高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 兩條直線的交點坐標(biāo)與距離公式 新人教B版

1、名師伴你行名師伴你行名師伴你行兩直線的交兩直線的交點與距離公點與距離公式式1.能用解方程組的方法求兩條相能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)交直線的交點坐標(biāo).2.掌握兩點間的距離公式、點到掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離直線間的距離.名師伴你行 從近兩年的高考試題來看，兩條直線的位置關(guān)系、從近兩年的高考試題來看，兩條直線的位置關(guān)系、兩條直線的平行與垂直、點到直線的距離、兩條平行兩條直線的平行與垂直、點到直線的距離、兩條平行線間的距離、兩點間的距離是高考的熱點，題型既有線間的距離、兩點間的距離是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題

2、，又有解答題，難度為中、低檔題選擇題、填空題，又有解答題，難度為中、低檔題.客客觀題主要考查距離公式的應(yīng)用；主觀題主要是在知識觀題主要考查距離公式的應(yīng)用；主觀題主要是在知識交匯點處命題，全面考查基本概念、基本運算能力交匯點處命題，全面考查基本概念、基本運算能力. 預(yù)測預(yù)測2012年高考仍將以點到直線的距離、兩點間年高考仍將以點到直線的距離、兩點間的距離、兩條直線的平行與垂直為主要考點，題型以的距離、兩條直線的平行與垂直為主要考點，題型以選擇題、填空題為主，重點考查運算能力與對概念的選擇題、填空題為主，重點考查運算能力與對概念的理解能力理解能力. 1、兩直線的交點 兩條直線兩條直線l1:A1x+

3、B1y+C1=0與與l2:A2x+B2y+C2=0的的交點坐標(biāo)對應(yīng)的是方程組交點坐標(biāo)對應(yīng)的是方程組 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0的解，的解，名師伴你行其中其中當(dāng)當(dāng)A1B2-A2B10時時,兩條直線兩條直線 ， 當(dāng)當(dāng)A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C10（或（或B1C2-B2C10）時）時,兩條直線無交點兩條直線無交點,即即 ，當(dāng)當(dāng)A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C1=0(或或B1C2-B2C1=0)時時,兩條直線有無數(shù)個公共兩條直線有無數(shù)個公共點點,即即 . 2、距離公式 (1)兩點間的距離兩點間的距離 平面上兩點平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,

4、y2)間的距離間的距離|P1P2|= . (2)點到直線的距離點到直線的距離 平面上一點平面上一點P(x1,y1)到一條直線到一條直線l:Ax+By+C=0的距離的距離d= .相交于一點相交于一點 平行平行 2 21 12 22 21 12 2) )y y- -(y(y) )x x- -(x(x+2 22 20 00 0B BA A| |C CB By yA Ax x| |+名師伴你行重合重合 (3) (3)兩平行線的距離兩平行線的距離 若若l1,l2是平行線，求是平行線，求l1,l2距離的方法：距離的方法： 求一條直線上一點到另一條直線的距離求一條直線上一點到另一條直線的距離. 設(shè)設(shè)l1:A

5、x+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,則則d= .2 22 22 21 1B BA AC C- -C C+名師伴你行一條直線過點一條直線過點P(1,2)且被兩條平行直線且被兩條平行直線4x+3y+1=0和和4x+3y+6=0截取的線段長為截取的線段長為 ，求這條直線的方程，求這條直線的方程. 【分析】【分析】確定一條直線需兩個獨立條件，本題中已確定一條直線需兩個獨立條件，本題中已知直線知直線l過點過點P（1，2），故只需再求出直線的斜率即），故只需再求出直線的斜率即可可.名師伴你行2【解析】【解析】（1）當(dāng)斜率不存在時，直線方程為）當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=1,與兩與兩直線的交點

6、為直線的交點為A(1, ),B(1, ),|AB|= .x=1不是所求直線不是所求直線.(2)當(dāng)斜率存在時當(dāng)斜率存在時,設(shè)為設(shè)為k,則所求直線的方程為則所求直線的方程為y-2=k(x-1),它與兩已知直線分別聯(lián)立它與兩已知直線分別聯(lián)立,求出它與兩已知直線的交求出它與兩已知直線的交點坐標(biāo)分別是點坐標(biāo)分別是A( , )，B( , ).由由|AB|2= =2,得得k=7或或k=- .故所求直線的方程為故所求直線的方程為x+7y-15=0或或7x-y-5=0.35 23531035 43k7k3 712243k5k43k5 名師伴你行310 43k8k5 43k12k3 43kk108 求與已知兩直線

7、的交點有關(guān)問題，可有以下兩種解求與已知兩直線的交點有關(guān)問題，可有以下兩種解法：法： （1）先求出兩直線交點，將問題轉(zhuǎn)化為過定點的直）先求出兩直線交點，將問題轉(zhuǎn)化為過定點的直線，然后再依其他條件求解線，然后再依其他條件求解. （2）運用過兩直線交點的直線系方程：若兩直線）運用過兩直線交點的直線系方程：若兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交點，則過有交點，則過l1與與l2交點的直線系方程為交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(為待定常數(shù)，不包括直線為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他，設(shè)出方程后再利用其他條件求解條件

8、求解.名師伴你行求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線l1:3x+2y-1=0和和l2:5x+2y+1=0的交點的交點,且垂且垂直于直線直于直線l3:3x-5y+6=0的直線的直線l的方程的方程.名師伴你行 3x+2y-1=0 5x+2y+1=0,得得l1,l2的交點的交點(-1,2),再由再由l3的斜率為的斜率為 求出求出l的斜率為的斜率為- ,于是由直線的點斜式方程求出于是由直線的點斜式方程求出l:y-2=- (x+1),即即5x+3y-1=0.【解析】【解析】解法一解法一:先解方程組先解方程組533535 解法二解法二:ll3,故故l是直線系是直線系5x+3y+C=0中的一條中的一條直線直線,而而l過過l

9、1,l2的交點的交點(-1,2),故故5(-1)+32+C=0,由此由此求出求出C=-1.故故l的方程為的方程為5x+3y-1=0. 解法三解法三:l過過l1,l2的交點的交點,故故l是直線系是直線系3x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一條中的一條,將其整理將其整理,得得(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0.其斜率其斜率解得解得= ,代入直線系方程即得代入直線系方程即得l的方程為的方程為5x+3y-1=0.352253 名師伴你行51已知點已知點P（2，-1）.（1）求過）求過P點且與原點距離為點且與原點距離為2的直線的直線l的方程；的方程；（2）求過）求過P點且與原點距離最大的直

10、線點且與原點距離最大的直線l的方程，最大距的方程，最大距離是多少？離是多少？ 【分析】【分析】設(shè)出直線方程，利用點到直線距離公式求系設(shè)出直線方程，利用點到直線距離公式求系數(shù)即可數(shù)即可. 【解析】【解析】（1）當(dāng)當(dāng)l的斜率的斜率k不存在時顯然成立，不存在時顯然成立，l的方程為的方程為x=2;當(dāng)當(dāng)l的斜率的斜率k存在時，存在時，設(shè)設(shè)l:y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0.名師伴你行由點到直線距離公式得由點到直線距離公式得 ,k= ,l:3x-4y-10=0.故所求故所求l的方程為的方程為x=2或或3x-4y-10=0.(2)作圖可得過作圖可得過P點與原點點與原點O距離最大的直線是過

11、距離最大的直線是過P點且與點且與PO垂直的直線，由垂直的直線，由lOP，得，得k1kOP=-1,所以所以kl= .由直線方程的點斜式得由直線方程的點斜式得y+1=2(x-2),即即2x-y-5=0.即直線即直線2x-y-5=0是過是過P點且與原點點且與原點O距離最大的直線，最大距離最大的直線，最大距離為距離為 =5.名師伴你行2k11k22 432k1op 55 （1）點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式）點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式是常用的公式，應(yīng)熟練掌握是常用的公式，應(yīng)熟練掌握. （2）點到幾種特殊直線的距離：）點到幾種特殊直線的距離： 點點P(x0,y0)到到x軸的距離軸

12、的距離d=|y0|. 點點P(x0,y0)到到y(tǒng)軸的距離軸的距離d=|x0|. 點點P(x0,y0)到與到與x軸平行的直線軸平行的直線y=a的距離的距離d=|y0-a|. 點點P(x0,y0)到與到與y軸平行的直線軸平行的直線x=b的距離的距離d=|x0-b|.名師伴你行:設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為y-2=k(x+1),即即kx-y+k+2=0.由題意知由題意知即即|3k-1|=|-3k-3|,k=- .直線直線l的方程為的方程為y-2=- (x+1),即即x+3y-5=0.當(dāng)直線當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為的斜率不存在時，直線方程為x=-1，也符合題意，也符合題意.求過點求過點P（

13、-1，2）且與點）且與點A（2，3）和）和B（-4，5）距離相）距離相等的直線等的直線l的方程的方程.1 1k k| |2 2k k5 5- - -4 4k k| |1 1k k| |2 2k k3 3- -2 2k k| |2 22 2+=+3 31 13 31 1名師伴你行:當(dāng)當(dāng)ABl時時,有有k=kAB=- ，直線，直線l的方程為的方程為y-2= - (x+1),即即x+3y-5=0.當(dāng)當(dāng)l過過AB的中點時，的中點時，AB中點坐標(biāo)為中點坐標(biāo)為 （-1,2）,直線直線AB的方程為的方程為x=-1.故所求直線故所求直線l的方程為的方程為x+3y-5=0或或x=-1.3 31 13 31 1名

14、師伴你行求直線求直線l1:y=2x+3關(guān)于直線關(guān)于直線l:y=x+1對稱的直線對稱的直線l2的方程的方程.轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱,利用方程組求解利用方程組求解.名師伴你行 y=2x+3 y=x+1 (-2,-1),在在l1上任取一點上任取一點A(0,3),則則A關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱點的對稱點 =-1 x1=2 y1=1, 即即B(2,1).l2的方程為的方程為y-1= (x-2),即即x-2y=0.得直線得直線l1與與l2的交點坐標(biāo)為的交點坐標(biāo)為解法一解法一:由由B(x1,y1)一定在一定在l2上上,由由得得1 11 1x x3 3- -y y1 12 2x x2 2

15、3 3y y 1 11 1+=+2 22 21 11 1+名師伴你行:設(shè)所求直線上一點設(shè)所求直線上一點P(x,y),則在直線則在直線l1上必存在一點上必存在一點P1(x0,y0)與點與點P關(guān)于直線關(guān)于直線l對稱對稱.由題設(shè)由題設(shè):直線直線PP1與直線與直線l垂直垂直,且線段且線段PP1的中點的中點P2( )在直線在直線l上上. 1=-1 x0=y-1 , y0=x+1,代入直線代入直線l1:y=2x+3得得x+1=2(y-1)+3,整理得整理得x-2y=0.所求直線方程為所求直線方程為x-2y=0.2 2y yy y, ,2 2x xx x0 00 0+x x- -x xy y- -y y0

16、00 01 12 2x xx x2 2y yy y0 00 0+=+變形得變形得名師伴你行 y=2x+3 y=x+1 設(shè)直線設(shè)直線l2的方程為的方程為y+1=k(x+2),即即kx-y+2k-1=0.在直線在直線l上任取一點上任取一點(1,2),由題設(shè)知點由題設(shè)知點(1,2)到直線到直線l1,l2的距離相等的距離相等,由點到直線的距離公式得由點到直線的距離公式得解得解得k= (k=2舍去舍去),直線直線l2的方程為的方程為x-2y=0.: 由由, ,( (- -1 1) )2 2| |3 32 2- -2 2| |k k1 1| |1 1- -2 2k k2 2- -k k| |2 22 22

17、 22 2+=+2 21 1知直線知直線l1與與l的交點坐標(biāo)為的交點坐標(biāo)為(-2,-1),名師伴你行1.中心對稱中心對稱（1）若點）若點M(x1,y1)及及N(x,y)關(guān)于關(guān)于P(a,b)對稱，則由中點對稱，則由中點 x=2a-x1 y=2b-y1.（2）直線關(guān)于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上）直線關(guān)于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用稱點，再利用l1l2，由點斜式得到所求直線的方程，

18、由點斜式得到所求直線的方程.名師伴你行坐標(biāo)公式得坐標(biāo)公式得 2.軸對稱軸對稱 （1）點關(guān)于直線的對稱）點關(guān)于直線的對稱 若兩點若兩點P1(x1,y1)與與P2(x2,y2)關(guān)于直線關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對對稱，則線段稱，則線段P1P2的中點在對稱軸的中點在對稱軸l上，而且連接上，而且連接P1P2的的直線垂直于對稱軸直線垂直于對稱軸l，由方程組，由方程組 A +B +C=0 =-1,可得到點可得到點P1關(guān)于關(guān)于l對稱的點對稱的點P2的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x2,y2)(其中其中B0,x1x2).名師伴你行 2xx21 2yy21 BAxxyy1212 (2)直線關(guān)于直線的對稱直線關(guān)于直線的對稱 此

19、類問題一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線的對稱點來解決，若此類問題一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線的對稱點來解決，若已知直線已知直線l1與對稱軸與對稱軸l相交，則交點必在與相交，則交點必在與l1對稱的直線對稱的直線l2上，然后再求出上，然后再求出l1上任一個已知點上任一個已知點P1關(guān)于對稱軸關(guān)于對稱軸l對稱對稱的點的點P2，那么經(jīng)過交點及點，那么經(jīng)過交點及點P2的直線就是的直線就是l2;若已知直若已知直線線l1與對稱軸與對稱軸l平行，則與平行，則與l1對稱的直線和對稱的直線和l1到直線到直線l的距的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出求出l1的對稱直線的對稱直線

20、.名師伴你行已知直線已知直線l:2x-3y+1=0，點，點A(-1,-2)，求：，求：（1）點）點A關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱點的對稱點A的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）直線）直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱直線的對稱直線m的方程的方程.名師伴你行 【解析】【解析】 （1）設(shè)）設(shè)A(x,y)，再由已知，再由已知解得解得 134,1333A 0122y321x21321x2y 名師伴你行 134y1333x(2)在直線在直線m上取一點如上取一點如M（2，0），則），則M（2，0）關(guān)）關(guān)于直線于直線l的對稱點必在的對稱點必在m上，設(shè)對稱點為上，設(shè)對稱點為M(a,b)， 2x-3y+1=0 3

21、x-2y-6=0,得得N（4，3）.又又m經(jīng)過點經(jīng)過點N（4，3），），方程為方程為9x-46y+102=0. 1330,136M 1322a0b0120b322a2名師伴你行則則設(shè)設(shè)m與與l的交點為的交點為N，由，由在直線在直線l:3x-y-1=0上求一點上求一點P,使得使得:(1)P到到A(4,1)和和B(0,4)的距離之差最大的距離之差最大;(2)P到到A(4,1)和和C(3,4)的距離之和最小的距離之和最小.名師伴你行設(shè)設(shè)B關(guān)于關(guān)于l的對稱點為的對稱點為B,AB與與l的交點的交點P滿滿足（足（1）;C關(guān)于關(guān)于l的對稱點為的對稱點為C,AC與與l 的交點的交點Q滿足滿足(2).事事實上實

22、上,對于對于(1),若若P是是l上異于上異于P的點的點,則則 |PA|-|PB|=|PA|-|PB|AC|=|QA|+|QC|.名師伴你行 (1)如圖所示如圖所示,設(shè)點設(shè)點B關(guān)于關(guān)于l的對稱點的對稱點B的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(a,b),則則kBB kl=-1,即即3 =-1.a+3b-12=0 又由于線段又由于線段BB的中點坐標(biāo)為的中點坐標(biāo)為( , ),且在直線且在直線l上上,3 - -1=0.即即3a-b-6=0 解解得得a=3,b=3,B(3,3).于是于是AB的方程為的方程為 ,即即2x+y-9=0. 3x-y-1=0 x=2 2x+y-9=0, y=5,即即l與與AB的交點坐標(biāo)為的交點坐標(biāo)為

23、P（2，5）.a a4 4- -b ba a4 4- -b b2 22 2a a4 4- -b b4 4- -3 34 4- -x x1 1- -3 31 1- -y y =解解得得名師伴你行(2)如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè)C關(guān)于關(guān)于l的對稱點為的對稱點為C,求出求出C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ).AC所在直線的方程為所在直線的方程為19x+17y-93=0,AC和和l交點坐標(biāo)為交點坐標(biāo)為( ),則則P點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為( ) .5 52424, ,5 53 37 72626, ,7 711117 72626, ,7 71111名師伴你行 兩點兩點A,B在直線在直線l的異側(cè)，可在的異側(cè)，可在l上找一點上找一點M使使|MA|-|MB|為最大為最大.方法是可先求出點方法是可先求出點A（或（或B）關(guān)于直線）關(guān)于直線l的對的對稱點稱點A(或或B），連接），連接AB（或（或AB）