第一章 MATLAB矩陣運算與數(shù)組運算

1、第一章 矩陣運算與數(shù)組運算MATLAB中最基本的數(shù)據(jù)對象就是數(shù)組或矩陣,標量可看作是 1*1 的矩陣, 向量可看作是 l*n或 n*l的矩陣.一維數(shù)組是向量,二維數(shù)組便是矩 陣,還有 三維甚至更高維的數(shù)組。標量運算是數(shù)學的基礎(chǔ),然而,當需要對多個 數(shù)執(zhí)行 同樣的運算時,采用數(shù)組或矩陣運算將非常簡潔和方便.1. 4. 1 創(chuàng)建矩陣1.直接定義例子鍵入 :A=1 2 3; 4 5 6輸出:A=1 2 34 5 6這里 A 為一個 2行 3列的數(shù)組或矩陣.空格或逗號用于分隔某一行的元素, 分號表示開始新的一行.鍵入:A(2, 3 =0 %將第 2行,第 3列的元素置為 0.輸出:A=1 2 34 5

2、 02.一維數(shù)組的簡單構(gòu)造前面我們通過鍵人矩陣或數(shù)組中的每個元素來輸人一個矩陣或數(shù)組, 當數(shù)組 中的元素有成百上千時,怎么辦呢?對于一維數(shù)組有兩種簡單的輸人格式。 例如,X=0:0.1:1 %從 0到 l ,增量為 0.1.X=linspace(0, pi , 11 %11 個從 0到 pi 的等間隔數(shù),在 MATLAB 中這兩種創(chuàng)建數(shù)組的方式是最常見的.上述數(shù)組創(chuàng)建形式所得到的數(shù)組的元素之間是線性分隔的特殊情況, 當需要對數(shù) 分隔的數(shù)組時, MATLAB 提供了函數(shù) logspace .格式:x =logspace(first,last,n創(chuàng)建從 10的 first 次方開始, 到 10的

3、last 次方結(jié)束, 有 n 個元素的對數(shù)分隔 行向量 x.有時所需的數(shù)組不具有易于描述的線性或?qū)?shù)分隔關(guān)系,這時使用數(shù)組編址和 表達式結(jié)合的功能可避免每次一個地輸人數(shù)組元素.例子鍵入:a=1:5; b=1:2:9;c=b a輸出:1 3 5 7 8 1 2 3 4 5創(chuàng)建的數(shù)組 c, 由 b 中元素和 a 中元素構(gòu)成.又如,鍵入:d=a(1:2:51 0 1輸出:d=1 3 5 1 0 1上述所創(chuàng)建的數(shù)組都是行向量,如何創(chuàng)建列向量呢?可使用轉(zhuǎn)置算子( 把行向量變成列向量.如鍵入:a=1:4;%表示從 1到 4,增量為 1的行向量b=a %表示向量的轉(zhuǎn)置輸出:b=1234有兩種轉(zhuǎn)置的符號:l當

4、數(shù)組是復數(shù)時, ( 產(chǎn)生的是復數(shù)共軛轉(zhuǎn)置;2 (. 只對數(shù)組轉(zhuǎn)置,但不進行共軛.3.一維數(shù)組的操作例子鍵入:y=sin (x 輸出:y=Columns 1 through 70 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511Columns 8 through 110.8090 0.5878 0.3090 0.0000在 MATLAB中,數(shù)組元素用下標訪問,如 y(2是 y 的第 2個元素.例如, 鍵入:y(3 %表示 y 的第 3個元素輸出:ans=0.5878為了同時訪問一塊元素, MATLAB 用冒號來表示.鍵入:x(1:5輸出:0 0.3124 0.6

5、283 0.9425 1.2566鍵人:y(3:-1:1輸出:ans=0.5878 0.3090 03:-1:1表示從 3開始減 1計數(shù),到 1為止.又如鍵入:x(2:2:7輸出:ans=0.3142 0.9425 1.57082:2:7表示從 2開始加 2計數(shù),到 7為止.再如鍵人:y(8 2 9 1輸出:ans=0.8090 0.3090 0.5878 0這里是按照數(shù)組 8 2 9 1提供的次序來提取 y 數(shù)組中的元素4.矩陣的剪裁與拼接從一個矩陣中取出若干行(列構(gòu)成新矩陣稱為剪裁,冒號“:”是非常重要 的剪裁工具。例子鍵入:A=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;A(3, : %A

6、的第 3行輸出:ans=7 8 9鍵入:A(:, l % A的第 1列輸出:ans=147鍵入:B=A(2:3:, %A 的第 2,3行輸出:B=4 5 67 8 9鍵人:C=A(1:2, 1 3 % A的第 l , 2行,第 1,3 列輸出:C=1 34 6還有 A(1:2:3, 3:-1:1 想想將輸出什么?將幾個矩陣接在一起稱為拼接,左右拼接行數(shù)要相同,上下拼接列數(shù)要相 同.例如,鍵入:D=C, zeros(2, 1輸出:D=1 3 04 6 0鍵入:E=D ; eye(2 , ones (2, l 輸出:E=1 3 04 6 01 0 10 1 l提示:A(: 逐列提取 A 中的所有元

7、素作為一個列向量.A(I 把 A 看作列向量則:X 提取其中第 i 個元素.A(r,c 提取 A 中,由索引向量 r 定義的行,和由索引向量 c 定義的列所構(gòu)成的 A 的子數(shù)組.A(r,: 提取 A 中,由索引向量 r 定義的行,和全部列所構(gòu)成的 A 的子數(shù)組. A(:,c 提取 A 中,由全部行,和由索引向量 c 定義的列所構(gòu)成的 A 的子數(shù)組. 1. 4. 2 數(shù)組運算1.標量一數(shù)組運算標量與數(shù)組的加、減、乘、除和點乘方 (.是對數(shù)組的每個元素進行運算, 得到同樣大小的數(shù)組.例子鍵入:a=l :5; 3*a-5輸出:ans=-2 1 4 7 10鍵入:a.2輸出:ans=1 4 9 16

8、252.數(shù)組 -數(shù)組運算當兩個數(shù)組具有相同大小時, 加、 減、 點乘 (.*,點除 (./.和點乘方運算 (. 是按元素對元素方式進行的.例如,鍵入:g=1 2 3; 5 6 7; 8 9 10;h= 1 1 1; 2 2 2; 3 3 3;g.*h輸出:ans=1 2 310 12 1424 27 30提示:設(shè) a=a1 a2 a3,b=b1 b2 b3,c=標量標量加法 a+c =a1+c a2+c a3+c;標量乘法 a*c=a1*c a2*c a3*c;數(shù)組加法 a+b =a1+b1 a2+b2 a3+b3;數(shù)組乘法 a.*b=a1*b1 a2*b2 a3*b3;數(shù)組右除 a./b=a

9、1/b1 a2/b2 a3/b3;數(shù)組左除 a.b=b1/a1 b2/a2 b3/a3;數(shù)組求冪 a.c=a1c a2c a3c;c.a=ca1 ca2 ca3;a.b=a1b1 a2b2 a3b3;l. 4. 3 矩陣的運算MATLAB提供了下列矩陣運算+ 加法 ; - 減法; 轉(zhuǎn)置運算; * 乘法; 乘冪;左除;/右除除除法外其他運算都與線性代數(shù)中定義的一樣.這里只介紹一下除法運算. 設(shè) A 是可逆矩陣1 AX =B 的解是 A 左除 B ,即 X =A B ,意為用 A-1左乘以 B .2 XA =B 的解是 A 右除 B ,即 X =B /A ,意為用 A-1右乘以 B .注意:1當

10、A為方陣, p>1為整數(shù)時, A p 表示 A自乘 p次;2當 A和 P 均為矩陣時,不能計算 A P .1. 4. 4 函數(shù)1. 常用的數(shù)學函數(shù)單變量數(shù)學函數(shù)的自變量可以是數(shù)組, 此時, 輸出的是各元素的函數(shù)值構(gòu)成的同 規(guī)格數(shù)組.例子輸人:a=1 2 3; 4 5 6; sin (a 輸出:ans =0.8415 0.9093 0.1411-0.7568 -0.9589 -0.2794 MATLAB 中的常用數(shù)學函數(shù)有 三角函數(shù)：正弦 sin(x,雙曲正弦 sinh(x,反正弦 asin(x,反雙曲正弦 asinh(x,余弦 cos(x,正切 tan(x,余切 cot(x,正割 sec

11、(x,余割 csc(x等 指數(shù)函數(shù)：exp(x,自然對數(shù) log10(x,以 2 為底的對數(shù) log2(x,平方根 sqrt(x等 整值函數(shù)：朝零方向取整 fix(x,朝- 方向取整 floor(x,朝+ 方向取整 ceil(x,四舍五人到最接近的整數(shù) round(x,符號函數(shù) sign (x等 其他數(shù)學函數(shù)：絕對值或復數(shù)的幅值 abs(x等 2數(shù)組特征及矩陣操作函數(shù) size(A 返回一個二元素向量，第一個元素為 A 的行數(shù)，第二個元素為 A 的列數(shù) size(A，1 返回 A 的行數(shù) siZE(A，2 返回 A 的列數(shù) length(A 返回 max(size(A flipud(A 矩陣作

12、上下翻轉(zhuǎn) fliplr(A 矩陣作左右翻轉(zhuǎn) diag(A 提取 A 的對角元素，返回列向量 diag(v 以向量 v 作對角元素創(chuàng)建對角矩陣 最大值 max，最小值 min，求和 sum,求平均值 mean，按升序排列 sort 等 函數(shù)，只有當它們作用于向量時才有意義它們也可作用于矩陣，此時產(chǎn)生一個 行向量，行向量的每個元素是函數(shù)作用于矩陣相應列向量的結(jié)果 例子 鍵人： a-4.5,5,9,7,-2.8,3.5,9.5,5.4,7.3; min(a,m,im=min(a,M,iM=max(a,ra,ir=sort(a 輸出： ans= -4.5000 m= -4.5000 im= 1 M= 9.5000 iM= 6 ra= -4.5000 -2.8000 3.5000 5.4000 7.0000 7.3000 9.0000 9.5000 ir= 1 4 5 7 3 8 2 6 3矩陣函數(shù) deig（A） ，v,deig（A ） 特征值與特征向量 det(A 行列式計算 inv(A 矩陣的逆 orth(A 正交化。 poly(A 特征多項式 rank(A 矩陣的秩