南航信號(hào)與系統(tǒng)課件第三章LTI連續(xù)系統(tǒng)頻域

1、第三章第三章 LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 數(shù)學(xué)上，任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)數(shù)學(xué)上，任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)完備正完備正交函數(shù)集交函數(shù)集中無(wú)限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無(wú)窮級(jí)中無(wú)限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。數(shù)。 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是常用的正交函數(shù)是常用的正交函數(shù)集，只要符合一定的條件，任意一信號(hào)都可集，只要符合一定的條件，任意一信號(hào)都可通過傅里葉級(jí)數(shù)展開為一系列不同頻率的正通過傅里葉級(jí)數(shù)展開為一系列不同頻率的正弦分量即弦分量即頻率函數(shù)頻率函數(shù)，也就是說信號(hào)分析可以，也就是說信號(hào)分析可以從時(shí)域變換到頻域分析即從時(shí)域變換到頻域分析即頻域分析法頻域分析法。31

2、31 周期周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開開 一三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)：一三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)： 設(shè)任意周期信號(hào)設(shè)任意周期信號(hào) f(t)=f(t+kT),（k為整數(shù)為整數(shù)），滿），滿足下列條件（荻里赫利條件）：足下列條件（荻里赫利條件）：（1）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的dttfTtt 00)(（2）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目有限）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目有限（3）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè)）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè)一一 類間斷點(diǎn)（左右極限存在但不等）類間斷點(diǎn)（左右極限存在但不等）分解得分解得 110 sincos2)(nn

3、nntnbtnaatf)(2原原周周期期信信號(hào)號(hào)的的角角頻頻率率T/ TttttfTa00 0d)(12 )(n dcos)(2 00 的的偶偶函函數(shù)數(shù) TnttttntfTa)(dsin)(200 的的奇奇函函數(shù)數(shù)nttntfTbTntt 傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù) 10)cos()( nnntnAAtf 22 nnnbaA )(arctg的奇函數(shù)的奇函數(shù)nabnnn 其中：其中：200 aA 直流分量直流分量(零次諧波零次諧波)，即，即f(t)在一個(gè)周在一個(gè)周期內(nèi)的期內(nèi)的平均值平均值；)cos(11 tA基波分量基波分量(一次諧波一次諧波)，其角頻率，其角頻率與與f(t)的相同，為的相同，為 )

4、2cos(22 tA二次諧波分量二次諧波分量，其角頻率為基，其角頻率為基波頻率的兩倍波頻率的兩倍 )cos( nntnA n次諧波分量次諧波分量，其角頻率為基，其角頻率為基波頻率的波頻率的n倍倍 將將周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)在在虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejn t，n=0, 1, 2， 3， 上展開就得到上展開就得到指數(shù)形式的指數(shù)形式的傅里傅里葉級(jí)數(shù)。葉級(jí)數(shù)。 ntnnFtf j e)(T/ 2 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) ： TtnntttfTF00 j d(t)e1 “級(jí)數(shù)正，系數(shù)負(fù)級(jí)數(shù)正，系數(shù)負(fù)” 二指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)二指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 注意此系注意此系數(shù)為數(shù)為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 1jjjj010)

5、ee (2j)ee (22)sincos(2)( ntntnntntnnnnnbaatnbtnaatf000 2AaF 與指數(shù)形式對(duì)照與指數(shù)形式對(duì)照 ntnnFtf j e)( , 2 , 1 ,-21)j(21, 2 , 1 ,21)j(21 nAbanAbaFnnnnnnnnn )(21)(21210tjnnnntjnnnejbaejbaa 與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系 三、周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系三、周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 1偶函數(shù)偶函數(shù): : f(t)=f(t) , 2 , 1 , 0 ,dcos)(4, 02 00 nttntfTabTn

6、ntt2奇函數(shù)奇函數(shù): : f( t)= f(t) , 2 , 1 ,dsin)(4, 0 , 02 000 nttntfTbaaTnntt3奇諧奇諧(波波)(半波對(duì)稱半波對(duì)稱)函數(shù)函數(shù): : )2()(Ttftf 和和偶偶數(shù)數(shù)為為為為奇奇數(shù)數(shù)0 , 0 ,dcos)(42 00 nnttntfTaTntt. , 0 ,dsin)(42 00 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)nnttntfTbTntt2TT23T)(tft04偶諧偶諧(波波)(半周期半周期)函數(shù)函數(shù) )2()(Ttftf , 0 ,dcos)(42 00 為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)nnttntfTaTntt. , 0 ,dsin)(4

7、2 00 為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)nnttntfTbTntt四、傅里葉系數(shù)的性質(zhì)四、傅里葉系數(shù)的性質(zhì) ntnnFtf je)( ) 1 ( ntntnnFttf 0 jj0ee)( )2( e j)( )3( j ntnnFntf ntnnnntnnnFFttfFFttf j11j11ej2sin)( e2cos)( )4(例例1 1：求周期信號(hào)的三角型與指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)：求周期信號(hào)的三角型與指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù), 3 , 1 ,2)121(cos2 dsin.50 4dsin)(28, 05 . 004201 nnnnttnttntfbann / ttttnntfn 5sin513sin31si

8、n25 . 0 sin25 . 0)(1 奇奇數(shù)數(shù)f(t)t0123-11f1(t)t0123-10.5)0 ,(2sine1 1j)j(21 ; 5 . 022j00都都成成立立對(duì)對(duì)nnnnbaFaFnnnn ntnnnntf)2 ( je2sin1)( 例例2：求圖示周期鋸齒波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)：求圖示周期鋸齒波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) f(t)t0T2T3T-T1解：解：可利用傅里葉性質(zhì)可利用傅里葉性質(zhì)3求解：求解：t0T2T3T-T)( tft0T2T3T-T1/T(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)( tf j j0d)(e j)(e 1de)(1) j (2 20 j0 j2 2 j2

9、TnTnttntTttTFnTTnnTTtnn / 10 j0 sin115 . 0e2 j1 15 . 0)(0 ,2 j1 j1 , 5 . 0nnntnntnnntfnnTnFF 32 32 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜如果要確定某一諧波分量如果要確定某一諧波分量 )cos( nntnA tnnF j e或或只需確定和某一頻率對(duì)應(yīng)的只需確定和某一頻率對(duì)應(yīng)的諧波幅值和相位。諧波幅值和相位。 ),.2 , 1(單單邊邊頻頻譜譜nnnAnn ),.2, 1, 0(雙邊頻譜雙邊頻譜 nnnFnn 頻頻譜譜幅度譜：幅度譜：以頻率（角頻率）為橫坐標(biāo)，以各諧以頻率（角頻率）為橫坐標(biāo)，以各諧波的振幅波的

10、振幅An或或|Fn|為縱坐標(biāo)畫出的線圖（離散）為縱坐標(biāo)畫出的線圖（離散）為幅度頻譜。簡(jiǎn)稱幅度譜。為幅度頻譜。簡(jiǎn)稱幅度譜。相位譜：相位譜：以頻率（角頻率）為橫坐標(biāo)，以各諧以頻率（角頻率）為橫坐標(biāo)，以各諧波的初相角為縱坐標(biāo)畫出的線圖（離散）為相波的初相角為縱坐標(biāo)畫出的線圖（離散）為相位頻譜。簡(jiǎn)稱位頻譜。簡(jiǎn)稱相位相位譜。譜。一、周期矩形脈沖的頻譜一、周期矩形脈沖的頻譜 dede )(12 2j2 2j / tTAttfTFtnTTtnnt0A2 2 T T)(tf , 2 , 1 , 0 ,2Sa22sinje22j nnTAnnTAnTAtn / ntnnTAtf je2Sa)( 1Sa44nnn

11、F =T/ /4，A A=1=1時(shí)：時(shí)： |Fn|00.250.2250.0750.0530.1590.0452 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6 包絡(luò)線n023456-2-3-4-5-6由雙邊頻譜由雙邊頻譜單邊頻譜單邊頻譜|An|00.250.450.150.1060.3180.092 3 4 5 6 n02 3 4 5 6 由上可知周期矩形脈沖的頻譜有下列特點(diǎn)：由上可知周期矩形脈沖的頻譜有下列特點(diǎn)：(1) 譜線高度與脈沖高度譜線高度與脈沖高度A及寬度及寬度 成正比，與成正比，與周期周期T成反比，且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制；成反比，且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制； , 2 , 1 , 0

12、 ,2Sa nnTAFn (2) 零分量頻率零分量頻率為為n/2=m 即即n =2m / / ，或，或 n= m T / 其中其中m= 1, 2,(3) 第第一個(gè)零分量頻率一個(gè)零分量頻率為為有效頻譜寬度有效頻譜寬度B = =2 / / ， Bf = =1/ / (4) 若若 而而T不變不變,譜線間隔不變，但譜線高度譜線間隔不變，但譜線高度B ，譜線個(gè)數(shù)，譜線個(gè)數(shù)T/ / (5) 若若T而而 不變不變譜線間隔譜線間隔譜線高度譜線高度B 不變，不變，譜線個(gè)數(shù)譜線個(gè)數(shù)T/ / ，T ，連續(xù)頻譜。連續(xù)頻譜。二、任意周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、任意周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) （1 1）離散性）離散性頻譜是譜線，稱為離

13、散頻譜或線譜；頻譜是譜線，稱為離散頻譜或線譜； （2 2）諧波性）諧波性各分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，各分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，譜線間隔均勻；譜線間隔均勻； （3 3）收斂性）收斂性譜線幅度隨譜線幅度隨n 而衰減到零。而衰減到零。 三、周期信號(hào)的功率譜三、周期信號(hào)的功率譜 nnTTntnnTTFtFTttfTP22 22j2 22de1d)(1 /功率功率( (頻頻) )譜譜|Fn|2 n 的關(guān)系，也是一離散譜。的關(guān)系，也是一離散譜。 周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。

14、 33 33 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜一、傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換一、傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 周期信號(hào)周期信號(hào) ntnnTFtf j e)(其中其中 2 2jde )(1 /TTtnTnttfTF非周期信號(hào)非周期信號(hào) )(lim)(tftfTT ,2d21 ,d2 nTT 令令 j j j2 2jdede )(21ede )(1lim)( ttntnTTtnTTttfttfTtf /有有F( j ) jde )(21 tjF 傅里葉正變換傅里葉正變換 jde )()j (ttfFt傅里葉反變換傅里葉反變換 (*)de )j (21)( j tFtf 對(duì)應(yīng)關(guān)系記為對(duì)應(yīng)關(guān)系記為 f(t)F(

15、 j) F( j) =F f(t)f (t) =F-1 F(j)二、非周期信號(hào)的頻譜二、非周期信號(hào)的頻譜(密度密度)函數(shù)函數(shù) FFFFnTnT 2lim)j (d)j (21lim 將傅氏反變換（將傅氏反變換（* *）與傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)照與可知）與傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)照與可知 單位頻帶的振幅的量綱稱單位頻帶的振幅的量綱稱頻譜頻譜( (密度密度) )函數(shù)函數(shù) ntnnTFtf j e)()(lim)(tftfTT jde )(21 tjF 1 1頻譜密度函數(shù)的物理意義頻譜密度函數(shù)的物理意義 2）非周期信號(hào)也可以分解成許多不同頻率的）非周期信號(hào)也可以分解成許多不同頻率的正弦分量，只不過其基波頻率趨于無(wú)窮小，正

16、弦分量，只不過其基波頻率趨于無(wú)窮小，包含了所有頻率分量；包含了所有頻率分量；1 1）求非周期信號(hào)的）求非周期信號(hào)的傅里葉變換傅里葉變換就是求其就是求其頻譜頻譜( (密度密度) )函數(shù)函數(shù)。3）各個(gè)正弦分量的振幅）各個(gè)正弦分量的振幅 |A |=2 | F | =|F( j )|d / / 趨于無(wú)窮小，只能用密度函數(shù)趨于無(wú)窮小，只能用密度函數(shù)|F( j )|來表示來表示各頻率分量的相對(duì)大小各頻率分量的相對(duì)大小。2、頻譜密度函數(shù)的數(shù)學(xué)特點(diǎn)：、頻譜密度函數(shù)的數(shù)學(xué)特點(diǎn)： jdsin)(jdcos)( de )()j (tttftttfttfFt)( j)()()j ()j (XRFF )()(arctg

17、)( , )()()j (22RXXRF . )(sin)j ()( , )(cos)j ()( FXFR 1、若、若f(t)為實(shí)函數(shù)，則為實(shí)函數(shù)，則|F( j )|、R( )為為 的的偶偶函數(shù)函數(shù)，而，而 ( )、X( )為為 的的奇函數(shù)奇函數(shù)。2 2、若、若f(t)為實(shí)偶函數(shù)，則為實(shí)偶函數(shù)，則F( j )為為 的實(shí)偶函的實(shí)偶函數(shù)數(shù) 即即 ( ) = X( ) = 0 3、若、若f(t)為實(shí)奇函數(shù)，則為實(shí)奇函數(shù)，則F( j)為為 的虛奇的虛奇函數(shù)函數(shù) 即即 =90，R( ) = 0 。若若f(t)為實(shí)函數(shù)，則代入對(duì)應(yīng)的奇偶性得為實(shí)函數(shù)，則代入對(duì)應(yīng)的奇偶性得 )( j jde )j (21de

18、 )j (21)( ttFFtf d)( cos)j (21 tF 0 d)( cos)j (1 tF 非周期信號(hào)也可以分解為許多非周期信號(hào)也可以分解為許多不同頻率的正弦分不同頻率的正弦分量量，其，其基波為無(wú)窮小基波為無(wú)窮小d ，正弦分量的振幅也為無(wú)，正弦分量的振幅也為無(wú)窮小窮小,F(j )只是相對(duì)大小只是相對(duì)大小。三、常用信號(hào)的傅里葉變換三、常用信號(hào)的傅里葉變換 荻里赫利條件是荻里赫利條件是變換的前提變換的前提, ,不滿足完全可積不滿足完全可積的條件引入沖激函數(shù)的條件引入沖激函數(shù)也可有相應(yīng)的變換。也可有相應(yīng)的變換。1 1、單邊指數(shù)信號(hào)、單邊指數(shù)信號(hào) 0 ),(e)( ttftf(t)0t1

19、arctg1 j1) j(edede )()j (220) j( 0 j j tttttettfF|F( j)|01/()0/2-/22 2、偶雙邊指數(shù)信號(hào)、偶雙邊指數(shù)信號(hào) 0 ,e)( ttff(t)0t1e-tet02 j1 j1dede)j (22 0 j0 j teteFtttt|F( j)|02/3 3、奇雙邊指數(shù)信號(hào)、奇雙邊指數(shù)信號(hào) 0 ),sgn(e)( ttft22 0 j0 j2 j1 j1dede)j ( jteteFtttt|F( j)|01/ /- ()0 / /2- / /2f(t)0t1e-t-et-14 4、符號(hào)函數(shù)信號(hào)、符號(hào)函數(shù)信號(hào) )sgn()(ttf f(t

20、)0t11 22jlim)j (220jF 符號(hào)函數(shù)不滿足可積條件，它可看符號(hào)函數(shù)不滿足可積條件，它可看作作奇雙邊指數(shù)信號(hào)奇雙邊指數(shù)信號(hào)在在 0的極限值的極限值|F( j)|0 ()0 / /2- / /25 5、單位沖激信號(hào)、單位沖激信號(hào) )()(ttf f(t)t0(1)1ede )()j (00 0 j ttFt 01|F( j)|6 6、單位直流信號(hào)、單位直流信號(hào) )( 1)( ttff(t)0t1|F( j)|0(2 )(2)( jF0)( 7 7、單位階躍信號(hào)、單位階躍信號(hào) )()(ttf f(t)0t1|F( j)|0()()0- / /2)(j1)( jF 90)(1arctg

21、)( 8 8、門信號(hào)、門信號(hào)( (矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)) ) 2 | , 02 | , 1)()(/ tttGtf)2(Sa22sinde)j ( 2 2 j /tFt 0)2(Sa , 0)2(Sa , 0)( ; 22sin)j (/ FG(t)t102 2 |F( j)|0 2 4 6 2 4 6 0() 2 4 2 4 -34 34 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 設(shè)設(shè)f1(t)F1(j )，f2(t)F2(j )；a1、a2為為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)一、線性一、線性 則則：a1 f1(t) + + a2 f2(t)a1F1(j) + a2 F2(j)二、對(duì)稱性二、對(duì)稱性 設(shè)：設(shè)：f(t)F(

22、j ), 則：則：F(jt)2 f(- - ) 證明證明 de )j (21)( j tFtf jde )j (21)( tFtf jde )j (21)( ttFft jde )j ()(2 ttFft 正變換正變換例：求例：求Sa( (t) )的傅氏變換的傅氏變換)2(Sa 則則)2(Sa )(2 t G令令 2 )()(Sa 2 Gt解解：已知：已知G (t)三、尺度變換三、尺度變換 設(shè)：設(shè)：f(t)F(j )0(a )j (|1)(的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)則：則： aFaatf 信號(hào)持續(xù)時(shí)間與占有頻帶成反比信號(hào)持續(xù)時(shí)間與占有頻帶成反比 ，即，即時(shí)域內(nèi)擴(kuò)時(shí)域內(nèi)擴(kuò)展頻域內(nèi)壓縮展頻域內(nèi)壓縮，即時(shí)域內(nèi)壓縮

23、頻域內(nèi)擴(kuò)展，即時(shí)域內(nèi)壓縮頻域內(nèi)擴(kuò)展推論推論( (折疊性折疊性) ) f(- -t) F(- -j ) 四、時(shí)移性四、時(shí)移性: :： )(0ttf )j (e0jFt 時(shí)域內(nèi)時(shí)域內(nèi)時(shí)移時(shí)移，頻域內(nèi)為，頻域內(nèi)為相移相移.設(shè)：設(shè)：f(t)F(j )則則五、頻移性五、頻移性: ttf0je )( )( j 0F調(diào)調(diào)制制定定理理 )(21cos)(000tjtjeetfttf )( j )( j 2100 FF)( j )( j j2100 FF)(21sin)(000tjtjeejttf 時(shí)域內(nèi)時(shí)域內(nèi)相移相移，頻域內(nèi)為反向，頻域內(nèi)為反向頻移頻移。設(shè)：設(shè)：f(t)F(j )門信號(hào)的調(diào)制門信號(hào)的調(diào)制: :

24、 G(t)102 2 t0)2(Sa 2G(t)cos0tt102 2 00-02 |F( j)|當(dāng)當(dāng) 0足夠大時(shí)，就可使原頻譜密度函數(shù)被向左、足夠大時(shí)，就可使原頻譜密度函數(shù)被向左、右復(fù)制時(shí)混疊極少，幾乎不失真右復(fù)制時(shí)混疊極少，幾乎不失真.六、時(shí)域卷積：六、時(shí)域卷積：f1(t)* * f2(t) F1(j )F2(j ) j 2121 ded)()()()(ttfftftft- F證明證明 j21 dde )()( ttfft-)j ()j (de )()j (de )j ()( 1 2 j1 2 j 21 -FFfFFf 時(shí)域卷積的重要應(yīng)用時(shí)域卷積的重要應(yīng)用求零狀態(tài)響應(yīng)的頻域法求零狀態(tài)響應(yīng)的

25、頻域法 時(shí)域時(shí)域yf(t) = f(t)* * h(t) 頻域頻域Yf(j ) = F(j )H(j )時(shí)域卷積，頻域乘積。時(shí)域卷積，頻域乘積。七、頻域卷積七、頻域卷積 )()()()(22121 jFjFtftf 八、時(shí)域微分性八、時(shí)域微分性 設(shè)：設(shè)：f(t)F(j )，則：，則：)()( jFjdttdf推論推論： )()()( jFjdttfdnnn d)(ttf條條件件：例如例如 jtt )(1)(時(shí)域乘積的時(shí)域乘積的2 倍倍，頻域卷積。，頻域卷積。九、時(shí)域積分性九、時(shí)域積分性 j)j ()()0( d )(-FFft 十、頻域微分性：十、頻域微分性： )(jFj ttf )()()(

26、jFjtft(n)nn十一、頻域積分性十一、頻域積分性 ttftfj)()()0( d)j ( Ff(0)=0時(shí)頻域微分性與頻域積分性才是可逆的時(shí)頻域微分性與頻域積分性才是可逆的。十二、帕塞瓦爾定理十二、帕塞瓦爾定理： 若若f(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù) 02 2 2 d)j (1d)j (21d )(FFttfW時(shí)域中求得的能量與頻域中求得的能量相等時(shí)域中求得的能量與頻域中求得的能量相等 例例1：利用對(duì)稱性和時(shí)移性求下列傅里葉變換：利用對(duì)稱性和時(shí)移性求下列傅里葉變換的時(shí)間函數(shù)的時(shí)間函數(shù)f(t)()()1(0 jF)(2100 tje解解（1）)(2)(211)( ttjetf021)( )()(0

27、200 GtSa)2()( SatG)()()()(0200 GtjF )(2)(2)2( GGtSa 02 令令)()(00tSatf )()()()2(00 jF例例2：求：求f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)F( j)abA 解：應(yīng)用時(shí)域微分性解：應(yīng)用時(shí)域微分性 dttf)(條件：條件：t0-aAf(t)abb)(abA )(abA )(abA )(abA t t0 0-a-af”(”(t t) )a a-bb bt t0 0-a-af(t)a a-b-bb b)()( )()()( btatatbtabAtf )( bjajajbjeeeeabAtf cos2cos2 ababA )cosc

28、os(2)(coscos2)(22 baabAjababAjF 35 35 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換一、常見周期信號(hào)的傅里葉變換一、常見周期信號(hào)的傅里葉變換 1 1復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào) ttft ,e)(0j)( 2e1)( 0 j0 ttf )( 21 |F( j)|0(2)o2余弦、正弦信號(hào)余弦、正弦信號(hào) )e(e21cos)( j j0100 ttttf )()(00 F1( j)0()o()-o)()( j)ej(e21sin)(00 j j0200 ttttfImF2( j)0(-)o()-o3 3單位沖激序列信號(hào)單位沖激序列信號(hào) nTnTtt)()( f(t)t0(

29、1)(1)(1)(1)(1)T2T-T-2TF( j)0()- ()()()()2 -2 nnnnTF)()( 2)j ( ntnTTt je1)( 2 20 j1e1de )(1 /TTtnTnTTttTF 結(jié)論：周期信號(hào)的傅里葉結(jié)論：周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是離散的級(jí)數(shù)是離散的( (譜譜線線) )，其，其傅里葉傅里葉變換是離散的變換是離散的( (沖激序列沖激序列) ) ntnnTFtf j e)(一般周期信號(hào)一般周期信號(hào) nnTnFF)(2)j ( )()()(0ttftfTT nnTnnFnTFF)()j ( )( 2)j ()j ( 例例1：求周期信號(hào)：求周期信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函

30、數(shù)F( j)(cos)(10ttGtf )()(cos)()()(210tttGttftfT )()()(21 jFjFjF )2(21)2(21)(1 SaSajF nnnnTnTnjF)()2(2)()(2 解：解：t cos2 2-2-2- 0.5- tf(t)1 1 nnSaSajF)()2(21)2(21)( )()2()2(2 nSaSan )()2) 1()2) 1(2 nnSanSan )( )()(0周周期期延延拓拓TTtftf )()()(0tGtftfTT 2TT23T02T T 23T )(tfT10)(0tf1分別求分別求Fn , F(j ) 22

31、022 )(1)(1TTtjnTTtjnTndtetfTdtetfTF 2200)()()(TTtjtjdtetfdtetfjF 二、傅里葉級(jí)數(shù)和二、傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系傅里葉變換的關(guān)系比較上面兩式可知比較上面兩式可知Fn與與 F(j )的關(guān)系：的關(guān)系： nnjFTF )(10 nnTFjF)(0對(duì)于周期信號(hào)可據(jù)其一個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)求對(duì)于周期信號(hào)可據(jù)其一個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)求傅立葉變換后求級(jí)數(shù)；反之亦可。傅立葉變換后求級(jí)數(shù)；反之亦可。 nnTnFF)(2)j ( 36 36 連續(xù)信號(hào)的抽樣定理連續(xù)信號(hào)的抽樣定理 一、限帶信號(hào)一、限帶信號(hào)|F( j )|=0，（，（| | m） m為信號(hào)為信號(hào)f

32、( (t t) )的最高頻率的最高頻率 F( j)0m-mG (t）t102 2 脈沖信號(hào)可以近似為頻率為脈沖信號(hào)可以近似為頻率為2 / 的限帶信號(hào)的限帶信號(hào)0)2(Sa 2二二抽樣信號(hào)及其頻譜：抽樣信號(hào)及其頻譜： f(t)fS(t)s(t)連續(xù)連續(xù)信號(hào)信號(hào)抽樣序列抽樣序列( (沖激串，矩形窄脈沖串等沖激串，矩形窄脈沖串等) )( (開關(guān)函數(shù)開關(guān)函數(shù)) )抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)若序列等間隔，為若序列等間隔，為TS ，則為均勻抽樣，則為均勻抽樣抽樣周期0m-mf(t)t0S(t)t0(1)TS2TS-TS-2TSS ( j)0S-S(S)(S)(S) *fS(t)t0fS(0)TS2TS-TS-2TS

33、fS(2TS)FS( j)0S- -SmS - -m 當(dāng)當(dāng) S2 m時(shí)，時(shí)，F(xiàn)S(j)是是F( j)的的周期延拓周期延拓，因，因而而fS(t)包含了包含了f(t)的全部信息，從抽樣信號(hào)的全部信息，從抽樣信號(hào)fS(t)可可以以恢復(fù)原信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)f(t)。當(dāng)當(dāng) S2 m時(shí)，頻譜出現(xiàn)重疊時(shí)，頻譜出現(xiàn)重疊(稱為稱為混疊混疊現(xiàn)象現(xiàn)象)，不能從，不能從fS(t)恢復(fù)恢復(fù)f(t)，信號(hào)失真。，信號(hào)失真。 1、均勻沖激抽樣均勻沖激抽樣(理想抽樣理想抽樣)：設(shè)抽樣周期為：設(shè)抽樣周期為TS ( (抽樣角頻率為抽樣角頻率為S) )， （周周期期沖沖激激脈脈沖沖） )()()( nSTnTtttsS nSSnSSS

34、nFTnFF)( j 1 )()j ( 21)j ( nSSnS)()j ( )()()()()(ttftstftfSTS 2、矩形脈沖抽樣矩形脈沖抽樣(自然抽樣自然抽樣) 抽樣序列是周期矩形脈沖序列，周期為抽樣序列是周期矩形脈沖序列，周期為TS( (S) ) )()2(Sa 2)j ()()( nSSSTnnTStptsS nSSSSTSnnTFFtptftstftfS)()2(Sa 2)j ( 21)j ()()()()()( nSSSSnFnTF)( j )2(Sa)j ( 三、時(shí)域抽樣定理三、時(shí)域抽樣定理1時(shí)域抽樣定理時(shí)域抽樣定理：一個(gè)一個(gè)最高頻率為最高頻率為fm m( (角頻率角頻率

35、為為m m) )的限帶信號(hào)的限帶信號(hào)f( (t t) )可以用均勻等間可以用均勻等間隔隔TS 1/2fm 抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)fS(t)= f(nTS)的樣點(diǎn)值唯一確的樣點(diǎn)值唯一確定；允許的最大抽樣間隔稱為定；允許的最大抽樣間隔稱為奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)間隔；間隔；允許的最小抽樣頻率稱為允許的最小抽樣頻率稱為奈奈奎斯特奎斯特(Nyquist)(Nyquist)頻率頻率. 該定理表明在該定理表明在滿足滿足TS 1/2fm條件下所得到的條件下所得到的抽樣點(diǎn)的值抽樣點(diǎn)的值f(nTS)包含了原信號(hào)包含了原信號(hào)f(t)的全部信息，的全部信息，因此因此對(duì)對(duì)f(nTS)的傳輸可代替

36、對(duì)的傳輸可代替對(duì)f(t)的傳輸?shù)膫鬏敗?(21)100()(200 GtSatf )(100)(200 GjF 1002002 mm 100222 mmsff1001 ssfTtttf100100sin)( 例例2：信號(hào)：信號(hào) ，將它進(jìn)行沖激抽樣，為，將它進(jìn)行沖激抽樣，為使抽樣信號(hào)頻譜不產(chǎn)生混疊，求最低頻率使抽樣信號(hào)頻譜不產(chǎn)生混疊，求最低頻率fs和奈奎和奈奎斯特間隔斯特間隔Ts解：解：2原信號(hào)原信號(hào)f(t)的恢復(fù)的恢復(fù) 由抽樣定理知通過一個(gè)截止頻率為由抽樣定理知通過一個(gè)截止頻率為 m C S- m的的理想低通濾波器理想低通濾波器(H(j )為門為門) )可從可從FS(j )中取出中取出F(j

37、)，從而獲得，從而獲得f( (t t) )。F( j)0m-mf(t)t0H( j)0C-C理想低通濾波器fS(t)f(t)FS( j)0S-SmS-mfS(t)t0fS(0)TS2TS-TS-2TSfS(2TS)F F(j(j )=)=H H(j(j ) )F FS S(j(j ) )(Sa)j ()( CC1 tTHthS F)()()()()()(thttfthtftfSTS )(Sa )()( CCtTnTtnTfSnSS nSSSnTtnTfT)(Sa)( CC若若TS取取1/21/2fm m，且，且 C取取 m，則上式化為，則上式化為 nSSnTtnTftf)(Sa)()(m四、頻

38、域抽樣定理四、頻域抽樣定理 一個(gè)在一個(gè)在(tm , tm )區(qū)間以外為零的時(shí)限信號(hào)區(qū)間以外為零的時(shí)限信號(hào)f(t)的的F(j)，可以唯一地由其在均勻間隔，可以唯一地由其在均勻間隔fS 1/2tm上的樣點(diǎn)值上的樣點(diǎn)值F( jn S)唯一確定。因?yàn)槲ㄒ淮_定。因?yàn)楫?dāng)當(dāng)fS=1/2tm時(shí)，頻域中抽樣頻率間隔不大于時(shí)，頻域中抽樣頻率間隔不大于1/2tm ，則在時(shí)域中波形不會(huì)產(chǎn)生混疊，此，則在時(shí)域中波形不會(huì)產(chǎn)生混疊，此時(shí)可以不失真恢復(fù)時(shí)可以不失真恢復(fù)F( j)。 nmnttnFF) (Sa)j()j (m 37 37 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析H( p)f(t)yf(t)H( j)F( j)Yf

39、( j)()()(tfthtyf )j ()j ()j (FHYf 時(shí)域卷積性質(zhì)時(shí)域卷積性質(zhì)時(shí)域：時(shí)域： 頻域頻域： 一、基本信號(hào)一、基本信號(hào)e jt激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則在虛指數(shù)信號(hào)，則在虛指數(shù)信號(hào)e jt(- - t )激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)為：激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)為： )j (ee )(ee )()(e)(j jj )(j j Hdhdhthtyttttf )( )j ()j (e)(j tHHtytf結(jié)論：結(jié)論：e jt(- - t )激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含含穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，且等于，且等于e

40、jt乘以乘以h(t)的傅里葉的傅里葉變換變換H( j)(稱為稱為頻域系統(tǒng)函數(shù)頻域系統(tǒng)函數(shù)) 二、正弦周期信號(hào)二、正弦周期信號(hào)A Acos(cos( t+t+ ) )(-(- t t ) )激勵(lì)激勵(lì)下下的零狀態(tài)響應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)ee2)cos()()( j)( j ttAtAtf)(cos)j (ee2)j ()j(e)j (e2)( )( j)( j )( j)( j tHAAHHHAtyttttf 結(jié)論：結(jié)論：Acos( t+ )(- t )激勵(lì)下的零狀態(tài)響激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含應(yīng)只含同頻率的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量同頻率的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，且振幅為，且振幅為A|H( j )|，初相位為，初相位為 +

41、 ( )。 頻域求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻域求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法的方法: :先先求出求出H( j )，再，再按上結(jié)論直接寫出正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。按上結(jié)論直接寫出正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 三、非正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)三、非正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) nnTTtnnntnnFttfTFFtf de )(1 , e)(2 2j j /其其中中 ntnnfnHFty j e ) j()( 1 0)( cos) j( 2)0(nnnntnnHFHF nnntnnnHF)( j e) j( 結(jié)論：非正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只結(jié)論：非正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含周期性的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)含周期性的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

42、與各次諧波直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與各次諧波正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和)分量分量四、非周期信號(hào)四、非周期信號(hào)f(t) (- t )激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 從時(shí)域與頻域的相互關(guān)系已知從時(shí)域與頻域的相互關(guān)系已知 )j ()j ()j ( )()()(FHYtfthtyff i ) 由由f(t)求求F( j)； ii) 由系統(tǒng)頻率為由系統(tǒng)頻率為的頻域模型的頻域模型,實(shí)際上是將實(shí)際上是將“Ljw, C 1/ jw”的的“相量法相量法”,求系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H( j)；iii) 求：求： )j ()j ()j (FHYf iv) 求：求： )j ()j ()( 1 HFtyf F用頻域法求用頻域

43、法求LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的一般步驟為：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的一般步驟為：+ +f(t)- -i(t)4 2H4 + +F(j)- -I(j)j2 241)()()(jjFjIjH 例：圖示電路例：圖示電路V )(2)(10)(ttetft 解：畫出頻域電路解：畫出頻域電路求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)i(t)1)( 2110241)()()( jjjjFjHjI )2(12)()1)(2(5 jjjj jjjj 25 . 05 . 02)(25151)(211525 . 5 jjj A)(21)(5)(5 . 5)(2ttetetitt 五、頻域系統(tǒng)函數(shù)五、頻域系統(tǒng)函數(shù)H( j) 1定義定義 )( )j ()()j ()j ()j ( HthFYHfFH( j)的物理意義的物理意義 1)沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的頻譜密度函數(shù)的頻譜密度函數(shù)2)2)周期激勵(lì)時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)頻譜的加權(quán)函數(shù)周期激勵(lì)時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)頻譜的加權(quán)函數(shù)1、已知系統(tǒng)電路模型、微分方程或轉(zhuǎn)移算子則有、已知系統(tǒng)電路模型、微分方程或轉(zhuǎn)