王老師微分法建模第1次作業(yè)

1、請解決文中出現(xiàn)的問題。血管分支血液在動物的血管中一刻不停地流動， 為了維持血液循環(huán) 動物的機體要提供能量。能量的一部分用于供給血管壁以營 養(yǎng)，中一部分用來克服血液流動受到的阻力。消耗的總能量 顯然與血管系統(tǒng)的幾何形狀有關(guān)。在長期的生物進化過程 中，高級動物血管系統(tǒng)的幾何形狀應(yīng)該已經(jīng)達到消耗能量最 小原則下的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)了。我們不可能討論整個血管系統(tǒng)的幾何形狀， 這會涉及太多 的生理學(xué)知識。下面的模型只研究血管分支處粗細(xì)血管半徑 的比例和分岔角度，在消耗能量最小原則應(yīng)該取什么樣的數(shù) 值。模型假設(shè)1. 一條粗血管在分支點處分成兩條血管，分支點附近三 條血管在同一平面上，有一對稱軸。因為如果不在一個平面

2、 上，血管總長度必然增加，導(dǎo)致能量消耗增加，不符合最優(yōu) 原則。這是一條幾何上的假設(shè)。2. 在考察血液流動受到的阻力時，將這種流動視為粘性 流體在剛性管道中的運動。這當(dāng)然是一種近似，實際上血管 是有彈性的，不過這種近似的影響不大，這是一條物理上的 假設(shè)。3. 血液對血管壁提供營養(yǎng)的能量隨管壁內(nèi)表面積及管 壁所占體積的增加而增加。管壁所占體積又取決于管壁厚 度，而厚度近似地與血管半徑成正比。這是一條生理上的假 設(shè)。根據(jù)假設(shè) 1，血管分支示意圖如圖 44 所示。 一條粗血 管與兩條細(xì)血管在 C 點分岔，并形成對稱的幾何形狀。設(shè)粗 細(xì)血管半徑分別是 r和 r1，分岔處夾角是 ?？疾扉L度為 l的一 段粗

3、血管 AC和長度為 l1的兩條細(xì)血管 CB和CB ，ACB（ ACB） 的水平和豎直距離為 L和 H ，如圖所示。再設(shè)血液在粗細(xì)血圖 4 4血管分支示意圖假設(shè) 2 使我們可以利用流體力學(xué)關(guān)于粘性流體在剛性管 道中流動時所受阻力的定律， 即阻力與流量 q 的平方成正比， 與半徑 r 的 4 次方成正比。所以血液在粗細(xì)血管中流動的阻 力分別為 kq2/r4和 kq12 / r14， k是比例系數(shù)。假設(shè) 3 比較復(fù)雜，需要作進一步簡化。對于半徑為 r 、長 度為 l的血管，管壁內(nèi)表面積 s 2 rl ，管壁所占體積 v sl，其 中 s 是 管 壁 截 面 積 。 記 壁 厚 為 d ， 則 s (

4、r d)2 r2 (d2 2rd ) 。設(shè)壁厚 d近似地與半徑 r 成正比， 綜合考慮管壁內(nèi)表面積 s和管壁所占體積 v 對能量消耗的影 響，可假設(shè)單位長度血管壁提供營養(yǎng)的能量為br ， 12，b是比例系數(shù)。2 2 2s (k r 2r kr) k1r 能量的消耗與內(nèi)表面積和管壁所占體積都有關(guān)系，綜合起 來，可設(shè) E br ， 12。模型建立 根據(jù)上述假設(shè)及對假設(shè)的進一步分析， 血液從 粗血管 A 點流動到細(xì)血管 B 、 B 兩點的過程中，機體為克服 阻力和供養(yǎng)管壁所消耗的能量為22E (kq4 br ) l (kq41 br1 ) 2l1( 1)r4r14由圖 44 所示的幾何關(guān)系不難得到l

5、 L taHn ， l1H sin2)將(2)式代入(1)式，并注意到 q1 q/2，能量 E可表示為 r 、 r1 和 的函數(shù)，即E(r,r1, ) (kq4 br ) (L H ) (kq41 br1 ) 2H( 3)r tanr1sin按照最優(yōu)化原則， r /r1和 的取值應(yīng)使( 3)式表示的 E(r,r1, )達到最小。EE由 r 0 和 r1 0可以得到4kq2 b r 15rkq25r11b r14）從方程（ 4）可解出5）再由0可得cos2(r1)46）18將（ 5）式代入（ 6）式，則7）4cos 2 45）、（7）兩式就是在能量消耗最小原則下血管分岔處幾何形狀的結(jié)果。取1和

6、2 ，可以算出 r 和 的大致范圍為r1r1.261.32， 3749r18）模型檢驗 這里只提供檢驗?zāi)Ｐ偷囊粋€依據(jù)。記動物的大動脈和最細(xì)的毛細(xì)血管的半徑分別為rmax 和rmin ，設(shè)從大動脈到毛細(xì)血管共有n 次分岔，將（ 5）式反復(fù)利用 n 次可得rmaxn44rmin9）rmax rmin 的 實 際 數(shù) 值 可 以max min測出，例如對狗而言有rmax rmin 1000 45，由（9）式可知n 5 ( 。2 ，所以按照這個模型，狗的血管應(yīng)有25 30 次分岔。又因為當(dāng)血管有 n次分岔時血管總條數(shù)為 2n ，所以估計狗應(yīng)有 225230 ，即3 107 109 條血管。這樣得到的數(shù)

7、據(jù)可以從一個方面驗證模型。rmax作業(yè)題 1 請寫出 rminn44 的推導(dǎo)過程。4.6 消 費 者 的 選 擇在 2.5 節(jié)實物交換模型中曾用無差別曲線族來描述人們對 兩種物品的滿意和偏愛程度，用圖形的方法確定兩個人進行 實物交換時應(yīng)遵循的途徑。本節(jié)要利用無差別曲線族的概念 討論，當(dāng)一個消費者用一定數(shù)額的錢去購買兩種商品時怎樣 的選擇，即他應(yīng)該分別用多少錢去買這兩種商品。記甲乙兩種商品的數(shù)量分別是 q1和 q2 ，當(dāng)消費者占有它們 時的滿意程度， 或者說它們給消費者帶來的效用， 是 q1和 q2的 函數(shù)，記作 U(q1,q2) ，經(jīng)濟學(xué)中稱為 效用函數(shù)(Utility Function ).

8、 U(q1,q2) c(常數(shù) )的圖形就是無差別曲線族，如圖45，是一族單調(diào)降、 下凸、 互不相交的曲線。 在每一條曲線上 (如 l2上 的U值高于 l1上的U 值)。曲線下凸的具體形狀反映了消費者 對甲乙兩種商品的偏愛情況。這里假定消費者的效用函數(shù) U(q1,q2)，即他的無差別曲線族已經(jīng)確定了。圖 4 5 無差別曲線族及消費者均衡的圖解法設(shè)甲乙兩種商品的單價分別是 p1 和 p2（元），消費者有 s（元） 錢。當(dāng)消費者用這些錢買這兩種商品時所作的選擇，即分別 用多少錢買甲和乙，應(yīng)該使效用函數(shù) U （q1, q2 ）達到最大，即得 到最大的滿意度。經(jīng)濟學(xué)上稱這種最優(yōu)狀態(tài)為 消費者均衡 。因為

9、當(dāng)消費者對兩種商品的購買量分別為q1和 q2時，他用的錢分別為 p1q1和 p2q2 ，于是問題歸結(jié)為在條件 p1q1 p2q2 s（ 1）下求比例 p1q1 p2q2 ，使效用函數(shù) U（q1,q2） 達到 最大。這是二元函數(shù)的條件極值問題， 用乘子法不難得到最優(yōu)解應(yīng)滿足Up1 p1Up22（ 2）p2當(dāng)效用函數(shù)U （q1,q2 ） 給定后，由（ 2）式即可確定最優(yōu)比例p1q1 p2q2 。作業(yè)題 2 請寫出（ 2）式的推導(dǎo)過程。上述問題也可用圖形法求解。約束條件（ 1）在圖 45 上 是一條直線 MN 。 MN 必與無差別曲線族 U（q1,q2） c中的某一條 曲線相切 （圖中是與 l2相切

10、），則 q1 、q2的最優(yōu)值必在切點 Q處 取得。（ 請讀者說明最優(yōu)值不會在 MN 與另一條曲線 l1的交點 Q 處取得，直線 MN 也不會與兩條無差別曲線相切） 。圖解法的結(jié)果與 （ 2）式是一致的。 因為在切點 Q處直線 MN與 曲 線 l2 的 斜 率 相 同 ， 而 MN 的 斜 率 是Kl2 ddqq2UqqU （隱函數(shù)求導(dǎo)法則） ，l2的斜率是Kldq2dq1在點 Q處 KMN Kl2 ，即給出（ 2）UU經(jīng)濟學(xué)中 q1q 稱為邊際效用，即商品購買量增加一個單位時效用函數(shù)的增量。 ( 2)式表明，消費者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們的價格之比時達 到。從以上的討論可以看

11、出， 建立消費者均衡模型的關(guān)鍵是確 定效用函數(shù) U(q1,q2) 。構(gòu)造效用函數(shù)時應(yīng)注意到它必須滿足如 下的條件：條 件 AU(q1,q2) c 所 確 定 的 一 元 函 數(shù)q2 q2(q1) 是單調(diào)減函數(shù)，且曲線呈下凸?fàn)钸@是無差別曲線 U(q1,q2) c的特性(見 2.5 節(jié))。條件 A可以 用函數(shù) U(q1,q2)的更直接的條件代替。即2 2 2UU2U2U2U條件 B0，0 ， 2 0， 2 0， 0。q1q2q12q22q1q2可以驗證，當(dāng)條件 B 成立時，條件 A 必成立。請讀者解 釋條件 B 的實際意義。作業(yè)題 3 請寫出Uq10，Uq20，U2 0的經(jīng)濟學(xué)意義，并 q12說明

12、“條件 B 成立時，條件 A 必成立”的理由面列舉幾個常用的效用函數(shù)，并分析消費者均衡狀態(tài)，即最優(yōu)比例 p1q1 p2q2 的實際意義1 若效用函數(shù)為U(q1,q2)q1q2q1q2(3) p1q1 p2q2 為4）,0根據(jù)（ 2）式可以求得最優(yōu)比例 p1q1p1p2q2p2結(jié)果表明均衡狀態(tài)下購買兩種商品所用錢的比例，與商 品價格比的平方根成正比。同時與效用函數(shù)U （q1, q2 ）中的參數(shù)、 有關(guān)： 越大購買商品甲的錢越少， 越大購買商品甲 的錢越多。這說明在（ 3）式給出的效用函數(shù)中，參數(shù)和分別表示消費者對商品甲和乙的偏愛程度。于是調(diào)整 和 可以改變消費者對兩種商品的愛好傾向，或者說可以改變無 差別曲線的具體形狀。2 若效用函數(shù)為U(q1,q2) q1 q2 ，5）根據(jù)（ 2）式可以求得最優(yōu)比例 p1q1 p2q2 為p1q1p2q2（4）這表明均衡狀態(tài)下購買兩種商品所用錢的比例與價格無關(guān)， 而參數(shù) 和 分別表示消費者對商品甲和乙的偏愛程度。3 設(shè)效用函數(shù)為U(q1,q2) (a q1 b q2 )2a,b 0（7）對（ 7）式的求解及結(jié)果分析留作習(xí)題 6。應(yīng)用這個