彈性力知識學(xué)知識題2

1、2-1如果某一問題中， 沿z方向變化，僅為2-2如果某一問題中，x,z zx xy 0，只存在平面應(yīng)力分量 y的函數(shù)，試考慮此問題是否就是平面應(yīng)力0,只存在平面應(yīng)變分量z zx zy方向變化，僅為X，y的函數(shù)，試考慮此問題是否就是平面應(yīng)變問題？2-3試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，圖 接近于平面應(yīng)力的情況。（自由表面薄層中：問題）Z 0 yzXZ - 0x，y， xy，且它們不 問題？（是）y， xy，且它們不沿z（是）2-11，其應(yīng)力狀態(tài)xy 0近于平面應(yīng)力y圈 2-122-4試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，圖2-12，當(dāng)板邊上只受

2、x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時，其應(yīng)變狀態(tài)近于平面應(yīng)變的情況。（:z 0 yz yz 0 xz yz 0只有x y xy 0接近平面應(yīng)變問題）2-5在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平衡條件Mc 0，改為對角點(diǎn)的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程？ （ xy yx）3-1試考察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖3-8所求的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)）。y甩3-fihJ21/ VfT丿3-2取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為: 出應(yīng)力分量（不計(jì)體力） 出面力的主矢量和主矩。圈3-92 2axy，（ 2） bxy，（ 3）2cxy，試求，畫出圖（1）3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在次要

3、邊界上表示3-3試考察應(yīng)力函數(shù)丄xy（3h2 4y2）能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力）2h畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。3-4試證3yy4 3- 1 h3hqy210"3洛I能滿足相容方程,并考察它在圖3-9所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（設(shè)矩形板的長度為I，深度為h，體力不計(jì)）。3-5設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力PSq，圖3-10，試求應(yīng)力分量。4-1試比較極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)中的平衡微分方程、幾何方程和物理方程, 似的，哪些項(xiàng)是極坐標(biāo)中特有的？并說明產(chǎn)生這些項(xiàng)的原因。4

4、-2試導(dǎo)出極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)中位移分量的坐標(biāo)變換式。4-3在軸對稱位移問題中，試導(dǎo)出按位移求解的基本方程。并證明 滿足此基本方程。試導(dǎo)出軸對稱位移問題中，按應(yīng)力求解時的相容方程。4-44-5試由一階導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換式,導(dǎo)出二階導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換式5-1長I懸臂梁，B端作用集中力1）最小勢能原理2）（拉格郎日求B端撓度（設(shè)v b x2 tbx3）P分別用）位移變分方程6-6試求圖6-25所示結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力，取t1m,y指出哪些項(xiàng)是相Bu A ,u 0可以:§4-3 中的式，（b），（C）。PJX7-1試證明：在與三個主應(yīng)力成相同角度的面上，正應(yīng)力等于三個應(yīng)力的平均值。7-2設(shè)某一物體發(fā)生

5、如下的位移：a1xasza。bo Ex dy QzC0a2ycxQyC3Z試證明：各個形變分量在物體內(nèi)為常量（即所謂均勻形變） ；在變形以后，物體內(nèi)的平面保 持為平面，直線保持為直線，平行面保持平行，平行線保持平行， 正平行六面體變成斜平行 六面體，圓球面變成橢球面。q。設(shè)圓面積的半徑為 a，試求圓心8-5半空間體在邊界平面的一個圓面積上受有均布壓力F方距邊界為h處的位移。3-1考察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖示矩形板和坐標(biāo)系能解決什么問題。0滿足雙調(diào)和方程（相容方程）應(yīng)力分量(2-24):4y26ay可作應(yīng)力函數(shù)xy 0x y力邊界條件（2-25）:yxxyfxfy上下邊界左邊界I6 ayfy右邊界I

6、6ay1： fx0fy0a 0解決偏心拉伸問題a 0解決偏心壓縮問題3.2解：x ry2ay xy 2axah力邊界：I xm yxfx f;m yI xy上邊界I 0 m1fx2ax下邊界I 0 m1fx2ax左邊界I 1 m0f;x右邊界I 1 m0fxx22x22bxy20yx力邊界：1 xmyxfxm yIxyfy上邊界I 0 m1fxyx下邊界I 0 m1fxyx左邊界I 1 m0fxx右邊界I 1 m0fxxy00xy2by2bxfyfyxy2by2by fyfy2bx2X力邊界:上邊界下邊界左邊界右邊界3-3、3-42ayxyxy2ax2axxy2by2by1-4U n A-解:

7、 1、將兩種函數(shù)分別代入式中，得知能滿足雙調(diào)和方程，因此，可作為應(yīng)力函數(shù)。，從而2、由應(yīng)力函數(shù)，可求得應(yīng)力分量，考慮各邊界條件后，可求得面力（或合力）得知各自能解決的問題，見表3-12所列。兩種應(yīng)力函數(shù)所對應(yīng)的應(yīng)力、面力、合力表 3-123-5解1、半逆解法確定主要邊界(0,b0故可設(shè)x 02yd4f1(x)f(x)yf(x)fi(x)fxX yd4f(x)dxd°f(x)g)0對y的任意值均成立則有:dx4dx4dx4d4f(x) 0dx44d f1(x)dx4f(x)fi(x)故y( Ax32、應(yīng)力xxyAx3 Bx2 Cx (略去了與應(yīng)力無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)Ex3 Fx2 (略去了與應(yīng)

8、力無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)及次項(xiàng)Bx2 Cx) Ex3(3Ax23、邊界條件定常數(shù):(xy)x 04-1Fx22Bx上端面b0( xy)y 0dx(xy )x0qAb3茫 fyy y(6Ax2B)6Ex2F gyC)Bb2(3Ab2 2Bb)0即Abqb2qbb0(b0(y)y0dy y)yoXdx 03Eb2Eb2Fgyxyqx 3x(b b2)解：物理方程完全相似，因?yàn)闃O坐標(biāo)和直角坐標(biāo)都是正交坐標(biāo)等。平衡方程多了非微分項(xiàng)，這是由于i )微分體二徑向邊不平行，使對方向的平衡產(chǎn)生了影響。ii )二環(huán)向邊不等長使在 方向，0在Q方向產(chǎn)生附加影響。幾何方程多了非微分項(xiàng)這是由于4-24-3解:4-45-1解:微

9、分體二徑向邊平不平行,仿照直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換u ucos sinu u sin cosuu引起周向應(yīng)變-u引起剪應(yīng)變介上式:cossinsincos軸對稱位移問題，導(dǎo)出按位移求解的基本方程,按位移軸對稱條件(應(yīng)力也軸對稱)代入平衡方程物理方程(C)代入得并證明u()0滿足此方程d"d幾何方程丄(1)(b)代入(d)得位移軸對稱問題按位移求解基本方程:試導(dǎo)出軸對稱位移問題中，按應(yīng)力求解時的相容方程。由幾何方程所得應(yīng)變間的關(guān)系即相容方程:duT0中第2式微分dud(b)(c)(d)d 1 dud d長I懸臂梁,111-ru-即相容方程B端作用集中力P分別用1)最小勢能原理 2)(拉格郎

10、日)位移變分方程求1)b1X2 b2X3滿足位移邊界條件vB端撓度(設(shè)b1x2baX3)dv 0dx X 02應(yīng)變能u 2Ei0d71 l dx 2 El。(2D2 2 26b2X) dx 2EI(b1l 3bib2l2 33b2l )外力勢能VP(v)x 1P(b,l2 b2l3)總勢能 U V2EI (bi2I 3bib2l2 3b2I3) P(lbl2 b2l3)* X由0得：飛0 2EI(2bl 3b2l2) PI2 0 解得 bb20 2EI(3bI2 6b2l3) PI30b2PI21?PeU則撓曲線方程為vPI22 P 3x x2EI 6EIVb (v)x IPI33eT2） v

11、 biX2 b2X3滿足位移邊界條件（v）xdvdx應(yīng)變能 U2EI (bi2I 3bib2l2 3b2I3)位移變分方程U WUbiUbbivbib2vb2b22EI(2b1I 3b2l2) PI22EI(3b1l2 6b2l3) PI3b2PI2EIP6EI6-6試求圖示結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力，取1m解：1、離散化如圖，建立坐標(biāo)系 x0y，劃分單元，節(jié)點(diǎn)編號 1，2，3，4o eijk142231單元節(jié)點(diǎn)編號節(jié)點(diǎn)號xy101210311400節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)2、單元剛度矩陣單元Cb1y4G X2y2X4bjCjy2xyX2bmCmy1X4y4X12(bcjbjC)1(01)x1x1應(yīng)變矩陣12Abi

12、0ciCibibj0CjCjbjbm0CmCmbm彈性矩陣12應(yīng)力矩陣單元剛度矩陣tAtA101k11II0 1K11PK14IK1202k102I10 0T r10131V2 1K411pK441K42121p13IV0 1001120I12 0K2111K241flK2210I11110 1E4單元單剛與相同B符號相反，S符號也相反10：K22,E：0 31 20 0 ： 2 .-K12 K13 K111 0 1 1-01:K3311*31 113 ： 016丁2：1：011<2300K2110 03、整體分析整體剛度矩陣K+K©+KK11K12K13/+/+/K21KKK

13、22K3k4?K23KK330K1K240k4?0 ； 03 ! 1 I 0I1 0 ! 0I21 !1011!0 iI2 :整體剛度方程4、位移邊界條件處理1 i 20 ! 10十1I3 ! 0.10 i 32 11 "01 1 00 ： 11 ： 0 .丄.廠0I2 ! 1 1 -.11 ： 003 "0-4 0 :I0 I0E 14 20VU2V2U3V30F200U45、方程求解,去除U2U3U40六個方程得：3 1得:13uV2FF22e(3F2F2)V22E(Fi6、單元應(yīng)力,FiF2則,Ui2FEVa2FE2FE2FE2FE2FExy2FE2FExy2FE2F

14、E2F2F0平均應(yīng)力xy7-1試證明：在與三個主應(yīng)力成相同角度的面上,正應(yīng)力等于三個主應(yīng)力的平均值。證：取坐標(biāo)面與三個主平面重合，由題意173由式(7-3) , n1( 13)7-2 解：1)ua1xbaC3vxy xyzC2b3yxwa3cx2）平面方程Ax ByCz0，按題意平面上任一點(diǎn)（X, y,z）位移到（Xu,y v, z w)代入方程后仍是平面方程(Ab c)x(B a2 t2 C2)y (C a3 t3 C3)z (Daotb Cc)03）設(shè)直線方程:Ax ByA2X BiyGz DiC2 z D2°即二平面的交線變形后，按2）得二個新的平面的交線,仍為直線4）二個平行平面：A： By C； D2 0法線的方向數(shù)ABC。(x, y,z)用（x u, y ,z w）代替整理后，二平面的法線的方向數(shù)仍相同，即平行。由此推論:正平行六面體變形后成為斜平行六面體（由于xy yz zx的存在單元體變斜）5）把二平行線定