二維波動(dòng)方程的有限差分法

1、生實(shí)驗(yàn)報(bào)實(shí)驗(yàn)課程名稱偏微分方程數(shù)值解數(shù)統(tǒng)學(xué)院開課實(shí)驗(yàn)室數(shù)統(tǒng)年級(jí) 2013 專業(yè)班信計(jì)02班學(xué)生姓名開課時(shí)間 2015至2016學(xué)年第2學(xué)期總成績(jī)教師簽名數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院制開課學(xué)院、實(shí)驗(yàn)室： 數(shù)統(tǒng)學(xué)院實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2016年6月20日實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱二維波動(dòng)方程的有限差分法實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型驗(yàn)證演示綜合設(shè)計(jì)其他指導(dǎo)教師曾芳成績(jī)是一.實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^該實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生掌握求解二維波動(dòng)方程的有限差分法， 并能通過計(jì)算機(jī)語言編程 實(shí)現(xiàn)。二.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容考慮如下的初值問題:u x, y,0u x, y,t2u,x,y y0,1 2,tx,y,00,1.4sin xsin y,-u0, x,y ,t 0,1.40, x, y20,

2、1(1)在第三部分寫出問題（1）三層顯格式。根據(jù)你寫出的差分格式，編寫有限差分法程序。取 h 0.1,該問題的解析解為u x,y,t示，對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。4.將所寫程序放到第四部分。0.1h，分別將t 0.5,1.0,1.4時(shí)刻的數(shù)值解畫圖顯示。cosJ2 tsin xs in y，將四個(gè)時(shí)刻的數(shù)值解的誤差畫圖顯三. 實(shí)驗(yàn)原理、方法（算法）、步驟11 4網(wǎng)格劃分 h 0.1,0.1h，故 N - 10,M 一 140，Xiih, yjhjh, i,j 0,1,L ,10 ,tk k ，k0,1丄,140。在內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)Xi,yj,tk ,利用二階中心差商，對(duì)（1 ）建立差分格式:k 1Ui,

3、jkk 12Ui,jUi,jkUi 1,jc k2Ui,jkUi 1,jkkkUi,j 12Ui,jUi,j 12h2h2整理得到：k 1ui,j2kr ui 1,jkui 1,jkUi,j 1kui,j 1CX 2kk 12 4rui,jU,j其中，i,j 1,2,L,9, k 1,2, L,139，網(wǎng)比r h0.1，局部截?cái)嗾`差為考慮邊界條件u x,y,t0, x,y,t 0,1.4，差分格式為：kkU0,0U0,NUN,0kUN ,N0,k0,1,L ,140考慮初始條件U x,y,0sin xsin y，差分格式為：u0. Ui, jsinxi sinyjsinih sinjh ,i,

4、j 0,1,L ,10考慮初始條件Ut X, y,020, x, y0,1 ，利用二階差商近似：1ui,j1ui,j0,i, j0,1,L,1020h2。設(shè)k 0時(shí)刻的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，貝W足差分格式（2），代入上式得到:120000C/201ui,j rui 1,j ui 1,j u,j 1 ui,j 12 4r ui,j ui,j(7)將（6）得到的結(jié)果Sj Ui,1代入（7、中，整理得到:1ui,j1 2 0 0 0 0 .20 2r Ui 1,J Ui 1,J Ui,j 1 Ui,j 11 2r Ui,j綜上（2）、(4 )、（5）、（8）得到三層顯格式的差分格式為:0Ui,jUi,jk 1u

5、i,jsin2r20.1 ,2 kkkkc/2kr Ui 1,j Ui 1,j Ui,j 1Ui,j 12 4r 嘔i,j 1,2,L ,9,k 1,2,L ,139kkkU0,0U0,NUN,0Xi sin yj sinuN,N 0,k0,1,L ,140ih sin jh ,i, j0,1,L0 0 0ui 1,jUi 1,j Ui,j 1局部截?cái)嗾`差為00“Ic 20 Ui,j 112rUi,j,i, J2 h2。k 1Ui,j,100,1L ,10四. 實(shí)驗(yàn)環(huán)境(所用軟件、硬件等)及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)文件Matlab%二維波動(dòng)方程數(shù)值計(jì)算(關(guān)鍵：怎么運(yùn)用i,j,k三個(gè)指標(biāo)建立循環(huán))cic;%可以

6、將代碼換成函數(shù)m文件h=0.1;tau=0.1*h;%定義步長(zhǎng)空間網(wǎng)格剖分精確解計(jì)算r=tau/h;% 網(wǎng)比x,y,t=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);% uu=cos(sqrt (2)*p i*t).*si n(pi *x).*si n(p );%第一層網(wǎng)點(diǎn)計(jì)算u=si n(pi *x).*si n(pi *y);%初始條件u1=u(:.:.1);%因?yàn)榇藭r(shí)得到的u為11x11x141，故只取第一層%第二層網(wǎng)點(diǎn)計(jì)算 for i=2:10for j=2:10u(i.j.2)=0.5*r2*(u(i+1.j.1)+u(i-1.j.1)+u(i.j+1.1)+u(i

7、.j-1.1)+(1-2*r2)*u(i.j.1); u(11.:.2)=0;u(:.11.2)=0;end end u2=u(:,:,2);%第3-141層網(wǎng)點(diǎn)計(jì)算 for k=2:140for i=2:10for j=2:10u(i.j.k+1)=rA2*(u(i+1.j.k)+u(i-1.j.k)+u(i.j+1.k)+u(i.j-1.k)+(2-4*rA2)*u(i.j.k)-u(i.j.k-1):u(11,:,k+1)=0;u(:,11,k+1)=0;endendend%結(jié) 果 分圖%wucha=abs(u-uu);% 求絕對(duì)誤差矩陣 11x11x141wucha1=wucha(:,

8、:,11);%計(jì)算t=0.1時(shí)刻的絕對(duì)誤差矩陣11x11wucha2=wucha(:,:,51);%計(jì)算t=0.5時(shí)刻的絕對(duì)誤差矩陣11x11wucha3=wucha(:,:,101);%計(jì)算t=1.0時(shí)刻的絕對(duì)誤差矩陣11x11wucha4=wucha(:,:,141);%計(jì)算t=1.4時(shí)刻的絕對(duì)誤差矩陣11x11x0=0:h:1;y0=0:h:1;%析%作t=0.1時(shí)刻的絕對(duì)誤差圖sub plot(2,2,1);mesh(x0,y0,wucha1);title('t=0.1時(shí)刻的絕對(duì)誤差');xlabel('x 變量');ylabel('y 變量&#

9、39;);zlabel('%作t=0.5時(shí)刻的絕對(duì)誤差圖絕對(duì)誤差值'）;sub plot(2,2,2);mesh(x0,y0,wucha2);title('t=0.5時(shí)刻的絕對(duì)誤差');xlabel('x 變量');ylabel('y 變量');zlabel('%作t=1.0時(shí)刻的絕對(duì)誤差圖絕對(duì)誤差值'）;sub plot(2,2,3);mesh(x0,y0,wucha3);title（'t=1.0時(shí)刻的絕對(duì)誤差'）;xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量&#

10、39;）;zlabel（'%作t=1.4時(shí)刻的絕對(duì)誤差圖絕對(duì)誤差值'）;sub plot(2,2,4);mesh(x0,y0,wucha4);title（'t=1.4時(shí)刻的絕對(duì)誤差'）;xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'絕對(duì)誤差值'）;% 四個(gè)時(shí)刻數(shù)值解、精確 解%作t=0.1、0.5時(shí)刻的數(shù)值解與精確解 sub plot（2,2,1）;mesh（x0,y0,u（:,:,11）;% 作 t=0.1 時(shí)刻的數(shù)值解 title（'t=0.1時(shí)刻的數(shù)值解'）;xl

11、abel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'u 值'）; sub plot（2,2,2）;mesh（x0,y0,uu（:,:,11）;% 作 t=0.1 時(shí)刻的精確解 title（'t=0.1時(shí)刻的精確解'）;xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'u 值'）;%作t=0.5時(shí)刻的數(shù)值解與精確解 sub plot（2,2,3）;mesh（x0,y0,u（:,:,51）;% 作 t=0.5 時(shí)刻的數(shù)值解 title（

12、9;t=0.5 時(shí)刻的數(shù)值解'）;xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'u 值'）;sub plot（2,2,4）;mesh（x0,y0,uu（:,:,51）;% 作 t=0.5 時(shí)刻的精確解 title（'t=0.5時(shí)刻的精確解'）;xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'u 值'）;% 分別復(fù)希 y 粘貼運(yùn) 行%作t=1.0、1.4時(shí)刻的數(shù)值解與精確解 sub plot（2,2,1）;mesh（x0

13、,y0,u（:,:,101）;% 作 t=1.0 時(shí)刻的數(shù)值解 title（'t=1.0 時(shí)刻的數(shù)值解'）;xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'u 值'）; sub plot（2,2,2）;mesh（x0,y0,uu（:,:,101）;% 作 t=1.0 時(shí)刻的精確解 title（'t=1.0 時(shí)刻的精確解）；xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'u 值'）;%作t=1.4時(shí)刻的數(shù)值解與精確解 su

14、b plot（2,2,3）;mesh（x0,y0,u（:,:,141）;% 作 t=1.4 時(shí)刻的數(shù)值解 title（'t=1.4時(shí)刻的數(shù)值解'）;xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'u 值'）;sub plot（2,2,4）;mesh（x0,y0,uu（:,:,141）;% 作 t=1.4 時(shí)刻的精確解 title（'t=1.4時(shí)刻的精確解'）;xlabel（'x 變量'）;ylabel（'y 變量'）;zlabel（'u 值'

15、;）;五. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及實(shí)例分析1、t 0.1、0.51.01.4時(shí)刻的數(shù)值解與精確解圖a丄一v*t+Hfl0107=D4圖 1 t=0.1asat04Q0H-ArTHOJ(Siff、0.5時(shí)刻的數(shù)值解、精確解.1iQi b-1 fi."ri 'bi' *區(qū)打穿號(hào)<12fl 1 站 i t '.ih HK0204.厶鯉4fl Op：*- 卩諾曲利6J41D4一404DBcert詁圖2 t=1.0、1.4時(shí)刻的數(shù)值解、0.17Pp代表維數(shù)，本文P 2注：上兩圖為四個(gè)時(shí)刻的數(shù)值解與精確解，r -h，三層顯格式達(dá)二階收斂，不難看出，收斂效果很好，符合理論。下圖是

16、四個(gè)時(shí)刻的絕對(duì)誤 差圖像，從圖中看出，絕對(duì)誤差較小，且經(jīng)過計(jì)算得到，收斂階近似于2，正好符合理論值。2、t 0.1、0.51.01.4時(shí)刻的絕對(duì)誤差圖f1Du_fltil* 出”口.斧時(shí) ilu&i>ieC'DQ-T；«訥.mon鳥- A亠、JS=.40D*O'«Q»0i*¥圖3四個(gè)時(shí)刻的絕對(duì)誤差3、四個(gè)時(shí)刻（t=0.1、0.5、1.0、1.4 ）的絕對(duì)誤差表t=o.i時(shí)刻的絕對(duì)誤差0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0001

17、0.00010.00020.00020.00020.00020.00020.00010.00010.00000.00010.00030.00040.00040.00050.00040.00040.00030.00010.00000.00020.00040.00050.00060.00060.00060.00050.00040.00020.00000.00020.00040.00060.00070.00070.00070.00060.00040.00020.00000.00020.00050.00060.00070.00080.00070.00060.00050.00020.00000.0002

18、0.00040.00060.00070.00070.00070.00060.00040.00020.00000.00020.00040.00050.00060.00060.00060.00050.00040.00020.00000.00010.00030.00040.00040.00050.00040.00040.00030.00010.00000.00010.00010.00020.00020.00020.00020.00020.00010.00010.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000.0000.

19、0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.00000000000000t=0.5時(shí)刻的絕對(duì)誤差0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000000000000000.0000.0000.0010.0010.0020.0020.0020.0010.0010.0000.000073812183700.0000.0010.0020.0030.0040.0040.0040.0030.0020.0010.000035402045300.0000.0010.0030.0040.0050.0050.0050

20、.0040.0030.0010.000084758574800.0000.0020.0040.0050.0060.0060.0060.0050.0040.0020.000010558550100.0000.0020.0040.0050.0060.0070.0060.0050.0040.0020.000022881882200.0000.0020.0040.0050.0060.0060.0060.0050.0040.0020.000010558550100.0000.0010.0030.0040.0050.0050.0050.0040.0030.0010.000084758574800.0000

21、.0010.0020.0030.0040.0040.0040.0030.0020.0010.000035402045300.0000.0000.0010.0010.0020.0020.0020.0010.0010.0000.000073812183700.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.00000000000000t=1.0時(shí)刻的絕對(duì)誤差0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000000000000000.0000.0010.0030.0040.0050.005

22、0.0050.0040.0030.0010.000061313131600.0000.0030.0050.0080.0090.0100.0090.0080.0050.0030.000019261629100.0000.0040.0080.0110.0130.0130.0130.0110.0080.0040.000032329232300.0000.0050.0090.0130.0150.0160.0150.0130.0090.0050.000016264626100.0000.0050.0100.0130.0160.0170.0160.0130.0100.0050.00003194249130

23、0.0000.0050.0090.0130.0150.0160.0150.0130.0090.0050.000016264626100.0000.0040.0080.0110.0130.0130.0130.0110.0080.0040.000032329232300.0000.0030.0050.0080.0090.0100.0090.0080.0050.0030.000019261629100.0000.0010.0030.0040.0050.0050.0050.0040.0030.0010.000061313131600.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000