綜合除法與余數(shù)定理

1、第七節(jié)綜合除法與余數(shù)定理綜合除法與余數(shù)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，它們是研究多項式除法的有力工具。綜合除法和余數(shù)定理在整個中學(xué)數(shù)學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用。 本節(jié)我們將作一些初步介紹。一、綜合除法一個一元多項式除以另一個一元多項式，并不是總能整除。當(dāng)被除式 f (x) 除以除式 g(x),(g(x) 0) 得商式 q(x)及余式 r(x) 時，就有下列等式：f(x) g(x) q(x) r(x) 。其中 r (x)的次數(shù)小于 g(x)的次數(shù)，或者 r(x) 0。當(dāng) r(x) 0時，就是 f(x)能 被 g(x) 整除。面我們介紹一個一元多項式除以另一個一元多項式的簡便運算綜合除法。14x 4

2、7x3除以 x 2 所得的商和余式。2 7 0144246124236商的各項的系數(shù)28余式解：用綜合除法求 2x4(2x4 14x 4 7x3) (x 2)的商是2x3 3x2 6x 2，余式是 8。上述綜合除法的步驟是：1)把被除式按降冪排好，缺項補零。2)把除式的第二項 -2 變成 2，寫在被除式的右邊， 中間用一條豎線隔開（3）把被除式的第一項的系數(shù) 2 移到橫線的下面，得到商的第一項的系數(shù)。（4）用2乘商的第一項的系數(shù) 2，得4，寫在被除式的第二項的系數(shù) -7 的 下面，同 -7 相加，得到商的第二項系數(shù) -3 。（5）用 2 乘商的第二項的系數(shù) -3 ，得-6 ，寫在被除式的第三項

3、的系數(shù) 0 的下面，同 0相加，得到商的第三項的系數(shù) -6 。（6）用 2 乘商的第三項的系數(shù) -6 ，得-12 ，寫在被除式的第四項的系數(shù) 14 的下面，同 14 相加，得到商的第三項系數(shù) 2。（7）用 2乘商的常數(shù)項 2，得 4，寫在被除式的常數(shù)項 4 的下面，同 4相 加，得到余式 8。前面討論了除式都是一次項系數(shù)為 1 的一次式的情形。如果除式是一次式， 但一次項系數(shù)不是 1，能不能利用綜合除法計算呢？例 2、求 （3x3 10x2 23x 16） （3x 2） 的商式 Q和余式 R。解：把除式縮小 3倍，那么商就擴大 3 倍，但余式不變。因此先用 x 2 去3 除被除式，再把所得的商

4、縮小 3 倍即可。23 3 10 23 16 232 8 103 3 12 15 6145 Q=x2 4x 5 ， R=6。面我們將綜合除法做進(jìn)一步的推廣，使除式為二次或者二次以上的多項式時也能夠利用綜合除法來求商和余式例 3、用綜合除法求 (3x4 7x3 11x2 10x 4) (x2 3x 2) 的商 Q和余式 R。解：3 7 1196632110 4 3 243232 Q=3 x2 2x 5， R=3x 2 。二、余數(shù)定理余數(shù)定理又稱裴蜀定理。它是法國數(shù)學(xué)家裴蜀 (17301783)發(fā)現(xiàn)的。余數(shù) 定理在研究多項式、討論方程方面有著重要的作用。余數(shù)定理：多項式 f(x)除以 x a所得的

5、余數(shù)等于 f(a)。略證：設(shè) f (x) Q( x) ( x a) R將 x=a 代入得 f (a) R 。例 4、確定 m的值使多項式 f (x) x5 3x4 8x3 11x m 能夠被 x-1 整除。解：依題意 f (x)含有因式 x-1，故 f (1) 0。 1 3 11 ?？傻?17。求一個關(guān)于 x 的二次多項式， 它的二次項系數(shù)為 1，它被 x-3 除余 1，且它被 x-1 除和被 x-2 除所得的余數(shù)相同。解：設(shè) f ( x) x2 ax b f(x)被x 3除余 1， f (3) 9 3a b 1 f(x)被x 1除和 x 2除所得的余數(shù)相同， f (1) f (2)即1 a

6、b 4 2a b 由得 a 3，代入 得 b 12 f (x) x 2 3x 1 。注：本例也可用待定系數(shù)法來解。同學(xué)們不妨試一試。即： x2 ax b (x 1)( x m) R(x2)( x n)R ( x 3)(x p) 1由 (x 1)(x m) R ( x 2)(x n)R，可得 m2, n1再由 ( x 2)(x 1) R ( x 3)(x p) 1，解得 p0。2 f (x) x 2 3x 1 。練習(xí)：1、綜合除法分別求下面各式的商式和余式。1)(3x44x3 5x 26x 7)(x2)；2)5 (x6x49x314x 8)(x4)；3)3(x3(ab c) x2 ( abbcca)xabc)(x4)(9x45x2 y2 8y 4 8xy 318x3 y)(3x2y)；5)(2x47x3 16 x215x15)(X22x3)；6)(x65 x12x37 x) (x33x 2 5x2)a)2、一個關(guān)于 x 的二次多項式 f (x) ，它被 x-1 除余 2，被 x-3 除余 28，它可以被 x+1 整除，求 f (x