華科線性代數(shù)深刻復(fù)習(xí)重要

1、第一部分行列式重點：1 .排列的逆序數(shù)（P.5例4; P.26第2、4題）2. 行列式按行（列）展開法則（P.21例13 ; P.28第9題）3. 行列式的性質(zhì)及行列式的計算（P.27第8題）【主要內(nèi)容】1、行列式的定義、性質(zhì)、展開定理、及其應(yīng)用一一克萊姆法則2、排列與逆序 3、方陣的行列式4、幾個重要公式:(1)Aat ；(2) A(3)kAkn|A ；(4)A*n(7) aijAji 1An(5) ABAB(6)AB ；A，0,n(8)j 1aijAjA，0,（其中A, B為n階方陣，k為常數(shù)）三角形;5、行列式的常見計算方法：（1 ）利用性質(zhì)化行列式為上（下）（2 ）利用行列式的展開定理

2、降階;（3）根據(jù)行列式的特點借助特殊行列式的值【要求】 1、了解行列式的定義，熟記幾個特殊行列式的值。2、掌握排列與逆序的定義，會求一個排列的逆序數(shù)。3、能熟練應(yīng)用行列式的性質(zhì)、展開法則準(zhǔn)確計算3-5階行列式的值。4、會計算簡單的n階行列式。5、知道并會用克萊姆法則。第二部分矩陣矩陣的運算性質(zhì)矩陣求逆及矩陣方程的求解（P56第17、18題；P78第5題）P.116 )伴隨陣的性質(zhì)（P.41例9; P.56第23、24題；P109第25題）、正交陣的性質(zhì)（矩陣的秩的性質(zhì)（P.69至71 ; P.100例13、14、15 ）【主要內(nèi)容】1、矩陣的概念、運算性質(zhì)、特殊矩陣及其性質(zhì)。2、方陣的行列式3

3、、可逆矩陣的定義、性質(zhì)、求法（公式法、初等變換法、分塊對角陣求逆）階矩陣A可逆IA 0A為非奇異（非退化）的矩陣。R(A) nA為滿秩矩陣。A的特征值全不為AX 0只有零解AX b有唯一解A的行（列）向量組線性無關(guān)零。A可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣。A可以表示成一系列初等矩陣的乘積。5、矩陣的初等變換與初等矩陣的定義、性質(zhì)及其二者之間的關(guān)系。6、矩陣秩的概念及其求法（1 ）定義法；（2）初等變換法）。7、矩陣的分塊，分塊矩陣的運算：加法，數(shù)乘，乘法以及分塊矩陣求逆。【要求】了解矩陣的定義，熟悉幾類特殊矩陣（單位矩陣，對角矩陣，上、下三角形矩陣，對稱矩陣，可逆矩 陣，伴隨矩陣，正交矩陣）的特殊性

4、質(zhì)。2、熟悉矩陣的加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等運算法則，會求方陣的行列式。3、熟悉矩陣初等變換與初等矩陣，并知道初等變換與初等矩陣的關(guān)系。4、掌握矩陣可逆的充要條件，會求矩陣的逆矩陣。5、掌握矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。6、掌握分塊矩陣的概念，運算以及分塊矩陣求逆矩陣。第三部分線性方程組1 .線性方程組的解的判定，帶參數(shù)的方程組的解的判定2 .齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）3. 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）【主要內(nèi)容】1、向量、向量組的線性表示：設(shè)有單個向量b，向量組n，向量組B :m，則(1)向量b可被向量組 A線性表示R(n)R(n,b)(2)向量組B可被向量組A線性表

5、示R( 1 , 2,n) R( 1,2,m)(3)向量組 A與向量組B等價的充分必要條件是:R( 1 , 2 ,n ) R( 1 ,2 ,m)R(m)(4)基本題型：判斷向量b或向量組B是否可由向量組A線性表示？如果能，寫出表達(dá)式。解法:以向量組A:n以及向量b或向量組m為列向量構(gòu)成矩陣，并對其進(jìn)行初等行變換化為簡化階梯型矩陣，最終斷定。2、向量組的線性相關(guān)性判別向量組s的線性相關(guān)、線性無關(guān)的常用方法:方法一：（1 ）向量方程k1 1 k2 2ks s0只有零解向量組s線性無關(guān)；（2）向量方程k,1 k2 2ks s 0有非零解向量組s線性相關(guān)。方法二：求向量組的秩R(s)(1)秩R(s）小于

6、個數(shù)S向量組21s線性相關(guān)(2)秩R(s）等于個數(shù)S向量組s線性無關(guān)。(3)特別的，如果向量組的向量個數(shù)與向量的維數(shù)相同，則向量組線性無關(guān)以向量組s為列向量的矩陣的行列式非零；向量組線性相關(guān)以向量組s為列向量的矩陣的行列式為零。基本題3、向量組的極大無關(guān)組的概念（與向量空間的基、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系）及其求法。 型：判斷向量組的相關(guān)性以及求出向量組的極大無關(guān)組。4、等價向量組的定義、性質(zhì)、判定。5、向量組的秩與矩陣的秩之關(guān)系。【要求】 1、掌握向量組、線性組合和線性表示的概念，知道兩個向量組等價的含義。2、掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，并會判斷一個具體向量組的線性相關(guān)性。3、知

7、道向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系，會求一個具體向量組的秩及其極大無關(guān)組。4、了解向量空間及其基和維數(shù)的概念第四部分 向量組（矩陣、方程組、向量組三者之間可以相互轉(zhuǎn)換）1. 向量組的線性表示2 .向量組的線性相關(guān)性3 .向量組的秩【主要內(nèi)容】1、齊次線性方程組 Ax0只有零解系數(shù)矩陣A的秩 未知量個數(shù)n ；2、齊次線性方程組 Ax0有非零解系數(shù)矩陣A的秩 未知量個數(shù)n.3、非齊次線性方程組 Axb無解增廣矩陣B(A,b)秩系數(shù)矩陣A的秩;4、非齊次線性方程組 Axb有解增廣矩陣B(A,b)秩系數(shù)矩陣A的秩特別地，1 ）增廣矩陣B（A,b）的秩系數(shù)矩陣A的秩未知量個數(shù)非齊次線性方程組Ax b有唯一解;

8、2）增廣矩陣B （A,b）的秩 系數(shù)矩陣A的秩未知量個數(shù)n非齊次線性方程組Ax b有無窮多解?！疽蟆?、掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的求法,2、掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，熟悉非齊次線性方程組有解的等價條件。3、知道齊次與非齊次線性方程組的解之間的關(guān)系。4、會求解非齊次線性方程組。第五部分方陣的特征值及特征向量 施密特正交化過程9、10; P135 第 7 至 13 題)P.135 第 15、16、19、23 題)特征值、特征向量的性質(zhì)及計算(P120例8、矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化(【主要內(nèi)容】1、向量的內(nèi)積、長度、夾角等概念及其計算方法。2、向量的正交關(guān)系及正交

9、向量組的含義。3、施密特正交化方法。4、方陣的特征值與特征向量的概念及其計算方法。(1)特征值求法：解特征方程(2)特征向量的求法：求方程組A EX 0的基礎(chǔ)解系。15、相似矩陣的定義(P AP B)、性質(zhì)(A, B相似R(A) R(B)、IA IB、A,B 有相同的特征值)。6、判斷矩陣是否可以對角化以及對角化的步驟，找到可逆矩陣P使得P Fap為對角矩陣。7、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：(將實對稱矩陣對角化)(1)寫出二次型的矩陣 A.(2)求出A的所有特征值1 , 2,(3)解方程組(iE A)X 0 (i 1,2, ,n)求對應(yīng)于特征值n的特征向量1 , 2 ,n（4）若特征向

10、量組n不正交，則先將其正交化，再單位化，得標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組1, 2,，記P （2,n），對二次型做正交變換 x Py，即得二次型的標(biāo)準(zhǔn)2形f 1%22 y22nyn8、正定二次型的定義及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1 ）定義法（2）特征值全大于零（3）順序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的內(nèi)積、長度、夾角，正交向量組的性質(zhì)，會利用施密特正交化方法化線性無關(guān)向量組為正 交向量組。2、掌握方陣特征值、特征向量的概念、求法,3、了解相似矩陣的概念、掌握化對稱矩陣為對角矩陣的方法。4、掌握二次型的概念、會用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。線性代數(shù)要注意的知識

11、點1.2.3.行列式n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式; 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aij的大小無關(guān);、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為IA ；代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij （1j jAijAij( 1)i jMij行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積;4.、副對角行列式：副對角元素的乘積n(n 1)(1)h、上、下三角行列式（I、I I k I ）:主對角元素的乘積;、I匚I和I丄I ：副對角元素的乘積n(n 1)(1)h、拉普拉斯展開式:|A|B|、(1)mgn|A|B|、范德蒙

12、行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;、特征值5. 證明I A 0的方法:、|A|A| ；、反證法;、構(gòu)造齊次方程組 Ax0 ,證明其有非零解;、利用秩，證明r（A）、證明0是其特征值;2、矩陣A是n階可逆矩陣:|A|0 （是非奇異矩陣）；r(A)（是滿秩矩陣）6.7.8.9.A的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組Axb Rn，Ax b總有唯一解；A與E等價；A的特征值全不為0 ；At A是正定矩陣；A是Rn中某兩組基的過渡矩陣;對于n階矩陣A :1 * * 1(A ) (A )(AB )T BtAtAA0有非零解；A可表示成若干個初等矩陣的乘積;A的行（列）A*A |a|e無條件恒成立;(A1)T

13、 (At)1(AB) B A矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值, 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、B可逆：AA2OAs，則:向量組是 Rn的一組基;(a*)t(AB)(at)1 B 1A1可求代數(shù)和;I、|a|nail |As| ;A11n、A11A2、OA1As11111、A 1 A 'CB 1O B 10)；5.、1.矩陣的初等變換與線性方程組m n矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的:Er OO OA 1 OB 'cA 1 B 1等價類：所有與 A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣;對于同型矩陣 A、

14、B，若r(A) r(B) A : B ；2.行最簡形矩陣: 、只能通過初等行變換獲得; 、每行首個非0元素必須為1 ；3.、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)cB 就變成 A 'B，即：(A, B) (E, A 'B);、若(A, E) : (E ,X)，則A可逆，且X A、對矩陣(A,B)做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時, 、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Axrb，如果(A,b)： (E,x)，則 A可逆，且 x A 'b ;4.初等矩陣和對角矩陣的概念: 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決

15、定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;、，左乘矩陣A， i乘A的各行元素；右乘,i乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列，符號E(i,j)，且 E(i,j)1 E(i, j)，例如:、倍乘某行或某列，符號E(i(k)，且 E(i(k)1 E(i(¥)，例如:(k 0)某列，符號 E(ij(k),且 E(ij(k) 1E(ij(k)(k1矩陣秩的基本性質(zhì):、0 r(Am n)min(m,n);、r(AT) r(A)、若 A： B，則 r(A) r(B)；11.、若P、Q可逆，則r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max(r(A),r(B) r(A,B

16、) r(A) r(B) ；E)、r(A B) r(A) r(B) ；E)、r(AB) min(r(A),r(B) ;E)、如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB 0, U：(溝I、B的列向量全部是齊次方程組 AX 0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；H、r(A) r(B) n6.7.、若A、B均為n階方陣，則r(AB) r(A)三種特殊矩陣的方冪:、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)、r(B) n ；行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;1 a c型如 0 1b的矩陣:利用特征值和相似對角化:伴隨矩陣:利用二項展開式、伴隨矩陣的秩：r(A*)r(A)r(A)r(A)、伴隨矩陣的特征值:迥(AX

17、X, A、|A|n18.關(guān)于、A矩陣秩的描述：中有r(A)階子式不為1階子式全部為0 ；(兩句話)9.、r(A)r(A)中有中有階子式全部為0 ；階子式不為0 ；b，其中A為m n矩陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組 Ax b有m個方程;線性方程組:Ax、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax b為n元方程;10.線性方程組Ax b的求解：、對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換(只能使用初等行變換)； 、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解; 、特解：自由變量賦初值后求得;由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:a11 X1a12 x2La1nXnd、a21X1a22X2Lax.b?.LLLLLLLLL

18、LL am1 x1am 2x2 Lanm xn0、a11a21Ma m1a12a 22Mam2LLOLa1na2nMa mnX1X2MXmblfc2MbmAx b （向量方程， A為m n矩陣，m個方程，n個未知數(shù)）、anX1X2M（全部按列分塊，其中Xnb2 )；Mbn1.2.3.4.5.6.7.、ax82X2anXn（線性表出）有解的充要條件:r(A)r(A,（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）向量組的線性相關(guān)性m個n維列向量所組成的向量組A :m個n維行向量所組成的向量組B :含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng); 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 、向量的線性表出 、向量組的相互線性表示2,L ,

19、m構(gòu)成n m矩陣AI, L , m構(gòu)成m n矩陣B1 ,2 ,L , m )；T1T2MTmAx 0有、無非零解；（齊次線性方程組）Ax b是否有解；（線性方程組）AX B是否有解；（矩陣方程）矩陣Am n與Bl n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組AX 0和BX 0同解；（卩仙例14）r(AT A) r(A)；(卩仙例 15)n維向量線性相關(guān)的幾何意義:、線性相關(guān)、線性相關(guān)、，線性相關(guān)線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若1, 2,L , s線性相關(guān)，則若1, 2,L , s線性無關(guān)，則坐標(biāo)成比例或共線（平行）；, 共面;若r維向量組A的每個向量上添上2,L2 ,L若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；

20、反之若s, s 1必線性相關(guān);s1必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）個分量，構(gòu)成n維向量組B :簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定;向量組向量組向量組B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）A （個數(shù)為r ）能由向量組B （個數(shù)為s ）線性表示，且 A線性無關(guān)，則r s ；A能由向量組B線性表示，則r（A） r（B）；A能由向量組B線性表示AX B有解；r(A) r(A,B)向量組A能由向量組B等價 r（A） r（B） r（A,B）8.9.方陣A可逆存在有限個初等矩陣 P1,P2,L,R，使A RPaLR;、 相關(guān)性；、若A與B行等價，則若A與B行等價，則A與B的

21、行秩相等；Ax 0與Bx 0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性矩陣的初等變換不改變矩陣的秩; 矩陣A的行秩等于列秩；10.若 Am sBs n Cm n，則:11. 、C的列向量組能由A的列向量組線性表示, 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示, 齊次方程組Bx 、ABx 0 、Bx 0B為系數(shù)矩陣； At為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）0的解一定是 ABx 0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明; 只有零解 Bx 0只有零解；有非零解ABx 0 一定存在非零解；12.設(shè)向量組Bn r :b, ba,L ,br可由向量組 An s ：ai ,a2,L ,as線性表示為:(b,b2,L ,br) (aaL ,as)K( B AK)其中K為且A線性無關(guān)，則 B組線性無關(guān)r（K） r ；（ B與K的列向量組具有相同線r、矩陣行等價:ABPAB（左乘，P可逆）Ax