整體思想在解二元一次方程組中的應(yīng)用

1、整體思想在解二元一次方程組中的應(yīng)用求解一元二次方程時，用代入消元法或是加減消元法，將二元消元為元。在運(yùn)用消元法時，對于有些問題，不是從局部著手，而是從大處著眼，從整體上觀察，探求解題途徑，這種數(shù)學(xué)思想方法叫整體探求思想， 在二元一次方程組中，體現(xiàn)這種思想方法的地方很多在平常遇到方程組求解時，先從全局觀察，再動手求解，可以在一定程度上訓(xùn)練我們“大處著眼，小處著手”的戰(zhàn)略眼光，對今后高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以至工作中都會有所幫助。2x y 5,例 1 已知 x、y 滿足方程組則 xy 的值為x 2y 4,分析：觀察題目特點(diǎn)， 我們發(fā)現(xiàn)可以把原來的兩個方程相減， 就能夠得到所要求的結(jié)果解：把原來的兩個方程相減

2、得： x y 1，故，答案應(yīng)該填寫 1點(diǎn)評：本題是把 x y 作為一個整體來處理，解答起來要比解這個方程組，求出 值，再帶入x、 y 的例2xy 計算求值省時，快速，簡便解方程組 3x 2y 8,6x 9y 21.此題應(yīng)抓住6x是3x的2倍，利用方程的3x=8-2y,從而整體代入方程 ，經(jīng) 消元求解，使解法簡潔 .解 由 ，得 3x=8-2y.把 代入 ，y=1.把 y=1 代入 分析得 2（8-2y） +9y=21.，得3x=8-2.2,1.xx=2,y練習(xí)： 1.解方程組3x 5y 214x 15y 53分析：方程組中的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，適宜把中的整體代入，先求出x的值，再求出 y 的值解：

3、由得5y=21-3x把代入，得4x+3 (21-3x) =53 4x+63-9x=53，-5x=-10x=2y=3把x=2代入，得5y=21-6x原方程組的解是y2.解方程組 5x 6y7x+18y13,1.解：由，得6y 135x,將其代入，得7x+3(13-5x)1,解得x 5 .把x 5代入，得6y135 5，解得y 2所以原方程組的解為21x例3解方程組37x37y21y327,311.分析 此題數(shù)字較大，直接運(yùn)用代入法或加減法，都會遇到復(fù)雜的計算，且容易出錯 仔細(xì)觀察各未知數(shù)的系數(shù)，第一個方程組的 數(shù)，故可采用整體相加減，使系數(shù)絕對值變小，解 +，得 58x+58y=638.即 x+

4、y=11. -，得 16x-16y=-16，即 x-y=-1. +，-，x, y的系數(shù)，剛好是第二個方程中y和x的系得到一個新的簡易的方程.得 2x=10, 得 2y=12, x=5.y=6.5,6.7,X y例4解方程組23(x y) x3分析：本題直接解方程組比較復(fù)雜，觀察方程組中方程的特點(diǎn)， 如果把 乙丄2成整體，先求出它們的值，計算量會較小，也不容易出錯。為此，我們先把方程變得簡單.設(shè)十 .=B，則原方程組化為囂7,解得A 2X y2X y35,x，整理，得y，解得y 2.2.練習(xí)：1.解方程組8x4x7y5y1311分析：方程組中X、y的系數(shù)和相等，可以把兩式相加減解：+ 得12x+

5、12y=24，即x+y=2-得4x+2y=2，即2x+y=1-得x=-1，把x=-1代入得y=3原方程組的解是2.解方程組 2012X2013X2013y 2013?,2012y2012?.分析:兩方程中未知數(shù)的系數(shù)較大，若采用通常的消元法計算量很大，觀察方程組的形 式，可發(fā)現(xiàn)系數(shù)有輪換、對稱的特點(diǎn)，且和相等，因此可采用整體相加或相減的辦法，化簡 系數(shù)，尋找隱含的X、y的關(guān)系.解:+，化簡得:X + y = 1，-，化簡得：X -y = -1，+，化簡得：x=0，把x=0代入得y=1.所以原方程組的解為X 0, y 1.6x3.已知方程組2x8y33,6.則x+y的值等于分析：本題可用 代入法

6、”或加減法”求得x、y的值，但細(xì)心觀察 疋+，可發(fā)現(xiàn)X、y 上的系數(shù)相同.因此可不求X、y的值而利用整體思想直接解得x+y的值.解：X2+，得10x+10y=45,所以 x+y=4.5.3 x y 4 x y 14.解方程組x y x y2 6分析：從形式上看這個方程組比較復(fù)雜，應(yīng)先將每一個方程都進(jìn)行化簡，化成二元一 次方程組的一般形式，然后再選擇代入法或加減法。但是通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，兩個未知數(shù)出現(xiàn)的形式只有（x+y）和（x-y）兩種，可以把它們分別看成一個整體，禾U用換元法解。解：設(shè) a=x+y,b=x-y原方程化為所以x5.解方程組3a53,12(x4(x4b1解得解得4313y)y)3(

7、x3xy)153y分析：方程組中的系數(shù)成整數(shù)倍，數(shù)，可以把兩式相互加減解：由得 4 （x+y） +3 （x-y） =15，+得x+y=3,把代入，得x-y=1+得x=2,-得y=1可以通過變形構(gòu)造出x-y,且x-y的系數(shù)互為相反原方程組的解是 x 2y 1例5如果關(guān)于m、n的二元一次方程組（I3m an2m bn160 m的解是157,1.請你用合理的方法求關(guān)于x, y的二元一次方程組（n）3(x2(xy)y)a(xb(xy)y)16的解.15n）中的分析 通過觀察后發(fā)現(xiàn)方程組（I ）和（n）中對應(yīng)的系數(shù)分別相等，若把x+y和x-y分別看成整體，可知x+y和x-y的值分別與m, n的值相等，從

8、而求得方程組的解. 解 把方程組（n ）中的x+y和x-y分別看成整體，根據(jù)方程組（I）的解是m17,可得xy7,xy1x 4,y 3例6已知方程組3x4x7y z10y z 4,.求x+y+z的值.X、y、z的值，因此可探究分析：本題是一個三元一次方程組，依據(jù)條件不能分別求出 方程中每項未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，從整體上考慮解決的辦法解: X3, >2，得 9x 21y 3z 9,2x 20y 2z 8.-得x + y + z = 1 .練習(xí)1.已知5x+4y=9，且3x+8y=11.求代數(shù)式2x+3y的值；2.已知 a-2b=5，求 15 3a+6b 的值.分析：1.中兩個方程沒有聯(lián)立方程組

9、，不易觀察，可聯(lián)立方程組利用整體思想探尋特征 巧妙解題.2.中可對所求代數(shù)式進(jìn)行變形，整體代入.解:1.聯(lián)立方程組，得5x 4y3x 8y11,.+，得8x+12y=20 化簡得2x+3y=5. 故代數(shù)式2x+3y的值為5.X 2yx y z的值2.原式=15-(3 a-6b)=15-3( a-2 b)， 由 a-2b=5, 所以原式=15-3 X5=0.3.如果 2x+3y+z=130, 3x+5y+z=180，求 解：將x+2y、x+y+z看作整體，已知條件變形為(X 2y) (x y z) 1302(x 2y) (x y z) 180解得x 2y 50x y z 80X 2y 5 則 x

10、 y z = 8例7 有A、B兩種型號的U盤，其中2個A型U盤與3個B型U盤最多可存儲60GB 的信息，5個A型U盤與6個B型U盤最多可存儲150GB的信息，求3個A型U盤與 個B型U盤最多可存儲多少 GB的信息？分析：本題可根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)列方程組，在解方程組的過程中發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法 解：設(shè)1個A型U盤最多可存儲xGB的信息，1個B型U盤最多可存儲yGB的信息，2x根據(jù)題意得5x3y 60,6y 150.9x+15y=270,5x 2y 4z 803x 6y 4z 144,.-，得化簡得3x+5y =90.故3個A型U盤與5個B型U盤最多可存儲90GB的信息.例8有甲、乙、丙三種貨物，若買

11、甲 5件，乙2件，丙4件，一共需80元；若買甲 件，乙6件，丙4件，一共需144元，現(xiàn)在需購買甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：本題可根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)列三元一次方程組，但由題中條件只能找到兩種等量關(guān)系，因此不可能一一求得三個未知數(shù)的值，需考慮整體代入探求結(jié)果.x元，一件乙需y元，一件需丙z元，根據(jù)題意得解：設(shè)購買一件甲需+，得8x+8y+8z=224， 所以 x+y+z=28.故購買甲、乙、丙各一件共需28元.練習(xí)：1.有甲、乙、丙三種商品，如果購甲3件、乙2件，丙1件共需315元錢，購甲件、乙2件、丙3件共需285元錢，那么購甲、乙、丙三種商品各一件共需 元錢.分析：我們可以通過設(shè)元，構(gòu)建三

12、元一次方程組來解答.設(shè)購買甲、乙、丙三種商品分 別需要x元、y元和z元，要想求出購甲、乙、丙三種商品各一件共需多少元錢，我們可以 運(yùn)用整體的思想求出 x+y+z的值就可以得到正確答案.解：設(shè)購買甲、乙、丙三種商品分別需要x元、y元和z元，那么，根據(jù)題意，可以得到：3x+2y+z=315x+2y+3z=285，解得：x+y+z=150.因此，可以填寫答案是 150 元2.有這樣一個問題：今有四數(shù),取其三個而相加,其和分別為22, 22, 26 和 20,求此四數(shù)各幾何？部分學(xué)生讀不懂題意,但大部分學(xué)生是列出了方程組,卻不知該如何求解.如果能靈活運(yùn)用整體思想,此題便能輕松求解 .若設(shè)此四數(shù)分別為a, b, c, d,則根據(jù)題意可列出方程組cddd22,22,26,20. + + + ,得 3(a+b+c+d)=90. a+b+c+