《對(duì)面積的曲面積分》ppt課件

1、一一 對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分二二 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分三三 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系 四四 小結(jié)與習(xí)題小結(jié)與習(xí)題1、對(duì)面積的曲面積分的定義并作和并作和 niiiif1),( iS , , 如果當(dāng)各小塊曲面如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值的直徑的最大值0 時(shí)時(shí), , 這和式的極限存在這和式的極限存在, ,則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(zyxf在曲面在曲面 上對(duì)面積上對(duì)面積的的曲面積分曲面積分或或第一類曲面積分第一類曲面積分. .即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 記為記為 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(

2、),(dSzyxfdSzyxf.2.2.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf.叫積分曲面叫積分曲面 3、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法代入被積函數(shù)，代入被積函數(shù)，的方程的方程將曲面將曲面),(yxzz ;xyDxoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域換為在換為在將曲面將曲面 .122dxdyzzdSyx 換為換為將將;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:) 1yxzz 若若曲曲面面則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：解解x

3、yzo111 4321 . 0321 xyzdS所所以以 dxdyzzdSyx221 ,3)1()1(122dxdydxdy dSxyz 4原式原式dxdyyxxyxyD)1(3 其其中中1| ),( yxyxDxy, 0, 0 yx ,14yxz 上，上，在在 xdyyxxdx1010)1(3dxxx3106)1(3 .1203 xyzdS 計(jì)計(jì)算算 dszyx)(, 其其中中 為為平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例2 2積積分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(

4、2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 計(jì)計(jì)算算dSz 1, 其其中中 為為球球面面2222azyx 被被平平面面)0(ahhz 截截出出的的頂頂部部 例例3 3解解積積分分曲曲面面 :222yxaz , 投投影影域域 ： | ),(2222hayxyxDxy dxdyzzdSyx221 dxdyyxaa222 xyDyxaadxdydSz2221利用極坐標(biāo)，得利用極坐標(biāo)，得 rDraardrddSz221.ln22002222haarardrdaha 二二 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分觀察以

5、下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:播放播放曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊.0cos00cos)(0cos)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyxyxyS.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 面面在在xoyS ,為為上上的的投投影影xyS)( 曲曲面

6、面 S 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量( (1 1) ) 流流速速場(chǎng)場(chǎng)為為常常向向量量 v, ,有有向向平平面面區(qū)區(qū)域域A A, ,求求單單位位時(shí)時(shí)間間流流過過A A的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 ( (假假定定密密度度為為 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量( (2 2) ) 設(shè)設(shè)穩(wěn)穩(wěn)定定流流動(dòng)動(dòng)的的不不可可壓壓縮縮流流體體( (假假定定密密度度為為 1 1) )的的速速度度場(chǎng)場(chǎng)由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 給給出出, ,是是速速度度場(chǎng)場(chǎng)中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函數(shù)數(shù)),(),(),(zyxRzyxQzyxP

7、都都在在上上連連續(xù)續(xù), , 求求在在單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 . .xyzo xyzo iS ),(iii ivin 把曲面分成把曲面分成n小塊小塊is ( (is 同時(shí)也代表同時(shí)也代表第第i小塊曲面的面積小塊曲面的面積),),在在is 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii , ,（1）分割）分割則該點(diǎn)流速為則該點(diǎn)流速為 .iv法向量為法向量為 .in該該點(diǎn)點(diǎn)處處曲曲面面的的單單位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通過過is 流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量的的近近似似值值為為)., 2 , 1(niSnviii ,),(),()

8、,(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii (2)求和求和通通過過流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量 niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 (3)(3)取極限取極限0 .的精確值的精確值取極限得到流量取極限得到流量 nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, , 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(zyxR在有向曲面在有向曲面上上對(duì)坐標(biāo)yx,的曲面積分(也稱第二類曲面積分) 記記作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSR

9、dxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 存在條件存在條件:當(dāng)當(dāng)),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分存存在在. .組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 2121) 1RdxdyQdzdxPdydzRd

10、xdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),()2 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2 ),(yxfz xyDxyzoxys)( xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(,)()(, 0cos,xyxyiS 取下側(cè)取下側(cè)若若 xy

11、DdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521

12、cossin222 xyDrdrdrr 三三 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分為為 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yxfz xyzodsn曲面曲面的法向量的方向余弦為的法向量的方向余弦為 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 對(duì)面積的曲面積分為對(duì)面積的曲面積分為 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的兩兩側(cè)側(cè)均均成成立立) )dSRQPdxdyRQdzdxPdydz

13、)coscoscos( 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdAn或或其其中中cos,cos,cos, nRQPA為為有有向向曲曲面面上上點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處的的單單位位法法向向量量, ,dxdydzdxdydzdSnSd 稱稱 為為 有有 向向 曲曲 面面元元, ,nA為為向向量量A在在n上上的的投投影影. .解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(

14、21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 四、小結(jié)2、對(duì)面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對(duì)面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算域上的二重積分計(jì)算.1、 對(duì)面積的曲面積分的概念對(duì)面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種）4 4、物理意義、物理意義3 3、計(jì)坐標(biāo)的曲面積分算時(shí)應(yīng)注意、計(jì)坐標(biāo)的曲面積分算時(shí)應(yīng)注意 以下兩點(diǎn)以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)曲面的側(cè); “; “一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)”思考題思考題 在對(duì)面積的曲面積分

15、化為二重積分在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個(gè)因子的幾何意義這個(gè)因子的幾何意義.221yxzz 思考題解答思考題解答是曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法線與是曲面法線與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積為積為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設(shè)設(shè) 為球面為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dsz

16、yx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面. .練練 習(xí)習(xí) 題一題一二、計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分二、計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 為平面為平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、