2021年高考導(dǎo)數(shù)分類匯編

1、2021年全國高考理科數(shù)學(xué)分類匯編一一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1. (北京)能說明 假設(shè)f (x)f (0)對任意的x(0, 2都成立，那么f (x)在0, 2上是增函數(shù)為假命題的一個函數(shù)是f (x) =sinx .【解答】解：例如f (x) =sinx,盡管f (x)f (0)對任意的x(0, 2都成立，當(dāng)x 0,)上為增函數(shù)，在(厶，2為減函數(shù)，故答案為：f (x) =sinx.2. (北京)設(shè)函數(shù) f (x) =ax2-( 4a+1) x+4a+3ex.(I )假設(shè)曲線y=f (x)在點(diǎn)(1，f (1)處的切線與x軸平行，求a；(U )假設(shè)f (x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.【解答】解：(

2、I )函數(shù)f (x) = ax2 -(4a+1) x+4a+3 ex的導(dǎo)數(shù)為f(x) =ax-(2a+1) x+2 ex.由題意可得曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線斜率為0， 可得(a- 2a - 1+2) e=0,解得 a=1;(n ) f (x)的導(dǎo)數(shù)為 f( x) = ax2 -( 2a+1) x+2 ex= (x- 2) (ax- 1) ex,假設(shè) a=0 那么 xv 2 時，f(x) 0, f (x)遞增；x 2, f(x)v 0, f (x)遞減.x=2處f (x)取得極大值，不符題意；假設(shè)a0且a丄，那么f (x)丄(x-2) 2ex0, f (x)遞增，無極值；

3、假設(shè)a丄，那么占 2, f (x)在(2,丄)遞減；在(丄，+x) ,(-X, 2)遞增,可得f (x)在x=2處取得極大值，不符題意；假設(shè)av0,那么丄v2, f (x)在(丄，2)遞增；在(2, +) , (-x，丄)遞減,aaa可得f (x)在x=2處取得極大值，不符題意.綜上可得，a的范圍是(丄，+x).3. (江蘇)函數(shù)f (x) = - , 的定義域?yàn)?【解答】解：由題意得：1呂；?1,解得：x 2,二函數(shù)f (x)的定義域是2, +x). 故答案為：2, +x).I，-2x0那么f (f (15)的值為 .2 【解答】解：由f (x+4) =f (x)得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，

4、貝U f (15) =f (16- 1) =f (-=21) =1 - 1+丄 1 =V22故答案為:，f (寺)=COS (X) =cos2 2，即 f (f (15)4. (江蘇)函數(shù) f(x)滿足 f(x+4)=f(x)( x R),且在區(qū)間(-2,2上，f(x) =5. (江蘇)假設(shè)函數(shù)f (x) =2疋-a+1 (a只)在(0, +*)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，那么 f (x)在-1，1上的最大值與最小值的和為-3 .【解答】解：函數(shù)f (x) =2x3- ax2+1 (a只)在(0，+Q 內(nèi)有且只有一個零點(diǎn), f (x) =2x (3x- a)，x( 0，+)，當(dāng) a0，+x)上沒有零點(diǎn)

5、，舍去；/+函數(shù)f (乂)在(0, +x)上單調(diào)遞增，f (0) =1, f (%)在(0,3f (a)=-a3273+1=0，解得 a=3,當(dāng)a0時，f(x) =2x (3x- a)0的解為x旦，二f (乂)在(0,丄)上遞減，在(%)遞增，又f (x)只有一個零點(diǎn)，二33 f (x) =2宀 3x2+1, f (x) =6x (x- 1), x - 1, 1 , f( x) 0 的解集為(-1, 0), f (X)在(-1, 0) 上遞增，在(0, 1) 上遞減；f (- 1) =-4, f (0) =1, f (1) =0,二 f (x) min=f (- 1 ) =-4, f ( x)

6、 max=f ( 0) =1 f (X)在-1, 1上的最大值與最小值的和 為：f ( x) max+f (x) min= 4+仁-3.6. (江蘇)記f( x),g(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)假設(shè)存在x R,滿足f(x0)=g (X0)且 f (X0)=g(X0),那么稱 X0為函數(shù) f (x)與 g (x)的一個 “S點(diǎn)(1) 證明：函數(shù)f (x) =x與g (x) =*+2x-2不存在“點(diǎn)(2) 假設(shè)函數(shù)f (x) =af- 1與g (x) =lnx存在“點(diǎn)求實(shí)數(shù)a的值；(3) 函數(shù)f (x) =-+a, g (x).對任意a0，判斷是否存在b0,使函數(shù)f (x)x與g (

7、x)在區(qū)間(0, +x)內(nèi)存在“s點(diǎn)并說明理由.【解答】解：(1)證明：f(x) =1, g( (x) =2x+2,r _ 2 那么由定義得 AX +W，得方程無解，那么f (x) =x與g (x) =w+2x-2不存在“S點(diǎn)；Ll=2x+2(2) f (x) =2ax, g (x) =1,x0,由 f(x) =g(x)得丄=2ax,得x= J，f (陽吩=g(氣圖，得唏;2(3) f (x) =-2x, g( (x) =:,H 丁八由 f (xo) =g (xo),得 bja 0得 Ov XO V 1 ,由 f (xo) =g (xo),得xo2+a得 a=xo2 -232令 h (x) =

8、x2 -加 -a=_x f 也x-a , (ao, ovxv 1),x-11-y設(shè) m (x) =- x3+3x2+ax- a, (ao, ovxv 1),那么 m (o) =-avo, m (1) =2o,得 m (o) m (1) v o,又m (x)的圖象在(o, 1)上連續(xù)不斷，那么m (乂)在(o, 1 )上有零點(diǎn)，貝U h (乂)在(o,1) 上有零點(diǎn)，貝U f (x)與g (x)在區(qū)間(o, +x)內(nèi)存在“S點(diǎn).7. (全國1卷)設(shè)函數(shù)f (x) =x3+ (a- 1) x2+ax假設(shè)f (x)為奇函數(shù)，那么曲線y=f (x)在點(diǎn)(o, o)處的切線方程為()DA. y=- 2x

9、 B. y=- x C. y=2xD. y=x【解答】解：函數(shù)f (x) =x+ (a- 1) x2+ax,假設(shè)f (x)為奇函數(shù)，可得a=1，所以函數(shù)f (x) rxx,可得f(x) =3x2+1，曲線y=f (x)在點(diǎn)(o, o)處的切線的斜率為：1,貝U曲線y=f (x) 在點(diǎn)(o, o)處的切線方程為：y=x.應(yīng)選：D. r #8. (全國1卷)函數(shù)f (x)=已X： , g (x) =f (x) +x+a.假設(shè)g (x)存在2個零點(diǎn), Ins,艾0那么a的取值范圍是()CA. - 1, 0) B. 0, +x)C. - 1, +x)D. 1, +x)【解答】解：由g (x) =0得f

10、 (x) =- x- a,作出函數(shù)f (x)和y=- x- a的圖象如圖：當(dāng)直線y=-x-a的截距-a- 1時，兩個函數(shù)的圖象都有2個交點(diǎn)， 即函數(shù)g (x)存在2個零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1, +),應(yīng)選：C.9.(全國1卷)函數(shù)f (x) =2sinx+sin2x,那么 f (x)的最小值是3V3【解答】解：由題意可得 T=2n是f (x) =2sinx+sin2x的一個周期，故只需考慮f (x)=2sinx+sin2x在0，2n)上的值域，先來求該函數(shù)在0，2n)上的極值點(diǎn),求導(dǎo)數(shù)可得 f( x) =2cosx+2cos2x=2cosx2 (2cos?x- 1) =2 (2cosx-

11、 1) (cosx+1)，令f (x) =0可解得cosx丄或cosx=- 1，可得此時， n或昱匸;233 y=2sin対sin2x的最小值只能在點(diǎn)， n或 5和邊界點(diǎn)x=0中取到，33計(jì)算可得 f (丄)-，f (n =o, f (誓)=-L, f (o) =0，3232函數(shù)的最小值為-二，故答案為：；Z210. (全國1卷)函數(shù)f (x) 丄-x+alnx.x(1) 討論f (x)的單調(diào)性；t人,.(x1)-(x(2) 假設(shè)f (x)存在兩個極值點(diǎn)X1, x2,證明：v a- 2.【解答】解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x)=-設(shè) g (x) =x2 - ax+1,當(dāng)a 0

12、恒成立，即f( x)v 0恒成立，此時函數(shù)f (刈在(0, +)上是減函 數(shù)，當(dāng)a0時，判別式厶=石-4, 當(dāng)0va0,即f(x)v 0恒成立，此時函數(shù)f (乂)在(0, +)上是減函數(shù)， 當(dāng)a 2時，x, f x, f x的變化如下表:x(0,昭 a2-42(叔已2 Q(2 ，a+V a2 -Q2(:2+x)；)2- ：)2f(x)0+0f (x)遞減遞增遞減綜上當(dāng)a2時，在0，亡小二,和丑+7上是減函數(shù),2 2那么、上是增函數(shù).2 2(2)由(1)知 a2, 0vxiv 1vx2, xix2=1,那么 f (xi) f (X2)= (x2 - xi) (1+_-) +a (lnxi - I

13、nX2)=2 (X2 xi) +a (lnxi - lnx2),J-f ( Xo)a(ln Xi -lnxo)、戸十亠亠、 Lnxi lnuM那么! =-2+iJ，那么問題轉(zhuǎn)為證明 ! Vi即可,x!-Xjx j-k2x!-Kj即證明 Inxi - InX2xi - x2,即證 2Inxixi -一在(0, i) 上恒成立，yl設(shè) h (x) =2Inx-x, (0vxvi),其中 h (i) =0,求導(dǎo)得h (x)丄-i h (x) h (i),即那么h 乂在0, i 上單調(diào)遞減,v a - 2成立.ii. 全國2卷函數(shù)f x =一 ； 的圖象大致為B【解答】解：函數(shù)f (- X)土匚=-f

14、 (X),貝U函數(shù)f (X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A,當(dāng)x=1時，f (1) =e-丄0,排除D當(dāng)X+X時，f(X)-+X,排除C,應(yīng)選：B.12. (全國2卷)f (x)是定義域?yàn)?-X, +x)的奇函數(shù)，滿足f( 1 - x) =f (1+X),假設(shè)f (1) =2,那么 f (1)+f(2)+f (3)+-+f(50)= () CA.- 50 B. 0C.2D. 50【解答】解：t f (x)是奇函數(shù)，且f (1 - x) =f ( 1+x), f (1 -x) =f (1+x) =- f (x- 1), f (0) =0,那么 f (x+2) =- f (x),那么 f (x

15、+4) =- f (x+2) =f (x),即函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)f (1) =2 , f (2) =f (0) =0 , f (3) =f (1 - 2) =f (- 1) =-f (1) =-2 ,f (4) =f (0) =0 ,貝U f (1) +f (2) +f (3) +f (4) =2+0 - 2+0=0 ,那么 f (1) +f (2) +f (3) +-+f (50) =12f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (49) +f (50) =f (1) +f (2) =2+0=2 ,應(yīng)選：C.13. (全國2卷)曲線y=2ln (x+1)在點(diǎn)

16、(0 , 0)處的切線方程為 y=2x .【解答】解y=2ln( x+1) , ,當(dāng) x=0 時，y =2n+1曲線y=2ln (x+1)在點(diǎn)(0 , 0)處的切線方程為y=2x .故答案為：y=2x.14. (全國2卷)函數(shù)f (x) =ex- ax2.(1) 假設(shè) a=1，證明：當(dāng) x0 時，f (x) 1 ；(2) 假設(shè)f (乂)在(0, +x)只有一個零點(diǎn)，求a.【解答】證明：(1)當(dāng)a=1時，函數(shù)f (x) =ex - x2.那么f( x) =ex - 2x,令 g (x) =ex- 2x,那么 g (x) =ex- 2,令 g (x) =0,得 x=ln2.當(dāng)( 0, l n2)時

17、，h (x)v 0,當(dāng)( ln2, +*)時，h (x) 0, h (x) h (In2) =eln2- 2?ln2=2-2ln20, f (x)在0, +x)單調(diào)遞增，f (x)f (0) =1,解：(2), f (乂)在(0, +x)只有一個零點(diǎn)？方程ex- a=0在(0, +x)只有一個根,? a亠在0,+x只有一個根，即函數(shù)y=a與G x的圖象在0,+x只有一個交點(diǎn). G 0,當(dāng) x(0, 2)時，G (x)v0,當(dāng)( 2, +x)時，G (x) G 幻在0, 2遞增，在2, +x遞增, 當(dāng)-0 時，G x T+x,當(dāng) T+x時，g x f x在0, +x只有一個零點(diǎn)時，a=G 2C

18、.【解答】解：函數(shù)過定點(diǎn)(0, 2),排除A, B.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f( x) =- 4x3+2x=-2x (2x2- 1), 由f( x) 0得2x (2x2- 1 )v 0,得xv-夢或0v x夢，此時函數(shù)單調(diào)遞增，排除 C, 應(yīng)選：D.16.(全國 3 卷)設(shè) a=log.20.3, b=log20.3,那么( )abv 0v a+bA. a+bv abv 0 B. abv a+bv 0 C. a+bv 0v ab D.lgO. 31gy亠 LgO-3lgO. 3lgO. 3(lg5-lg2) .Ig21g5Ig21g5【解答】解：；aW3十,.ab a+b0 時，f (x)0；【解答】(1)

19、證明：當(dāng) a=0 時，f (x) = (2+x) ln (1+x)- 2x, 二z I - y,(x- 1).(2) 假設(shè)x=0是f (x)的極大值點(diǎn)，求a.(l+l )2可得 x (- 1, 0)時，f ( x) f 0) =0, f (x) = (2+x) ln (1+x)- 2x 在(-1, +x)上單調(diào)遞增，又 f (0) =0.當(dāng)1 vxv 0 時，f (x)v 0;當(dāng) x0 時，f (x) 0.(2)解：由 f (x) = (2+x+ax2) ln (1+x) - 2x,得f (x) = (1 +2ax) ln (1+x)卜 i+：= 2丘T4-IrT令 h (x) =ax2- x

20、+ (1 +2ax) (1+x) In (x+1),h(x) =4ax+ (4ax+2a+1) ln (x+1).當(dāng) a0, x0 時，h (x) 0, h (x)單調(diào)遞增, h (x) h (0) =0,即 f (x) 0, f (乂)在(0, +x)上單調(diào)遞增，故x=0不是f ( X)的極大值點(diǎn)，不符合題意.當(dāng) av 0 時，h (x) =8a+4aln (x+1) +,x+1顯然h (x)單調(diào)遞減， 令h (0) =0,解得a=-丄.當(dāng)1 vxv0 時，h (x)0，當(dāng) x0 時，h (x)v 0, h (x)在(-1, 0)上單調(diào)遞增，在(0, +x)上單調(diào)遞減， h (x)0,即 f

21、(x)0,當(dāng) x 0 時，h (x)v 0,即 f( x)v 0, f (x)在(-1, 0) 上單調(diào)遞增，在(0, +X)上單調(diào)遞減， x=0是f ( X)的極大值點(diǎn)，符合題意；146a1+S 注 假設(shè)丄vav0,那么 h (0) =1+6a0, h (e - - 1) = (2a 1) (1 e -)v 0,6 h (x) =0在(0, +x)上有唯個零點(diǎn)，設(shè)為 xo,當(dāng) 0vxvX0時，h (x)0, h (x)單調(diào)遞增, h (x) h (0) =0,即 f( x) 0, f (乂)在(0,刈)上單調(diào)遞增，不符合題意； 假設(shè) av 丄，貝U h (0) =1+6av0, h(丄1) =

22、 (1 2a) e20, h (x) =0在(-1, 0)上有唯一一個零點(diǎn)，設(shè)為 冷，當(dāng) X1h，(0) =0,二 h (x)單調(diào)遞增， h (x)v h (0) =0,即 f x)v 0, f (x)在(X1, 0)上單調(diào)遞減，不符合題意.綜上，a=-二.619. (上海)設(shè)常數(shù)a R,函數(shù)f (x) =1og2 (x+a).假設(shè)f (x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3, 1),貝U a= 7.【解答】解：常數(shù)aR,函數(shù)f (x) =1og2(x+a).f(x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,1),函數(shù) f(x)=1og2(x+a)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),Iog2(1+a)=3,解得 a=7.故答案為：

23、7.20. (上海)a - 2,- 1,-丄一丄，1, 2, 3，假設(shè)幕函數(shù)f (x) =xa為奇函數(shù)，且在(0,+x)上遞減，那么a= - 1.【解答】解：a - 2,- 1,-, 1, 2, 3，幕函數(shù)f (x) =xa為奇函數(shù)，且在(0, +%)上遞減，二a是奇數(shù)，且av0,二a=- 1故答案為：-1.21. (上海)常數(shù)a 0,函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(p,),Q(q,).假設(shè)2p+q=36pq,2K+ax55那么 a= 6.【解答】解：函數(shù)f (x) =_-的圖象經(jīng)過點(diǎn)P (p, ), Q (q,丄).那么:2網(wǎng)+護(hù)芒時滬如a2pq+=二 1,整理得:2p+ap 2q+aq 55解

24、得：2p+q=ai2pq，由于：2p+q=36pq,所以：a2=36,由于 a0,故：a=6.故答案為：622. (上海)設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f (X)是定義在D上的函數(shù)，假設(shè)f (X)的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，那么在以下各項(xiàng)中，f (1)的可能取值只能是()BA.； B. ： C.丄 D. 023【解答】解：設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f (x)是定義在D上的函數(shù)，假設(shè)f (x)的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，故f (1) =cos =丄，應(yīng)選：B.56223. (上海)某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時. 某 地上班族S中的成員僅以

25、自駕或公交方式通勤.分析顯示：當(dāng) S中x% (0vxv 100)的成員自 駕時，自駕群體的人均通勤時間為f (x)=心_90, 3Q40,即 x2- 65x+9000,解得 XV20 或 x45,I x( 45, 100)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間;(2)當(dāng) 0vxbc B. bac C. cba D. cab【解答】解：a=log2e 1, 0 v b=ln2v 1, c=log 寺=log23 Iog2e=a,那么a, b, c的大小關(guān)系ca b,應(yīng)選：D.25.(天津)a0,函數(shù)f (x)=假設(shè)關(guān)于x的方程個互異的實(shí)數(shù)解，那么a的取值范圍是(4, 8).【解答】

26、解：當(dāng) x 0得-2v xv - 1或-1v xv 0，此時遞增,(x)v 0得xv - 2,此時遞減，即當(dāng)x=- 2時，g (x)取得極小值為g由g當(dāng) x0 時，由 f (x) =ax得x2+2ax- 2a=ax,32.5%的人自)D(x) =ax 恰有 22) =4,得x2-ax+2a=0,得a (x-2) =W,當(dāng)x=2時，方程不成立,當(dāng)xm 2時，a=2設(shè) h (x) =(x-2 )2Cx-2 )2,那么 h (x)(I )求函數(shù)h (x) =f=logax，其中 a 1.由a 1,可知當(dāng)x變化時，h(x), h (x)的變化情況如下表:由h (x) 0得x4,此時遞增,由h (x)v

27、0得0vxv 2或2vxv4,此時遞減，即當(dāng)x=4時，h (x)取得極小值為h (4) =8,要使f (x) =ax恰有2個互異的實(shí)數(shù)解，那么由圖象知 4vav8,故答案為：(4, 8)(x)- xlna的單調(diào)區(qū)間；(U )假設(shè)曲線y=f (x)在點(diǎn)(xi, f (xi)處的切線與曲線y=g (x)在點(diǎn)(x?, g (x2)處的切 線平行，證明 xi+g (X2)=二丄一亠Ina(川)證明當(dāng)ae亡時，存在直線I，使I是曲線y=f (x)的切線，也是曲線y=g (x)的切線.(x) =a 7時，函數(shù)y=u (x)存在零點(diǎn).u (x) =1-(Ina)妝占，可知 x( x，0)時，u (x)0;

28、x(0，+x)時，u (x)單 調(diào)遞減， 又u( 0) =10，T故存在唯一的X0，且X00，使得u(X0)=0，即1-(1陽)乞 伯二0 .由此可得，u (乂)在(-X，X0)上單調(diào)遞增，在(X0， +X)上單調(diào)遞減, u (X)在X=X0處取得極大值u ( X0).JJ =.：-；，故 InIna- 1.口切)二且lna+ o + lna- 一一丄一=Ina121nlria 2+21nlna、亠下面證明存在實(shí)數(shù)t，使得u (t)v 0,由(I )可得ax 1+xlna,當(dāng)瓦時，有Inau ( X)W (1+囂1陽)(1它1刖)+討亠丿罕旦=(lw)g/4計(jì)1+亍+半蟲d.Ilia InaIna i na存在實(shí)數(shù)t，使得u (t)v 0.因此，當(dāng)ae時，存在xi(-x, +x),使得u (xi) =0.當(dāng)a?j時，存在直線l，使l是曲線y=f (x)的切線，也是曲線y=g (x)的切線.27.(浙江)函數(shù)