF中點(diǎn),DP CF .Q BFBDF,Q DF DCBCF DFC .Q BDFBCFDFC【總結(jié)】考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握直角三角形中， 斜邊中線等于斜邊一半的定理應(yīng)用.八年級秋季班1/【例15如圖，AB,BC的中點(diǎn)，求證：【難度】【答案】略【解析】聯(lián)結(jié)BE , CFQ BD

14、BO, CABE DO , CFQM是BC的中點(diǎn)1 c EM -BC , Fl2EM MF【總結(jié)】本題主要考查直CD交十點(diǎn) O,且 BD=BO , CA=CO, E、F、M 分別是 OD、OA、 B ME MF .爪”； AOCCA11-BC (直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)2角三角形的性質(zhì)與等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例16 如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，若/ B與/C互余,則MN與(BC AD)的關(guān)系是什么？【答案】MN【解析】過點(diǎn)M 分別作 ME / /AB , MF / /DC ,交BC于點(diǎn)E、FB MEF , C MFE , Q/B與/

15、C 互余,MEFMFEEMF 90 ,即VMEF為直角三角形.Q 在梯形 ABCD 中，AD/BC, ME / /AB ,MF/DCAM BE , DMQ M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),AMDM , BNCNBCAD BCBE CF EF , ENFNMN1-EF ， 21-MN BC AD2【總結(jié)】考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)的應(yīng)用.17/31【例17 如圖，已知在鈍角ABC中，AC、BC邊上的高分別是 BE、AD, BE、AD的延長線交于點(diǎn)H,點(diǎn)F、G分別是BH、AC的中點(diǎn).(1)求證：/ FDG =90 ° ;（2）連結(jié)FG,試問 FDG能否為等腰直角三角形 ？若能，試確定ABC

16、的度數(shù)，并寫出你的推理過程；若不能，請簡要說明理由.【答案】見解析.【解析】（1）證明：QAC、BC邊上的高分別是 BE、AD,又Q點(diǎn)F、G分別是BH、AC的中點(diǎn),DG CGDF1BF -BH （斜邊中線等于斜邊的一半）2GDCGCDDBF BDFCDBDBF90E FGDCBDFBCE又Q AEBH , BCEGDCBDFFDG90(2)能,ABC若VGDF為直角等腰三角形，則 GDAC BH ,ABC 45 .VACDVBHD (A.AS), AD BD ,【總結(jié)】主要考查對直角三角形性質(zhì)的掌握，以及能否靈活的運(yùn)用.【例18】 如圖，等腰直角三角形 ABC中，/ ACB = 90°

17、;, AD為腰CB上的中線，CEXAD交 AB 于 E.求證：/ CDA = /EDB.【難度】【答案】見解析.【解析】過點(diǎn)C作CH AB于點(diǎn)H ,交AD于點(diǎn)F .Q等腰直角三角形 ABC中，ACB= 90 ,B 45 .QCH AB, ACH BCH 45 ,ACF BCH B 又 QCE AD,12.在VACF和VCBE中，ACF BAC CB , 12VACF VCBE (A.SA),CF BE.Q AD為腰CB上的中線，CD BD.在VCFD和VBED中，CF BE DCF B , CD BDVCFD VBED ( S.AS )CDF BDE, 即 CDA= EDB .【總結(jié)】考查學(xué)生

18、對輔助線的添加及全等三角形的構(gòu)造能力.八年級秋季班【例19 如圖，點(diǎn) A、B、C在同一直線上，在直線 AC的同側(cè)作 ABE和 BCF ,連接AF、CE,取 AF、CE 的中點(diǎn) M、N,連接 MB、NB、NM.(1)若 ABE和 FBC是等腰直角三角形，且/ ABE=/FBC=90° ,如圖1所示,則 MBN是三角形;(2)若 4ABE 和 4FBC 中，BA=BE, BC=BF,且 / ABE=/FBC=,如圖 2 所示,則 MBN是三角形，且/ MBN =(3)中的結(jié)論是否成立 *成立,給出你的證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明.1）等腰直角；（2）等腰,（3）結(jié)論仍然成立.

19、【解析】（1）易證VABF色VEBC ,AFBM BN , . VAMB0 VENB ,MBA NBEQ MBA MBF 90 , MBFNBE 90即 MBN 90 , VMBN為等腰直角三角形FEMNB（2）根據(jù)題意，可知 VABF 9 VEBC ,BMBN即VMBN為等腰三角形,Q ABMEBNABE MBNMBN(3) VABF 且 VEBC,AF CE ,AFBECBFM CN ,VMFB 省VNCBBM BN , MBF NBCMBN MBF FBN FBNNBCFBC【總結(jié)】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定.掌握等腰三角形和全等三角形的性若（2）中的 ABE

20、繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖3,其他的條件不變那么 （2）27 / 31質(zhì)及判定并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.【例20 已知，如圖，在 AABC中，邊AB上的高CF、邊BC上的高AD與邊CA上的高BE交于點(diǎn)H,連接EF, AH和BC的中點(diǎn)為 N、M.求證：MN是線段EF的中垂線.【難度】【答案】見解析.【解析】連接 FM、EM、FN、ENBFC 90 , M 為 BC 的中點(diǎn)，F(xiàn)M 1BC 2BEC 90 , M 為 BC 的中點(diǎn)，1. EM -BC , FM ME21AFH 90 , N 為 AH 的中點(diǎn)，F(xiàn)N 1AH 21 AEH 90 , N 為 AH 的中點(diǎn)，EN 1AH , 2FN EN

21、 , FM ME , FN ENMN是線段EF的中垂線.【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)定理逆定理的綜合運(yùn)用.模塊三：直角三角形性質(zhì)的推論知識(shí)精講3、推論:(1) 在直角三角形中,30°所對的直角邊等于斜 邊的一半;(2) 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于301 (1) 例題解析【例 22】 ABC 中，AB=AC=6, / B=30° ,貝U BC 邊上的高 AD=;(2) ABC 中，AB=AC, AB 上的高 CD = 1AB,則頂角/ BAC=2【難度】【答案】(1)3; (2) 30或150 .1【解析】(

22、1)在RTVABD中， B 30 ,則AD 1AB 3;2(2)要分兩種情況考慮， ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形；當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，BAC 30 ；當(dāng) ABC是鈍角三角形時(shí)，BAC 150 .【總結(jié)】考查直角三角形性質(zhì)的兩條推論的運(yùn)用以及分類討論思想.【例23 如圖，在矩形 ABCD中，AB=2BC,在CD上取一點(diǎn)度數(shù)為.【難度】【答案】15 .【解析】過點(diǎn)E作EH AB,垂足為H ,則EH BC .又 QAB 2BC , AE AB ,E,使 AE=AB,貝U/ EBC 的AE 2EH , EAB 30ABE 75 ,EBC 15【總結(jié)】考查直角三角形性質(zhì)的推論的運(yùn)用：

23、在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的半，那么這條直角邊所對的銳角等于30【例24 已知：如圖，在 ABC中，BA=BC, /B=120° , AB的垂直平分線 MN交AC于1D,求證：AD -DC .2【難度】【答案】見解析.【解析】連接BD BA=BC, / B=120° , A C 30.AB的垂直平分線 MN交AC于D, AD DB ,A DBA 30 / B=120° , D DBC 120 3090_ _1 jC 30 , DBC 90 , BD 1DC21. AD DB , AD 1DC2【總結(jié)】考察線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

24、【例 25】 已知：如圖， RtABC 和 RtABD 中，DA=DB, Z ADB=90° , BC= - AB, 2EDC的大小./ACB=90° , DE LAB,聯(lián)結(jié) DC,求/【難度】【答案】75° .【解析】連接CE DA=DB, DEXAB,. AE EB _ 1- RtAABC, BC = -AB, /. CAB 302 RtAABC, AE EB ,，AE CECAB ACE , CEB CAB ACE 60. DEXAB,DEC 90 60 30. RtABC 和 RtABD, AE EB1 -1 DE 1AB CE 1ABDE CE2 218

25、030DEC 30 , EDC 752【總結(jié)】考察線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例26】已知如圖，在直角 ABC中，/ACB=90° , / A=30° , D為AB上一點(diǎn),且 BD =1AB,求證：CD LAB. 4【難度】【答案】見解析【解析】取AB的中點(diǎn)E,連接CE 1.1.BE AB BD = AB, 2'4 2BD BE , ED DB . /ACB=90° , / A=30° , BC 1AB21 ./ACB=90 , AE EB, ,CE 1AB , . BC CE 2 BC CE , ED D

26、B ,，CD ± AB .【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用及等腰三角形三線合一性質(zhì)的運(yùn)用.【例27】 已知等邊 ABC中，D、E分別是 BC、AC上的點(diǎn)，且 AE=CD, AD與BE相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BGXAD,垂足為 G,(1)求FG : BF的值;(2)若D、E分別在BC、CA的延長線上，其他條件都不變，上述結(jié)論是否仍然成立,請說明理由.【難度】【答案】(1) 1: 2; (2)見解析.【解析】(1) ACD BAE, AE=CD, AB=CA, AABEACAD , . . CAD ABE CAD BAF 60 , ABE BAF 60 BFG 60 , FBG 301 B

27、GXAD, FG 1BF2，即 FG : BF= 1 : 2;(2)若D、E分別在BC、CA的延長線上，其他條件都不變，也可以用同樣的方法證明出兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而得到結(jié)論.【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用及利用三角形的外角性質(zhì)求角的度數(shù).【例28】（1）如果在 ABC 中，已知 /A=60°, BEXACT E, CF，AB于F,點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn).AB=AC ,求證 ADEF為等邊三角形；（2）如果ABAC,試猜想DEF是不是等邊三角形，若是，請加以證明，若不是，請說明理由;(3)如果 CM =4 , FM =5,求BE的長度.【答案】（1）見解析；（2）是，理由見解析；（

28、3） 12.【解析】（1）BELAC,點(diǎn)D 是 BC 中點(diǎn)，DE DC.CFXAB,1點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn)，. DF BF 1BC2 DEDF / A=60°,AB=AC,.ABC是等邊三角形，ABCACB DE DC60 ,.DEC是等邊三角形，EDC DF DB60 ,， BFD是等邊三角形，F(xiàn)DBFDE 180 606060606060 DE DF ,， DEF為等邊三角形(2) BEAC,點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn)， DE.CFXAB,占八、D是BC中點(diǎn)，DF BF1 -BC , DE 2DF / A=60°,ABCACB 120 , DE DCDECACB DF D

29、BDFBFDE 180FDBEDC180180ABC 1802ACB2 ABCACB 18060 DE DF ,， DEF為等邊三角形(3) . /A=60°, BEAC 于 E, CFXAB,FBM ECM 301 12 FM -BM , EM -CM 22. CM =4, FM =5 , EM 2, BM 10,3 BE BM ME 10 2 12【總結(jié)】考察直角三角形性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例29】 已知/ MAN , AC平分/ MAN ,(1)在圖 1 中，若/ MAN=120° , Z ABC=Z ADC=90° ,求證：AB+AD=AC.(

30、2)在圖2中，若 / MAN =120° , / ABC + / ADC =180° ,則(1)中的結(jié)論是否請說明理由.M仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，【答案】見解析CAD CAB 60【解析】(1)/ MAN=120°, AC 平分/ MAN ,. Z ABC=ZADC=90° ,，乙 ACD = Z ACB=30° , A11 .AB AC, AD -AC 22 AB AD IaC 1 AC AC; 22(2)過C作CEAM,過C作CFAN,垂足分別為 E、F. AC 平分/ MAN, CEXAM, CF± AN, CE

31、 CF . Z ABC + Z ADC =180° , / MDC + / ADC =180° ,/ EDC = / ABC/ EDC = / ABC , CE CF , CED CFB ACEDACBF , . . ED BF AD AB AE DE AF BF AE AF . / MAN=120° , AC 平分/ MAN , CAD CAB 60 . / ABC=ZADC=90° , ./ ACE=ZACF=30° ,1 -1AE AC , AF AC 2211 AB AD 1 AC 1 AC AC22【總結(jié)】考察角平分線的性質(zhì)和直角三角

32、形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.超）隨堂檢測1【練習(xí)1】下列條件不可以判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）.A、兩條直角邊對應(yīng)相等B、斜邊一個(gè)銳角對應(yīng)相等C、一條直角邊和一條斜邊對應(yīng)相等D、一條邊和一個(gè)角對應(yīng)相等【難度】【答案】D【解析】A的理由是SAS； B的理由是AAS , C的理由是H.L【總結(jié)】考察直角三角形全等的判定.【難度】【答案】45°【解析】DCE 180 CDE CED180B 180 A18022A B .45 .2【總結(jié)】本題主要考查等邊對等角及三角形內(nèi)角和定【練習(xí)3】 如圖在祥BC中，/ ACB=90° , CD【難度】【答案】3 .4【解析】: A ACD 90 ,

33、 BCD ACD BCD A 30 _1 _ ACB 90 , / A=30 ,BC 1AB2 _1BDC 90 , BCD 30 , BD 一2【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.JCB理的綜合運(yùn)用.LAB 于點(diǎn) D, /A=30° ,則 AD =AB90 z4bA“rr 1 3BC , . BD AB , . AD AB 44【練習(xí)2】 如圖在4ABC中，/ ACB=90°,在 AB上截取AE=AC, BD=BC,則 / DCE =.八年級秋季班【練習(xí)4】 如圖，在直角 ABC在，/ACB=90° , AB=8cm, D為AB的中點(diǎn)，DEAC于E, / A=3

34、0° ,求 BC、CD 和 DE 的長.2【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.【練習(xí)5】如圖，4ABC中，ADXBC于點(diǎn)D, BELAC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)H ,且AD=BD ,AC=BH ,連接 CH ,求證：Z ABC= / BCH .【難度】【答案】見解析【解析】: BDH ADC 90°, AC=BH, AD BD BHDMCD, DH DC.ADXBC,CHD BCH 45AD BD , AD BC, ABC BAD 45 , ./ ABC=/BCH .【總結(jié)】考察直角三角形全等的判定和性質(zhì)的運(yùn)用.【練習(xí)6】如圖，已知，在銳角三角形ABC 中，/ ABC=2/C,

35、ADBC 于點(diǎn) D, E 為 AC的中點(diǎn)，ED的延長線交 AB的延長線于點(diǎn)F,求證:【難度】【答案】見解析.【解析】: ADXBC, E為AC的中點(diǎn)，1 -DE EC -AC , C EDC 2. EDC BDF , C BDFBF=BD. /ABC=2/C, ABC 2 BDFABC BDF F ,BDF F , BF=BD.【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【練習(xí)7】 如圖，在 ABC中，BELAC于點(diǎn)E, CFXAB于點(diǎn)F, D是邊BC的中點(diǎn)，連接八年級秋季班DF、 EF、 DE.(1)求證：ED=DF;(2)若4DEF是等邊三角形，則 AABC應(yīng)滿足什么條件？【難

36、度】 【答案】見解析.【解析】（1）BELAC,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),1 DE DC 1 BC2. CFAB,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),1 - DF BD - BC 2 DE DF ;(2) A 60時(shí)， DEF是等邊三角形. . BELAC,點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn)，DE DC 1 BC 2.CFAB,點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，1 DF BF - BC , DE DF2/ A=60 , ABC ACB 120 ,. DE DC ,DEC ACB. DF DB, DFBFDE 180 FDB EDC1801802 ABC 1802 ACB2 ABC ACB 18060. DE DF , . DEF為等邊三角形【總結(jié)】考察

37、直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形判定的綜合運(yùn)用.【練習(xí) 8】 如圖，AD/ BC,且 BDCD, BD = CD, AC = BC .求證：AB = BO.【難度】 【答案】見解析.【解析】過 A作AELBC垂足為E,過D作DFLBC,垂足為F_ , _ _ _ _ ，_ 1 -. BDXCD, BD = CD, DFXBC,. DF -BC2B AEXBC, DF± BC, AD/BC,四邊形 AEFD是長方形，AE DF1 _ _1 DF BC , AE DF , AC = BC 21 -一2 AE -AC,ACB 302. AC = BC , BAO ABC 753 BDXCD,

38、BD = CD,DBC 45 ,， ABD 30BAO 75 , AOB 75BAO AOB，.二 AB = BO【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.【練習(xí)9】 已知：如圖在 ABC中，AD是BC邊上的高，CE是AB上的中線，DC=BE,DGXCE,垂足為點(diǎn)G.求證：/ AEC=3/DCE.【難度】【答案】見解析【解析】聯(lián)結(jié)ED4 AD是BC邊上的高，CE是AB上的中線,15 . ED BE -AB2.DC=BE, DE DC,， DCE DEC6 EDB DCE DEC 2 DCE. BE ED , B EDB , . . B 2 DCEAEC B DCE 3 DCE【總結(jié)】

39、考察直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用.【練習(xí)10 如圖，在等邊三角形 ABC中，D、E分別是BC、AC上的一點(diǎn)，且 AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F, CFXBE.求AF : BF的值.【難度】【答案】1:2.【解析】過B作BKXAD的垂線，垂足為 KAB AC , BAE ACD , AE=CD ,AABEACAD,DAC ABEBFD ABE BAF DAC BAF 60BFD 60 , BKXAD, L,.1 -FBK 30 , FK iBF 2BAK CBF , AKB BFC , AB BC7 AABKABCFAK BF ,即 AF FK BF18 AF 1BF BF 2

40、9 BF 2AF ,即 AF: BF= 1:2【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【練習(xí)11 如圖，在直角三角形 ABC中，/ BAC=90° , AB=AC,以AB為邊向外作等邊三角形 ABD, AELBD于點(diǎn)E, AE交CD于點(diǎn) M.(1)線段DM與線段BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明;(2)若 "BC于"BD在AB的同側(cè)，CD的延長線與 AE的延長線交于點(diǎn) M,請?jiān)趫D2 中畫出AABD與點(diǎn)M ;線段DM與BC仍有(1)中的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明.【難度】【答案】見解析.【解析】(1)二.直角三角形 ABC中，/ BAC=90°

41、, AB=AC,等邊三角形 ABD,10 CAD 150 , AC=AD1 . ADC 180 CAD 152 ADB 60 , CDB 45AEXBD,DME是等腰直角三角形 .DM . 2DE.等邊三角形 ABD, AELBD于點(diǎn)E12 . DE 1DB DM DB22.直角三角形 ABC 中，/ BAC=90° , AB=AC,BC . 2ABDB AB, 1 BC 72DBDM DB , BC 2DM 2(2)成立.理由同(1) 一樣.【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，一方面考察等腰直角三角形的性質(zhì) 及等邊三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，另一方面考查了勾股定理的 運(yùn)用，教師可以選擇性的講解.課后

42、作業(yè)【作業(yè)1】下列命題中，正確的有 （）個(gè)腰長及底邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等有一直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等A. 0B. 1C. 2D. 3【難度】【答案】C【解析】（1）（2）對，（3）錯(cuò)誤，滿足條件的三角形可以是銳角三角形也可以是鈍角三角形.【總結(jié)】考察三角形全等的判定方法.【作業(yè)2】（1）直角4ABC中，ZC= 90° , CD,AB,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，/ ACD=25° ,貝叱ECB =(2)直角 ABC 中，/ C=90° , CD LAB,點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)，/ DCE=10&#

43、176; ,則/ B=【答案】(1) 25° ; (2) 40° .【解析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的角度之間的關(guān)系可得到答案.【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì).B【作業(yè)3】如圖,ABC 中，AB AC, DB DC , DEAC, AC 2AD , AB 8 ,則 AD =, AE =.【難度】【答案】4; 2.【解析】AB AC , DB DC , . . AD BC1 AC 2AD , C 30 , AD -AC2 DE AC , ADE B 30 ,，AE1-AB 42【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【作業(yè)4】（1）等腰三角形底角

44、是 75。，腰長為9,則此三角形的面積是 (2)等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是【難度】【答案】(1) 81； ( 2) 30° 或 150° .4【解析】(1)二.等腰三角形底角是 75。，.頂角為30度，則腰上的高為 9,則三角形的面2積為1 9 9 81;224(2)注意分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況分類討論.【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì).注意等腰三角形分為銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形.【作業(yè) 5】已知：ABXBC, DCLBC,點(diǎn) E 在 BC 上，且 AE=AD, AB= BC,求證：CE= CD .【難度】【答案】見解析.【

45、解析】過D作DFLAB,垂足為F ABXBC, DCXBC, DF XAB, 四邊形BCDF是長方形，DF BC, BF CDAB BC, AB DF AB DF , AE=AD , AAFDAEBA,AF BE. AB BC , CE BF. BF CD, CE CD【總結(jié)】考察直角三角形全等的判定方法的運(yùn)用.【作業(yè)6】已知：如圖,ABC 中，/ B=40°, /C=20° , DAXCA,求證：CD= 2AB.41 / 31【難度】【答案】見解析【解析】取CD的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)AE DAXCA, CE ED-1 -AE CE 1CD2 C CAE 20 AEB C CAE

46、40B 40 , AEB B, AE11- AE -CD , AB -CD ,即 CD 22AB2AB【總結(jié)】考察等腰三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【作業(yè) 7】如圖，已知： ABC 中，AB=AC, /A=60° , BD=CD, BE/AC, DEXBE,求證：4BE=AC.【難度】【答案】見解析.【解析】連接AD AB=AC, Z A=60° ,.ABC是等邊三角形，BC=AC AB=AC, BD=CD,AD BC一11DAC BAC 30 , AD BC,DC -AC221 一. BD=CD, . BD -AC 2. BE/AC, DBE C 60, 1 _ DEXBE,BE -BD211- BD -AC , BE -AC , 24即 4BE=AC .【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【作業(yè)8】在等腰直角 ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，E、F分別在直線 AC、BC上,且AE=CF,聯(lián)結(jié)DE、DF、EF,試判斷 DEF的形狀，并加以證明.【難度】