人教版高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)：新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1】集合的含義與表示(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集， N 或N 表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.(3)集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是a M ,或者a M ,兩者必居其一.(4)集合的表示法自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合描述法：x| X具有的性質(zhì),其中X為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集

2、.不含有任何元素的集合叫做空集 ().【1.1.2】集合間的基本關(guān)系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集A B (或B A)A中的任一元素都屬于B(1)A A(2)A若AB且BC,則AC若AB且BA,則ABG)或真子集A B(或 B A)A B,且B中至 少有一元素不屬于 A(1)A (A為非空子集)若A B且B C,則A C集合 相等A BA中的任一元素都屬 于B ,B中的任一元素 都屬于A(1)A B(2)B A(A(B)(7)已知集合A有n(n 1)個元素，則它有2n個子集，它有2n 1個真子集，它有2n 1個非空子集，它有2n 2非空真子集【1.1.3】集合的基本運算

3、(8)交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集AI Bx|x A,且x B(1) AI A A(2) AI(3) AI B AAI B B(0)并集AUBx |x A,或x B(1) AU A A(2) AUA(3) AU B AAU B BQb)補集eu Ax|x U,且 x A1AI (A)2 A U(eU A) U版(AI B) (uA)U(%B) 版(AUB) (uA)I QB)【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕對值的不等式的解法不等式解集|x| a(a 0)x| a x a|x| a(a 0)x | x a 或 x a| ax b | c,| ax b |

4、 c(c 0)把ax b看成一個整體，化成|x| a,|x| a(a 0)型不等式來求解(2) 一元二次不等式的解法判別式,2b 4ac000二次函數(shù)2y ax bx c(a 0)的圖象/ fII .,J° /三 p0O一元二次方程2ax bx c 0(a 0)的根b，b2 4acx1,22a(其中x1 x2)bx1 x2_2a無實根2,c，c、axbx c 0(a 0)的解集x| x x1 或 x x2r ibix|x2aR2,-，一、ax bx c 0(a 0)的解集x| x1 x x2R 1.2 1函數(shù)及其表示121 函數(shù)的概念(1)函數(shù)的概念設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照

5、某種對應(yīng)法則f ,對于集合 A中任何一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A , B以及A到B的對應(yīng)法則 f )叫做集合 A到B的一個函數(shù)，記作f : A B .函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則.只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).(2)區(qū)間的概念及表示法設(shè)a, b是兩個實數(shù)，且a b,滿足a x b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a, b；滿足a x b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足a x b,或a x b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間， 分別記做a,b), (a,b；滿足x a, x a, x b, x b的實數(shù)

6、x的集合分別記做a,),(a,),(, b,(,b).注意：對于集合x |a x b與區(qū)間(a, b),前者a可以大于或等于b ,而后者必須a b.(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合.對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1. y tanx 中，x k (k Z).2零(負(fù))指數(shù)嘉的底數(shù)不能為零.若f (x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集

7、.對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知 f(x)的定義域為a,b,其復(fù)合函數(shù) fg(x)的定義域應(yīng)由不等式a g(x) b 解出.對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.(4)求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.配方法

8、：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.判別式法：若函數(shù) y f (x)可以化成一個系數(shù)含有 y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2 b(y)x c(y) 0,則在2a(y) 0時，由于x, y為頭數(shù)，故必須有b ( y) 4a(y) c(y) 0,從而確te函數(shù)的值域或取值.不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域

9、或最值.函數(shù)的單調(diào)性法.122 函數(shù)的表示法(5)函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法： 就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6)映射的概念設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f ,對于集合 A中任何一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合 A , B以及A到B的對應(yīng)法則f )叫做集合 A到B的映射，記作f : A B .給定一個集合 A到集合B的映射，且a A,b B .如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素 b叫做元

10、素a的象，元 素a叫做元素b的原象.R1.31函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值(1)函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的 單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值x1、先，當(dāng)x1< x2時，者B 有f(x 1)<f(x 2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在 某個區(qū)間圖yy=f(X) /Id攸) f1)_.oKxx象上升為增)(4)利用復(fù)合函數(shù)如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值xi、x2,當(dāng)xi< x?時，者B 有f(x i)&

11、gt;f(x 2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).y'f(x 1)y=f(X) »(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象下降為減)(4)利用復(fù)合函數(shù)oxix2x在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一 個增函數(shù)為減函數(shù).對于復(fù)合函數(shù) y fg(x),令u g(x),若yf(u)為增，u g(x)為增，則 y fg(x)為增；若 y f(u)(2)(3)為減，u為減，u打函數(shù)g(x)為減，則yg(x)為增,則yf (x)a(x (axfg(x)為增；若yfg(x)為減

12、.0)的圖象與性質(zhì)f (u)為增，u g(x)為減，則 y fg(x)為減；若 y f(u)f (x)分別在(最大(小)值定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)(2)存在xo Ija、ja,)上為增函數(shù),分別在ja,。)、(o,ja】上為減函數(shù).xOdJf (x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) M滿足：(1)對于任意的 x I ,都有,使得f(x。) M .那么，我們稱M是函數(shù)f (x)的最大- 8 -fmax(x)一般地,設(shè)函數(shù)y f(x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) m滿足：(1)對于任意的x I ,都有f(x) m;(2)存在xo使得f (xo) m .那么，我們稱 m是函數(shù)f(x)的最小值，記作fm

13、ax(x) m .【1.3.2 奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的 奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意'*個x都有f(一 x f.(x).,那么函數(shù)f(x)叫做奇酉 數(shù).¥-a1千)ZT .(1)利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于原點對稱)(-a. f C_a)© nh(1)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個x,都有f( -x)=f(x), 那么函數(shù)f(x)叫做伸手整.1(-S, f (-fl)3 千F(1)利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于y

14、軸對稱)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x 0處有定義，則f(0) 0 .奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù)) 是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).R補充知識1函數(shù)的圖象,兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性) 利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：化解函數(shù)解析式;畫出函數(shù)的圖象.要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、平移變換嘉函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.y f (x)h 0

15、,左移h個單位0,右移|h|個單位y f (xh) yf(x)k 0,上移k個單位f(,k 0,下移| k|個單位y f(x) k伸縮變換y f (x)1伸1,縮y f( x)y f (x)A 1,縮A 1,伸y Af (x)對稱變換(2)(3)f(x)f(x)f(x)f (x)原點f(x)f( x)去掉y?由左邊圖象 保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于保留x軸上方圖象將x軸下方圖象翻折上去識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、 性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.用圖f(x)f(x)y軸對稱圖象yI f (x) |上下分別范圍、變化趨勢、f(|x|)f( x)y f 1(x)對稱性等方面研究

16、函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了 “形” 具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工第一章基本初等函數(shù)(I )R2.1 1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)哥的運算(1)根式的概念如果 xn a, a R, x R, n1,且n N ，那么x叫做a的n次方根.當(dāng)n是奇數(shù)時，a的n次方根用符號nfa(2)表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號 霸 表示，負(fù)的沒有n次方根.式子n/a叫做根式，這里n叫做根指數(shù),根式的性質(zhì)：（na）n分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的概念n次方根用符號 na表示;0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a

17、a叫做被開方數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時,a ；當(dāng)n為奇數(shù)時，van a；當(dāng)n為偶數(shù)時，na | a |9(a 0)a (a 0)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的意義是:ma"nam(a 0,m, nN ,且n 1）. 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉等于 0.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的意義是:m m-I a n (-)n nj()m (a 0,m,n N ,且n 1). 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉沒有意 a a義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)D ar as ar s(a 0, r,s R)r、s rs ,(a ) a (a 0, r, s R)(ab)r arbr(a 0,

18、b 0, r R)【2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y ax（a 0且a 1）叫做指數(shù)函數(shù)圖象a 10 a 1yy 1xx tya/ /(0,1)x ' y ayi y(0,1)OxOx定義域R值域(0,)過定點圖象過定點（0,1）,即當(dāng)x 0時，y 1 .奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況ax 1 (x 0)xa 1 (x 0)ax 1 (x 0)ax1(x0)xa1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.R2.2 1對數(shù)函數(shù)221 對數(shù)與對數(shù)運算(1)對數(shù)的

19、定義若axN(a 0,且a 1),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x loga N ,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x loga Nax N(a 0,a 1,N 0).(2)幾個重要的對數(shù)恒等式loga1 0 , loga a 1, logaab b .(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：lg N ,即log10 N ；自然對數(shù)：ln N ,即loge N (其中e 2.71828).(4)對數(shù)的運算性質(zhì) 如果a 0,a 1,M0, N0 ,那么加法：loga M loga N loga(MN)減法：loga M log a N logaMN數(shù)乘：nloga

20、M logaM n(n R)alogaNN logabMn n logaM (b 0,n R)換底公式：loga N 10g b N (b 0,且 b 1)blogba【2.2.2 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(5)對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y logax(a 0且a 1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a 10 a 1yx 1y loga x 二iyIx 1；y loga xt).O/(1,0)xO;定義域(0,)值域R過定點圖象過定點(1,0)，即當(dāng)x 1時，y 0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況lOgax0(x1)lOgax0(x1)lOgax0(0x1)lOg

21、a x 0 (x 1)lOga x 0 (x 1)lOga x 0 (0 x 1)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域為 A ,值域為C ,從式子y f (x)中解出x ,得式子x (y) .如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x (y) , x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x (y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)ii.x(y)叫做函數(shù)y f(x)的反函數(shù)，記作x f (y),習(xí)慣上改與成y f (x).(7)反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng) f(x)中反解出x f 1(

22、y);11 ,、將x f (y)改寫成y f (x),并注明反函數(shù)的定義域.(8)反函數(shù)的性質(zhì)1原函數(shù)yf (x)與反函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于直線y x對稱.函數(shù)y f(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y f 1(x)的值域、定義域.1若P(a,b)在原函數(shù)y f(x)的圖象上，則P(b,a)在反函數(shù)y f (x)的圖象上.一般地，函數(shù) y f(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).R2.3 1募函數(shù)(1)募函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y x叫做募函數(shù)，其中 x為自變量，是常數(shù).(3)募函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：嘉函數(shù)圖象分布在第一、 二、三象限，第四象限無圖象.募函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(

23、圖象關(guān)于y軸 對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限.過定點：所有的募函數(shù)在 (0,)都有定義，并且圖象都通過點 (1,1).單調(diào)性：如果0 ,則嘉函數(shù)的圖象過原點，并且在 0,)上為增函數(shù).如果0,則嘉函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，募函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，募函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng) q (其中p,q互質(zhì)，p和q Z),若Pq_q_qp為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y x°是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y xp是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則y xp 是非奇非偶函數(shù).圖

24、象特征：募函數(shù)y x ,x (0,)，當(dāng) 1時，若0 x 1,其圖象在直線y x下方，若x 1 ,其圖象在直線y x上方，當(dāng) 1時，若0 x 1,其圖象在直線y x上方，若x 1,其圖象在直線 y x下方.(D二次函數(shù)解析式的三種形式2一般式：f (x) ax bx2c(a 0)頂點式：f(x) a(x h) k(a 0)兩根式:f (x) a(x x1)(x x2)(a0) (2)求二次函數(shù)解析式的方法- 11 -已知三個點坐標(biāo)時，宜用一般式.已知拋物線的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點式.f (x)更方便.若已知拋物線與 x軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式

25、求(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)f(x) ax2 bx c(a 0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為bx,頂點坐標(biāo)是(2ab 4ac b,2a4a2I-).當(dāng)a 0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(bb上遞減，在, 2a2a)上遞增，當(dāng)xfmin (x)4ac b24a當(dāng)a 0時，拋物線開口向下，函數(shù)在 (， 上遞增，在 2a2a')上遞減，當(dāng)fmax (x)4ac b24a二次函數(shù)f( x) aX2 bX2c(a 0)當(dāng) b 4ac 0時，圖象與x軸有兩個交點Ml(X1,0)M2(X2,0)，MiM2| |K(4)一元二次方程ax2 bx c0(a 0)根的分布-ii -一元二次方程根的

26、分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決 的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一 元二次方程實根的分布.2設(shè)一兀二次方程 aX bXc 0(a 0)的兩實根為x1 ,x2,且x12x2 .令f (x) ax bx c ,從以下四個萬面來分a對稱軸位置:2a判別式:端點函數(shù)值符號.析此類問題:開口方向:Xi& X2< k ki< Xi< X2< k20,并同時考慮f(ki)=0或f(kz)=0這兩種情況是否也符合 kl< xi< k2

27、< pi <x2< p2 此結(jié)論可直接由推出.2(5)一次函數(shù)f(x) ax bx c(a 0)在閉區(qū)間p,q上的最值設(shè)f(x)在區(qū)間p,q上的最大彳！為M ,最小值為(i)若2a0時(開口向上)m f(P)若b2ab若 一2a若2a(M )當(dāng) a若2Of ( c , x0 ，則2 MfP)f( 2?x0,則 Mff (q)D2af (p)p;f(p)0時(開口);則Of若pxfb f () b 2a貝%M2af( 2ba)若 xAO2a f(q)fP)Of(2ba)> x(q)b2af (q)AA(q)f(O2a(q)(P)- 28 -第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函

28、數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y f(x)(x D),把使f(x) 0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y f(x)(x D)的零點，2、函數(shù)零點的意義：函數(shù) yf(x)的零點就是方程f(x) 0實數(shù)根，亦即函數(shù) y f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程f(x) 0有實數(shù)根 函數(shù)y f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點.3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)y f(x)的零點：。(代數(shù)法)求方程 f(x) 0的實數(shù)根；(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.4、二次函數(shù)的零點：22.i)> o,萬程 ax bx c22) = o,

29、萬程 ax bx c 重零點或二階零點.3)< o,方程 ax2 bx c二次函數(shù) y ax bx c(a 0).0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與 x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二0無實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸無交點，二次函數(shù)無零點.高中數(shù)學(xué)必修2知識點總結(jié)第一章 空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這 些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表不：用各頂點字母

30、，如五棱枉 ABCDE A B C D E或用對角線的端點字母，如五棱柱AD幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。(2)棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐 P a'b'c'd'e'幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的 平方。(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平

31、面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等._.一 . 、. > ' ' ' ' '表不：用各頂點字母，如五棱臺 P A B C D E幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點

32、；側(cè)面展開圖是一個扇形。(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。(7)球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖(1)定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖(從左向右)俯視圖(從上向下)注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前

33、后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。(2)畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等(3)直觀圖：斜二測畫法(4)斜二測畫法的步驟：(1) .平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；(2) .平行于y軸的線長度變半，平行于 x, z軸的線長度不變；(3) .畫法要寫好。(5)用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。(2)特殊兒何體表面積公式S直棱柱側(cè)面積ch(c為底向周長，h為局，hS圓柱側(cè)2 rh S正棱錐側(cè)面積為斜高，1 rh.ch2l為母線)£謫錐側(cè)面積rlS 正棱臺側(cè)面積

34、SH柱表212(G c2)h'r r lS圓臺側(cè)面積S®錐表(r R) lr r lS圓臺表2 rrl RlR2(3)柱體、錐體、臺體的體積公式V 柱 ShV 圓柱 Shr2hV錐 1ShV圓錐1 r2h3V臺1(S'SS S)hVa臺1(S'S'SS)h 1(r2rRR2)h-333R3 ； S球面=4(4)球體的表面積和體積公式：V球=43R2第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)平面 平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的; 平面的表不： 通常用希臘字母a、3、丫表不，如平面a (通常寫在一'個

35、銳角內(nèi))；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。點與平面的關(guān)系： 點A在平面 內(nèi)，記作A ；點A不在平面內(nèi)，記作A點與直線的關(guān)系： 點A的直線l上，記作：AC1；點A在直線l外，記作A l；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面a內(nèi)，記作l a ；直線l不在平面a內(nèi)，記作l a。(2)公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號語言表示公理 1： A l,B l,A ,B l(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直

36、線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)(4)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面a和3相交，交線是 a,記作“0 3= a。符號語言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:共面直線小目交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點; 1平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點

37、；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線 a / b c / b強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4注意點：a'與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與 O的選擇無關(guān)，為簡便，點 O 一般取在兩直線中的一條上;兩條異面直線所成的角9 e (0 ,)；當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們守這兩條異面直線互相垂直，記作 a±b; 兩條直線互相垂直，有

38、共面垂直與異面垂直兩種情形；計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點(3)直線在平面平行一一沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用 a a來表示Ca maCa=Aa/a2.2 .直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：2.2.

39、2 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行符號表不：a I® 1b熔an b = P A aall a,b/ a - '2、判斷兩平面平行的方法有三種：(1)用定義；(2)判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行符號表示：作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。 符號表示：a /

40、 0.aC 丫 = a a 4b0 C = = b >作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作 L，a ,直線L叫做平面a的垂線,平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時 ，它們唯一公共點 P叫做垂足。2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b）定理體現(xiàn)了 “直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2 平面與平面

41、垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形0 或 a -AB- 03、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結(jié)構(gòu)框圖第三章直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線 l與x軸相交時，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線l向上方向之間所成的角a叫做直線l的傾斜角.特別地，當(dāng)直線l與X軸平行或重合時，規(guī)定a = 0。.2、傾斜

42、角a的取值范圍：0 °180° .當(dāng)直線l與X軸垂直時，a= 90 ° .3、直線的斜率：一條直線的傾斜角a ( a W 90° )的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示,也就是k = tan a當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，a =0° , k = tan0 0 =0;當(dāng)直線l與x軸垂直時，“ =90° , k不存在.由此可知，一條直線l的傾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式：給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1，x2,用兩點的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率：斜率公式：k=y2-y1/x2

43、-x13.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1 H L211 JL 1? <=> % = -r <=>= -1口2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1 直線的點斜式方程1、 直線的點斜式方程：直線l經(jīng)過點Po(x0, y°),且斜率為k y y°

44、 k(x x0)2、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k,且與y軸的交點為(0,b) y kx b3.2.2 直線的兩點式方程1、直線的兩點式方程：已知兩點R(Xi,X2), P2(X2, y2)其中(XiX2, yi y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線的截距式方程：已知直線 l與x軸的交點為 A(a,0)，與y軸的交點為 B(0,b)， 其中a 0,b0C 0 （A, B不同時為0）3.2.3 直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關(guān)于 x, y的二元一次方程 Ax By 2、各種直線方程之間的互化。3.3.1兩直線的交點1、給出例題：兩直線交L 13.3直線的交點坐標(biāo)與

45、距離公式 坐標(biāo)22, 一PRx x2x2y2y1八、坐標(biāo)L1: 2x+y +2=03x+4y-2=0解：解方程組3x 4y 2 02x 2y 2 0得 x=-2 , y=2所以L1與L2的交點坐標(biāo)為 M (-2, 2)3.3.2 兩點間距離兩點間的距離公式3.3.3 點到直線的距離公式1 .點到直線距離公式：點P(x°, y°)到直線l : Ax By C 0的距離為：dAx0 By。 C2、兩平行線間的距離公式:C1 C2已知兩條平行線直線11和|2的一般式方程為11： Ax By C10, l2: Ax By C2 0,則11與l2的距離為d第四章 圓與方程4.1.1圓

46、的標(biāo)準(zhǔn)方程 ,2 2221、圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程：(x a) (y b) r圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程2,、22 一 2、點M (x0,y0)與圓(x a) (y b) r的關(guān)系的判斷方法：222222. 一(1)(xOa)(y°b) >r ,點在圓外(2)(xOa)(y°b) =r ,點在圓上229(3)(x0 a)(y0 b) <r2,點在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 02、圓的一般方程的特點:(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于 0. 沒有xy這樣的二次項.(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只

47、要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了.(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大 小，幾何特征較明顯。4.2.1圓與圓的位置關(guān)系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.設(shè)直線l ： ax by c 0 ,圓C ： x2 y2 Dx Ey F 0 ,圓的半徑為r ,圓心(三)到直線的距離為d ,2 2則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：(1)當(dāng)d r時，直線l與圓C相離；(2)當(dāng)d r時，直線l與圓C相切；(3)當(dāng)d r時，直線l與圓C相交；4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為l ,則判別圓與圓

48、的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：(1)當(dāng)l r1 2時，圓C1與圓C2相離；(2)當(dāng)lr12時，圓C1與圓C2外切；(3)當(dāng)|1 2 | l 1 2時，圓C1與圓C2相交；(4)當(dāng)l k 上|時，圓C1與圓C2內(nèi)切；(5)當(dāng)l舊r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)含；4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：(1)設(shè)直線l:Ax By C 0,圓C:xa2 y b 2 r2 ,圓心C a,b到l的距離為d空Bb 9 ,則 .A2 B2有d r l與C相離；d r l與C相切；d r l與C相交(2)設(shè)直線l : Ax By C 0,圓C:x a

49、2 y b 2 r2,先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有0 l與C相離；0 l與C相切；0 l與C相交2汪：如果圓心的位置在原點，可使用公式xx° yy°r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點坐標(biāo)，r表小半徑。1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題;第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.(3)過圓上一點的切線方程：2圓x2+y2=r2,圓上一點為(X

50、o, yo),則過此點的切線萬程為xx° yy° r(課本命題).圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(xo,yo),則過此點的切線方程為(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)= r2(課本命題的推廣).4.3.1 空間直角坐標(biāo)系1、點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z) , x、y、z分別是p、Q、R在x、y、 z軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組(x, y, z),對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點3、空間中任意點 M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)來表示，該數(shù)組叫做點 M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M (x, y, z) , x叫做點M的橫坐標(biāo)

51、，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo)。4.3.2 空間兩點間的距離公式1、空間中任意一點 P (x1, y1, z1)到點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式2T27272高中數(shù)學(xué)必修3知識點總結(jié)第一章算法初步P1P2式xi x2)(yi 丫2)(zi z2)1.1.1算法的概念1、算法概念:這些程序或步驟必須是明確和有效的,在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟, 而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2.算法的特點：(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的 (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同