高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 11.3導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1、1排列、組合、二排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率項(xiàng)式定理和概率 第第 十十 一一 章章211.3導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 考考 點(diǎn)點(diǎn) 搜搜 索索瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線的斜率切線的斜率邊際成本邊際成本導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算高高 考考猜猜 想想以選擇題或填空題的形式考查導(dǎo)數(shù)的以選擇題或填空題的形式考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾何意義.3 1. 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處附近有定義，當(dāng)自處附近有定義，當(dāng)自變量在變量在x=x0處有增量處有增量x時(shí)，則函數(shù)時(shí)，則函數(shù)y=f(x)相應(yīng)相應(yīng)地有增量地有增量y=_.如果如果x0時(shí)，時(shí)，x與與y的比的比 (也叫函數(shù)的平均變化率也叫函數(shù)的平

2、均變化率)有極有極限限(即即 無限趨近于某個(gè)常數(shù)無限趨近于某個(gè)常數(shù))，我們就把這，我們就把這個(gè)極限值叫做個(gè)極限值叫做_，記作，記作y|x=x0，即即f (x0)= .f(x0+x)-f(x0)函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)yxyx0limxyx 4 2. 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每點(diǎn)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)x(a，b)，都，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f (x)，從而構(gòu)成了一，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)個(gè)新的函數(shù)f (x)，稱這個(gè)函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)f (x)為函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在開

3、區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，也可在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，也可記作記作y.即即 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)y|x=x0就是函數(shù)就是函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)(x0(a，b)上的導(dǎo)數(shù)上的導(dǎo)數(shù)f (x)在在x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即y|x=x0=_.f (x0)00()-( ) ( ) limlim.xxyf xxf xfxyxx 5 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么它處可導(dǎo)，那么它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示的曲線在相應(yīng)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示的曲線在相應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)M(x0，f(x0)處的處的_. (2

4、)設(shè)設(shè)s=s(t)是位移函數(shù)，則是位移函數(shù)，則s(t0)表示物表示物體在體在t=t0時(shí)刻的時(shí)刻的_. (3)設(shè)設(shè)v=v(t)是速度函數(shù)，則是速度函數(shù)，則v(t0)表示物表示物體在體在t=t0時(shí)刻的時(shí)刻的_. (4)設(shè)設(shè)c是成本，是成本，q是產(chǎn)量，若是產(chǎn)量，若c=c(q)，則，則c(q0)表示產(chǎn)量表示產(chǎn)量q=q0時(shí)的時(shí)的_.切線斜率切線斜率瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度加速度加速度邊際成本邊際成本6 4. 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)C為常數(shù)，則為常數(shù)，則C=_; (2)(xn)=_. 5. 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 如果如果f(x)，g(x)有導(dǎo)數(shù)，那么有導(dǎo)數(shù)，那么 f(x)g(x)=_； Cf(x

5、)= _. 盤點(diǎn)指南：盤點(diǎn)指南：f(x0+x)-f(x0); 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù); f (x0); 切線斜率；切線斜率； 瞬時(shí)速度；加速度；邊際成本；瞬時(shí)速度；加速度；邊際成本；0; nxn-1; f (x)g(x); Cf (x).0nxn-1f (x)gCf (x)7 如果質(zhì)點(diǎn)如果質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律按規(guī)律s=3+t2運(yùn)動(dòng)，則在一小運(yùn)動(dòng)，則在一小段時(shí)間段時(shí)間2,2.1中，相應(yīng)的平均速度是中，相應(yīng)的平均速度是( ) A. 4 B. 4.1 C. 0.41 D. 3 解解: . 選選B.B22(32.1 )-(32 )4.12.1-2svt8 若函數(shù)若函數(shù)f(x)=2x2

6、-1的圖象上一點(diǎn)的圖象上一點(diǎn)P(1,1)及及鄰近一點(diǎn)鄰近一點(diǎn)Q(1+x,1+y)，則，則 =( ) A. 4 B. 4+2x C. 4+x D. 4x+(x)2 解：解： . 選選B. Byx22(1)- (1)2(1) -1 -(2 1 -1) 4 2yfxfxxxxx 9 若存在過點(diǎn)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線的直線與曲線y=x3和和 都相切，則都相切，則a等于等于( ) A. -1或或 B. -1或或 C. 或或 D. 或或7 215-94yaxx25642147474256410 解解:設(shè)過設(shè)過(1,0)的直線與的直線與y=x3相切于相切于點(diǎn)點(diǎn)(x0, )， 所以切線方程為所以切線

7、方程為y- =3 (x-x0)， 即即y=3 x-2 . 又又(1,0)在切線上，則在切線上，則x0=0或或x0= . 當(dāng)當(dāng)x0=0時(shí)，由時(shí)，由y=0與與 相切可得相切可得a= ， 當(dāng)當(dāng)x0= 時(shí)，由時(shí)，由y= x- 與與 相切可得相切可得a=-1，所以選，所以選A. 30 x30 x30 x20 x20 x32215-94yaxx215-94yaxx25643227427411 1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y=(2x3-1)(3x2+x); (2)y=3(2x+1)2-4x. 解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)閥=6x5+2x4-3x2-x， 所以所以y=(6x5+2x4-3x2-

8、x)=30 x4+8x3-6x-1. (2)因?yàn)橐驗(yàn)閥=3(4x2+4x+1)-4x=12x2+8x+3， 所以所以y=(12x2+8x+3)=24x+8.題型題型1 求可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)12 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：求多項(xiàng)式型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)按求多項(xiàng)式型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)按各項(xiàng)分別求導(dǎo)即可，如果不是最簡(jiǎn)形各項(xiàng)分別求導(dǎo)即可，如果不是最簡(jiǎn)形式，則按整式的運(yùn)算法則先化簡(jiǎn)成多式，則按整式的運(yùn)算法則先化簡(jiǎn)成多項(xiàng)式，注意去括號(hào)時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)、符項(xiàng)式，注意去括號(hào)時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)、符號(hào)變錯(cuò)等錯(cuò)誤號(hào)變錯(cuò)等錯(cuò)誤. 13 函數(shù)函數(shù)y=(x+2a)(x-a)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為為( ) A. 2(x2-a2) B. 3(x2+a2) C.

9、 3(x2-a2) D. 2(x2+a2) 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閥=(x+2a)(x2-2ax+a2)=x3-3a2x+2a3， 所以所以y=3x2-3a2=3(x2-a2)，故選，故選C.C14 2. 設(shè)設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)(nN*)，求，求 f (0). 解解:設(shè)設(shè) f(x)=an+1xn+1+anxn+a1x+a0(nN*)， 則則f (x)=(n+1)an+1xn+nanxn-1+a2x+a1， 所以所以f (0)=a1, 易知易知a1=12n=n!， 所以所以f (0)=n!. 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是函數(shù),求得導(dǎo)函數(shù)求得導(dǎo)函數(shù)后后,再代入

10、求值可得導(dǎo)函數(shù)的值再代入求值可得導(dǎo)函數(shù)的值.涉及到系數(shù)問題涉及到系數(shù)問題,可結(jié)合二項(xiàng)展開式原理及方法求得指定項(xiàng)的系數(shù)可結(jié)合二項(xiàng)展開式原理及方法求得指定項(xiàng)的系數(shù). 題型題型2 求導(dǎo)函數(shù)的值求導(dǎo)函數(shù)的值15 已知已知f(x)=ax3+9x2+6x-7，若，若f (-1)=4，則，則a的值等于的值等于( ) A. B. C. D. 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閒 (x)=3ax2+18x+6， 所以由所以由f (-1)=4，得，得3a-18+6=4，即，即a= ， 故選故選B.B19316610313316616 3. 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3-x. (1)求曲線求曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)M(t，f(t)

11、處的切線處的切線方程；方程； (2)設(shè)設(shè)a0，如果過點(diǎn)，如果過點(diǎn)(a，b)可作曲線可作曲線 y=f(x)的三條切線，證明：的三條切線，證明：-abf(a). 解：解：(1)函數(shù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為f (x)=3x2-1. 曲線曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)M(t，f(t)處的切線方程為處的切線方程為 y-f(t)=f (t)(x-t)，即，即y=(3t2-1)x-2t3.題型題型3 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 17 (2)證明證明:因?yàn)榍芯€過點(diǎn)因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(a，b)，則存在，則存在t,使使b=(3t2-1)a-2t3. 于是，若過點(diǎn)于是，若過點(diǎn)(a, b)可作曲線可作曲線y=f(x

12、)的的三條切線，則方程三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0有三個(gè)相有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根異的實(shí)數(shù)根. 記記g(t)=2t3-3at2+a+b，則，則g(t)=6t2-6at=6t(t-a). 當(dāng)當(dāng)t變化時(shí)，變化時(shí)，g(t)，g(t)的變化情況如的變化情況如下表：下表： 18t(-,0)0(0,a)a(a,+)g(t)+0-0+g(t)極大極大值值a+b極小值極小值b-f(a) 當(dāng)當(dāng)a+b=0時(shí)，解方程時(shí)，解方程g(t)=0得得t=0，或，或t= ，即方程即方程g(t)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)當(dāng)b-f(a)=0時(shí)，解方程時(shí)，解方程g(t)=0得得t= ，或，或t=

13、a，即方程，即方程g(t)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.32a2a19 綜上，如果過綜上，如果過(a，b)可作曲線可作曲線y=f(x)的的三條切線，即三條切線，即g(t)=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根， 則則 , 即即-ab0 b-f(a)020 過點(diǎn)過點(diǎn)P(-1，2)且與曲線且與曲線y=3x2-4x+2在在M(1，1)處的切線平行的直線處的切線平行的直線方程是方程是_. 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閥=6x-4， 所以切線的斜率為所以切線的斜率為k=y|x=1=61-4=2. 故所求直線為故所求直線為y-2=2(x+1)，即即2x-y+4=0.2x-y+4=021 1. 一質(zhì)

14、點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，它所經(jīng)過的路一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，它所經(jīng)過的路程和時(shí)間的關(guān)系是程和時(shí)間的關(guān)系是s=3t2+t，則，則t=2時(shí)的瞬時(shí)時(shí)的瞬時(shí)速度為速度為_. 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閟=6t+1，故，故t=2時(shí)的瞬時(shí)速時(shí)的瞬時(shí)速度為度為v=s|t=2=13.1322 2. 求過點(diǎn)求過點(diǎn)P(2，0)且與曲線且與曲線y=x3相切的相切的直線方程直線方程. 解：解：設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)P1(x1， ). 因?yàn)橐驗(yàn)閥=(x3)=3x2， 所以切線方程為所以切線方程為 ， 即即 . 將將P(2，0)代入，得代入，得 ，解得，解得x1=0或或x1=3. 故所求切線方程為故所求切線方程為y=0或或y=27x-54.31x32111

15、-3( -)y xxx x23113-2yx xx231106-2xx23 1. 高考對(duì)這一節(jié)的考查主要是導(dǎo)數(shù)的概高考對(duì)這一節(jié)的考查主要是導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的背景、導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式及運(yùn)算法念、導(dǎo)數(shù)的背景、導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則則. 2. 導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式(xn)=nxn-1中，指數(shù)中，指數(shù)n為正整為正整數(shù)，但數(shù)，但n其實(shí)可為有理數(shù)，這個(gè)推廣能夠方其實(shí)可為有理數(shù)，這個(gè)推廣能夠方便地解決很多問題便地解決很多問題.如經(jīng)常出現(xiàn)的函數(shù)如經(jīng)常出現(xiàn)的函數(shù)y=ax+ ，就可以應(yīng)用這個(gè)公式求導(dǎo)：，就可以應(yīng)用這個(gè)公式求導(dǎo)： y=a- ，進(jìn)而可以處理相關(guān)的問題了，如單，進(jìn)而可以處理相關(guān)的問題了，如單調(diào)性、最值等調(diào)性、最值等.bx2bx24 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是重點(diǎn)考查內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是重點(diǎn)考查內(nèi)容，這也體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性這也體現(xiàn)了