一階線性微分方程及伯努利介紹

1、一階線性微分方程及伯 努利介紹第三節(jié)一階線性微分方程內(nèi)容要點(diǎn)一、一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程其中函數(shù)P(x)、Q(x)是某一區(qū)間I上的連續(xù)函 數(shù)當(dāng)e(x)=o,方程成為這個(gè)方程稱為一階齊次線性方程相應(yīng)地，方程稱為一階非齊次線性方程.方程的通解其中C為任意常數(shù).求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法:即在求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通 解后，將通解中的常數(shù)C變易為待定函數(shù)"(切，并設(shè)一階非齊次方程通解為-階非齊次線性方程的通解為二、伯努利方程：形如的方程稱為伯努利方程其中"為常數(shù)，且心0.伯努利方程是一類非線性方程，但是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性 的事實(shí)上，在

2、方程兩端除以/，得L（嚴(yán)）5）宀 Qg利用線性方程的求解方法求出通解后，再回代原變量，便可得到伯努利方程的 通解雅各布.伯努利(Jacob Berinoulli, 1654*1705)伯努利瑞士數(shù)學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)家。）654年12月27日生于瑞士巴塞爾； 1705年8月16日卒于巴塞爾。雅各布伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位藥商，1662年移居巴塞 爾。他的父親接過(guò)興隆的藥材生意，并成了市議會(huì)的一名成員和地方行政官。他的母親是市議員兼銀行家的女兒。雅格布在1684年一位富商的女兒結(jié)婚，他 的兒子尼古拉，伯努得是藝術(shù)家，巴塞爾市議會(huì)的議員和藝術(shù)行會(huì)會(huì)長(zhǎng)。雅格布畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，1671年獲

3、藝術(shù)碩士學(xué)位。這里的藝術(shù)是指紀(jì)自由 藝術(shù)；它包括算術(shù)、幾何.天文學(xué)、數(shù)理音樂的基礎(chǔ)，以及方法、修辭和雄辯 術(shù)等七大門類。遵照他父親的愿望，他又于1676年得碩士學(xué)位。同時(shí)他對(duì)數(shù)學(xué) 有著濃厚的興趣，但是他在數(shù)學(xué)上的興趣遭到父親的反對(duì)，他違背父親的意 愿，自學(xué)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)。1676年，他到日內(nèi)瓦做家庭教師。從1677年起, 他開始在這里寫內(nèi)容豐富的沉思錄。1678年雅格布進(jìn)行了他第一次學(xué)習(xí)旅 行，他到過(guò)法國(guó).荷蘭.英國(guó)和德國(guó)，與數(shù)學(xué)家們建立了廣泛的通信聯(lián)系。然 后他又在法國(guó)度過(guò)了兩年時(shí)光，這期間他開始研究數(shù)學(xué)問題。起初他還不知道 牛頓和萊布尼茲的工作，他首先熟悉了笛卡爾的幾何學(xué).活利斯的無(wú)窮 的

4、算術(shù)以及巴羅的幾何學(xué)講義。他后來(lái)逐漸地熟悉了萊布尼茲的工作。I68M682年間，他做了第二次學(xué)習(xí)旅行，接觸了許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。通過(guò)訪 問和閱讀文獻(xiàn)，豐富了他的知識(shí)，拓寬了個(gè)人的興趣。這次旅行，他在科學(xué)上的直接收獲就是發(fā)表了還不夠完備的有關(guān)慧星的理論以及受到人們高度評(píng)價(jià)的 重力理論。回到巴塞爾后，從1683年起，雅格布做了一些關(guān)于科技問題的文 章，并且也繼續(xù)研究數(shù)學(xué)著作。1687年，雅格布在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了他的 用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分方法 1684年之后，雅格布轉(zhuǎn)向 詭辯邏輯的研究。1685年出版了他最早的關(guān)于概率論的文章。由于受到活利斯 以及巴羅的涉及到數(shù)學(xué).光學(xué)、天文學(xué)的那些資料的影響，他又轉(zhuǎn)向了微分幾 何學(xué)。在這同時(shí)，他的弟弟約翰伯努利一直跟其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。1687年雅格布成為 巴塞爾科學(xué)院的國(guó)外院士，直到1705年去世。在這段時(shí)間里，他一直與萊布尼 茲保持著通信聯(lián)系。1699年，雅格布被選為巴黎科學(xué)院的國(guó)外院士，1701年被 柏林科學(xué)協(xié)會(huì)（即后來(lái)的柏林科學(xué)院）接受為會(huì)員雅各布伯努利是在