《導數(shù)的四則運算》ppt課件

1、函數(shù)的和、差、積的導數(shù)函數(shù)的和、差、積的導數(shù)一、復習回憶：一、復習回憶：3. .常見函數(shù)的導數(shù)公式常見函數(shù)的導數(shù)公式: : ( (C為常數(shù)為常數(shù)); );0 c)()(1Rxx xxcos)(sin .sin)(cosxx 2.求函數(shù)的導數(shù)的方法是求函數(shù)的導數(shù)的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量與與自自變變量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求極極限限，得得導導函函數(shù)數(shù)1.函數(shù)函數(shù) y=fx在點在點x0處的導數(shù)的幾何意義處的導數(shù)的幾何意義,就是曲就是曲線線y= fx在點在點Px

2、0 ,fx0處的切線的斜率處的切線的斜率.練一練練一練:求以下函數(shù)的導數(shù)求以下函數(shù)的導數(shù)1 y=100 2 y=x5 55 14(2)()55;yxxx(1)0y 利用函數(shù)的導數(shù)公式，得 10()nnCxnx 3 3y=4xy=4x2 2 +3x+3x4 4y=4xy=4x2 2 -3x-3x?二、新課講授：二、新課講授：1.和和差差的導的導數(shù)數(shù):法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導數(shù)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導等于這兩個函數(shù)的導 數(shù)的和數(shù)的和(差差),即即:.)(vuvu 證證:),()()(xvxuxfy ;)()()()()()()()(vuxvxxvxuxxuxvxuxxvx

3、xuy ,xvxuxy );()(limlim)(limlim0000 xvxuxvxuxvxuxyxxxx 即即:.)(vuvuy 練一練練一練:求以下函數(shù)的導數(shù)求以下函數(shù)的導數(shù)1 y=5x2-4x+12 y=-5x2+3x+74 y=2+x3-x5 y=2x-13x+2104yx103yx21yx121yx 3y=x2-cosx2.積的導數(shù)積的導數(shù):法則法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù) 乘第二個函數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù) ,即即.)(vuvuuv 證證:),()()(xvxuxf

4、y ),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy .)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy 因為因為vx在點在點x處可導處可導,所以它在點所以它在點x處連續(xù)處連續(xù),于于是當是當x0時時, vx+x vx.從而從而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000 xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx 即即:.)(vuvuuvy 推論推論:常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù),等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù),即即:.)(uCCu 小結：小結：有了前面

5、學過的常見函數(shù)的導數(shù)公式與函有了前面學過的常見函數(shù)的導數(shù)公式與函數(shù)的四那么運算的求導法那么數(shù)的四那么運算的求導法那么,就可以直接運用就可以直接運用這些公式求得由冪函數(shù)的和、差、積、構成的函這些公式求得由冪函數(shù)的和、差、積、構成的函數(shù)數(shù),而不必從導數(shù)定義出發(fā)了而不必從導數(shù)定義出發(fā)了.輪流求導之和輪流求導之和 例1 1 y=2+x3-x2y=2x2+33x-2課本課本p119練習練習 例 :求以下函數(shù)的導數(shù)Y=x+1x+2x+3 猜測猜測:函數(shù)函數(shù)f1 X f2x f3x fnx的導數(shù)的導數(shù)討論函數(shù)討論函數(shù)f 1 x + f 2x+ f3x+ + f nx的導數(shù)并證明的導數(shù)并證明.例求曲線例求曲線

6、y=2x+x3在在x= -1處的切線方處的切線方程程y=5x+2y=5x+2例例 4在曲線在曲線y=x3-6x2-x+6上上,求斜率最小求斜率最小的切線所對應的切點的切線所對應的切點解解:由于由于 ,故當故當x=2時時, 有最小值有最小值.13) 2( 3112322 xxxyy 而當而當x=2時時,y=-13,故斜率最小的切線所對應的切點故斜率最小的切線所對應的切點為為A2,-12.練習練習: :曲線曲線S1:y=x2與與S2:y=-x-22,假設直線假設直線l與與S1,S2均相切均相切,求求l的方程的方程.解解:設設l與與S1相切于相切于Px1,x12,l與與S2相切于相切于Qx2,-x2

7、-22.對于對于 則與則與S1相切于相切于P點的切線方程為點的切線方程為y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 對于對于 與與S2相切于相切于Q點的切線方程為點的切線方程為y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因為兩切線重合因為兩切線重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或假設假設x1=0,x2=2,那么那么l為為y=0;假設假設x1=2,x2=0,那么那么l為為y=4x-4.所以所求所以所求l的方程為的方程為:y=0或或y=4x-4.五、課堂小結：五

8、、課堂小結：1: 1:充分掌握函數(shù)的四那么運算的求導法那充分掌握函數(shù)的四那么運算的求導法那么；么；2:2:先化簡，再求導是施行求導運算的根本方法先化簡，再求導是施行求導運算的根本方法; ;是化難為易、化繁為簡的根本原那么和策略；是化難為易、化繁為簡的根本原那么和策略；3:3:在解決與曲線的切線有關的問題時，應結合在解決與曲線的切線有關的問題時，應結合函數(shù)與方程的思想，解析幾何的根本方法和理函數(shù)與方程的思想，解析幾何的根本方法和理論來求解解決問題時，關鍵在與理解題意，論來求解解決問題時，關鍵在與理解題意，轉化、溝通條件與結論，將二者有機地統(tǒng)一起轉化、溝通條件與結論，將二者有機地統(tǒng)一起來來. .例

9、例5 5 用求導的方法求和用求導的方法求和:).1() 1(3221) 2();1(321)() 1 (212 xnxnxSxnxxxxPnnnn對對(1)由求導公式由求導公式 可聯(lián)想到它是另一個和式可聯(lián)想到它是另一個和式x+x2+x3+xn的導數(shù)的導數(shù).,)(1 nnnxx),1(1)1()1(32 xxxxxxxxnn解：解：.)1 () 1(1)1 ()1)()1 ()()1()()(21211132xnxxnxxxxxxxxxxxxxxxPnnnnnnn .)1(2)1()1(2)1( )()2(3121xxnnxnxnnxPSnnnnn 例例7 7 拋物線拋物線C1:y=x2+2x和

10、和C2:y=x2+a,假如直線假如直線l 同時是同時是C1和和C2的切線的切線,稱稱l是是C1和和C2的公切線的公切線,公切線公切線 上兩個切點之間的線段上兩個切點之間的線段,稱為公切線段稱為公切線段. a取什么值時取什么值時,C1和和C2有且僅有一條公切線有且僅有一條公切線?寫出寫出 此公切線的方程此公切線的方程; 假設假設C1和和C2有兩條公切線有兩條公切線,證明相應的兩條公證明相應的兩條公切線切線 段互相平分段互相平分.2003天津高考天津高考文文題題解解: :函數(shù)函數(shù)y=x2+2x的導數(shù)的導數(shù)y=2x+2, ,曲線曲線C1在點在點P x1,x12+2x1的切線方程是的切線方程是y-x1

11、2+2x1=2x1+2 x-x1,即即 y=2x1+2x-x12;函數(shù)函數(shù)y=-x2+a的導數(shù)的導數(shù)y=-2x,曲線曲線C2 在點在點Qx2,-x22+a的切線方程是的切線方程是y-x22+a=-2x2x-x2.即即y=-2x2x+x22+a . 假如直線假如直線l是過是過P和和Q的公切線的公切線,那么式和式那么式和式都是都是l的方程的方程. 所以所以 消去消去x2得方程得方程:2x12+2x1+1+a=0. ,222222121 axxxx假設判別式假設判別式=4421+a=0時時, ,即即a=-1/2時時解得解得x1=-1/2,此時點此時點P與與Q重合重合. 即當即當a=-1/2時時C1和

12、和C2有且僅有一條公切線有且僅有一條公切線,由得由得公切線方程為公切線方程為y=x-1/4.證證: :由由可知可知: :當當a-1/2時時C1和和C2有兩條公有兩條公切線切線.設一條公切線上切點為設一條公切線上切點為:Px1,y1,Qx2,y2.其其中中P在在C1上上,Q在在C2上上,那么有那么有: x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a.故線段故線段PQ的中點為的中點為: ).21,21(a 同理同理,另一條公切線段另一條公切線段PQ的中點也是的中點也是).21,21(a 所以公切線段所以公切線段PQ和和PQ互相平分互相平

13、分.四、課堂練習：四、課堂練習：1、曲線、曲線C:y=3x4-2x3-9x2+4;1求曲線求曲線C上橫坐上橫坐標為標為1的點的切線方程的點的切線方程;2第第1小題中切線與曲小題中切線與曲線線C是否還有其它公共點是否還有其它公共點?假如有假如有,求出這些點的坐標求出這些點的坐標. 解解:1把把x=1代入曲線代入曲線C的方程得切點的方程得切點1,-4. ,所以切線的斜率所以切線的斜率k=12-6-18=-12.故切線方程為故切線方程為y+4=-12(x-1),即即y=-12x+8.xxxy1861223 .32, 2, 1, 0)23)(2() 1(, 04129238124923)2(22342

14、34 xxxxxxxxxyxxxy即即由由).0 ,32(),32, 2( ,)4, 1(:03244923234 切點切點即公共點為即公共點為，求得求得代入代入yxxxy故除切點以外故除切點以外,還有兩個交點還有兩個交點-2,32,2/3,0. 事實上事實上,在曲線在曲線y=x3+ax2+bx+c是只有橫坐標為是只有橫坐標為-a/3的唯一一點的唯一一點M,過該點的切線與曲線除切點外不再有過該點的切線與曲線除切點外不再有其它公共點其它公共點.而點而點M實際上就是這條三次曲線的對稱中實際上就是這條三次曲線的對稱中心心.2、三次曲線、三次曲線y=x3-3x2/2-3x過原點的切線過原點的切線l1,

15、平行平行 于于l1的另一條切線為的另一條切線為l2. 1求求l1、l2的方程的方程; 2當當l1、l2的斜率為的斜率為m時時,求斜率為求斜率為-m的兩切的兩切線線 l3、l4的方程的方程. 3求求l1、l2 、l3、l4所圍成的平行四邊形的面所圍成的平行四邊形的面積積.答案答案:1.l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.2.l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.3.9/8.六、作業(yè)布置：六、作業(yè)布置：1、課本、課本 P38習題習題2.3No.1、；、；2、；、；3；5.22sin、的導數(shù)；xyx23333、求在點處的導數(shù).xyxx三、例題講解：三、例題講解：例例1 1 求下列函數(shù)

16、的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):.cossincossin)7(;)1)(1()6(;sin1cos)5(;1)32()4(;tan)3(;1)2(;21)1(33222222xxxxxyxxxyxxxxyxxyxyxxyxxy 答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy ;3sin2cossincos2)5(32322xxxxxxxxxy ;)1()1(321)6(422xxxxy .)cos(sincoscossin1)7(22xxxxxxy 如果f(x),g(x)有導數(shù)，那么( )( )C f xCfx( )( );fx

17、gxf(x) g(x) 常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)兩個函數(shù)的和或差的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和或差兩個函數(shù)的和或差的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和或差; ;就是說：2 ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ).( ( )0)( ) ( )f x g xf x g xf x g xf xf x g xf x g xg xg xg x導數(shù)運算法那么：可以推廣到求有限個函數(shù)的和差的導數(shù)可以推廣到求有限個函數(shù)的和差的導數(shù).上導乘下上導乘下,下導乘上下導乘上,差比下方差比下方例例2 2 1命題甲命題甲:fx,

18、gx在在x=x0處均可導處均可導;命命題乙題乙:Fx= fx+gx在在x=x0處可導處可導,那么甲是乙成立那么甲是乙成立的的 A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條必要不充分條件件 C充分必要條件充分必要條件 D即不充分也不必即不充分也不必要條件要條件 A(2)下列函數(shù)在點下列函數(shù)在點x=0處沒有切線的是處沒有切線的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosxxD(3)若若 則則f(x)可能是下式中的可能是下式中的( ),1)(2xxf 3321)(2)(1)(1)(xDxCxxBxA B(4)點點P在曲線在曲線y=x3-x+2/3上移動時上移動時,過點過點P的曲線的的曲線的 切線的傾斜角的取值范圍是切線的傾斜角的取值范圍是( ),432, 0)( 43,2()2, 0)(),43)( 43, 0)( DCBAD例例3 3 某運動物體自始點起經過