全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽賽區(qū)預賽試卷及詳細答案(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽賽區(qū)預賽試卷及詳細答案 (考試時間:2010年9月4日9：0011：30)注意：1.本試卷共12小題，滿分150分；2.用鋼筆、圓珠筆或簽字筆作答；3.書寫不要超過裝訂線；4.不能使用計算器.一、填空題（每小題8分，共64分）1.函數(shù)的值域是_.2.函數(shù)_的圖象與的圖象關于直線對稱.3.正八面體的任意兩個相鄰面所成二面角的余弦值等于_.4.設橢圓與雙曲線相切，則_.5.設是復數(shù)，則的最小值等于_.6.設，是實數(shù)，若方程的三個根構成公差為1的等差數(shù)列，則，應滿足的充分必要條件是_.7.設是的內(nèi)心，動點的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于_.8.從正方體的

2、八個頂點中隨機選取三點，構成直角三角形的概率是_.二、解答題（共86分）9.（20分）設數(shù)列滿足，.求的通項公式.10.（22分）求最小正整數(shù)使得可被2010整除.11.（22分）已知的三邊長度各不相等，分別是，的平分線與邊，的垂直平分線的交點.求證：的面積小于的面積.12.（22分）桌上放有根火柴，甲乙二人輪流從中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超過對方剛才取走火柴數(shù)目的2倍.取得最后一根火柴者獲勝.問：當時，甲是否有獲勝策略？請詳細說明理由.2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽賽區(qū)預賽試卷參考答案及評分標準一、填空題（每小題8分，共64分）1.答案：.

3、提示：因，設（），則（其中，為銳角），所以當時，當時，故.2. 答案：提示：因兩函數(shù)圖象關于直線對稱，所以，解得.3. 答案：提示：正八面體由兩個棱長都相等的正四棱錐組成，所以任意兩個相鄰面所成二面角是正四棱錐側(cè)面與底面所成二面角的兩倍.，則.4. 答案：提示：由橢圓方程知，設其參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入雙曲線方程，得.因兩曲線相切，故.5. 答案：提示：在復平面上，設，則當為的費馬點時，取得最小值，最小值為.6. 答案：且.提示：設三個根為，則，右邊展開與左邊比較得，消去得，這就是所求的充要條件.7. 答案：提示：如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義，知點在圖中的三個平形四邊形及其內(nèi)部運動，所以動點的

4、軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于等于面積的2倍，即.8. 答案：提示：從正方體的八個頂點中隨機選取三點，共有個三角形，其中直角三角形有個，所求“構成直角三角形”的概率是.二、解答題（共86分）9. 解：特征根法. 又，（10分）得，于是.（20分）10. 解： （10分）又或，或，故所求最小正整數(shù).（22分）11. 證明：由題設可證，六點共圓. （10分）不妨設圓半徑為1，則有，.由于的面積小于的面積. （22分）12. 解：把所有使得甲沒有有獲勝策略的初始火柴數(shù)目從小到大排序為：，不難發(fā)現(xiàn)其前4項分別為2，3，5，8.下面我們用數(shù)學歸納法證明：（1）滿足；（2）當時，乙總可取到最后一根火柴，并且乙此時所取的火柴數(shù)目；（3）當時，甲總可取到最后一根火柴，并且甲此時所取的火柴數(shù)目.（10分）設（），注意到.當時，甲第一次時可取根火柴，剩余根火柴，乙無法獲勝.當時，根據(jù)歸納假設，甲可以取到第根火柴，并且甲此時所取的火柴數(shù)目，剩余根火柴，乙無法獲勝.當時，設甲第一次時取走根火柴，若，則乙可取走所有剩小的火柴；若，則根據(jù)歸納假設，乙總可以取到