2.1-二重積分的計算(1)ppt課件

1、 解解：設設這這兩兩個個直直交交圓圓柱柱面面的的方方程程為為222Ryx 及及 222Rzx 。并并畫畫出出它它們們在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形。 yxzo o222Ryx 222Rzx RRyo ox22xRy DRRx 故故所所求求體體積積為為313168RVV 。 所求立體在第一卦限的部分可看作是以圓柱面所求立體在第一卦限的部分可看作是以圓柱面 22xRz 為頂，以為頂，以xoy面上四分之一的圓域面上四分之一的圓域 D 為底的曲頂柱體，其體積為為底的曲頂柱體，其體積為 dxRVD221 22 0 22 0 xRRdyxRdx.32)(3 0 22RdxxRR yo ox22xRy

2、 DRRxyxzo o222Ryx 222Rzx RR因因為為2ye 的的原原函函數(shù)數(shù)不不是是初初等等函函數(shù)數(shù)， 則則無無法法計計算算積積分分的的值值，故故只只能能用用 先先積積 x 后后積積 y 的的次次序序進進行行計計算算。 yo oxxy 1 y1解解：若若先先積積 y 后后積積 x，得得 11022 xyDydyedxde， 例例 3 3 Dyde2，其其中中D是是由由直直線線xy ，1 y和和 y 軸軸所所圍圍成成。 10010222dyyedxedydeyyyDy).1(21211102 eey 積積分分次次序序的的選選擇擇原原則則： （1 1） 第第一一原原則則函函數(shù)數(shù)原原則則：

3、必必須須保保證證各各層層積積分分的的原原函函數(shù)數(shù) 能能夠夠求求出出。 （2 2） 第第二二原原則則區(qū)區(qū)域域原原則則：若若積積分分區(qū)區(qū)域域是是X X 型型（或或Y Y 型型） 則則先先對對積積分分或或 ) ( xy。 （3 3） 第第三三原原則則分分塊塊原原則則：若若積積分分區(qū)區(qū)域域既既是是X X 型型又又是是Y Y 型型 且且滿滿足足第第一一原原則則時時， 要要使使積積分分分分塊塊最最少少。 例例 4交交換換二二次次積積分分的的積積分分次次序序。 （1） yyf(x,y)dxdy2 4 0 改變二次積分次序的關鍵是正確畫出積分區(qū)域的圖形，要經(jīng)歷 “由限畫圖和“由圖定限兩個過程。先先積積 y 后

4、后積積 x，則則21DDD ， 1D： xyxx2022，2D： xyx2020， yyf(x,y)dxdy2 4 0 .2 0 2 0 2 0 22 xx xf(x,y)dydxf(x,y)dydx解解：先先積積 x 后后積積 y， 則則 D： yxyy240， yo ox4(2, 4)22xy xy 2-2-21D2D1D： 21121xyy，2D： 221xyy， 解解：先先積積x 后后積積y，則則21DDD ， 2 22D（2） 2 2 1 2 1 1 21yyf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy 先先積積 y 后后積積 x， D： xyxx121， 2 2 1 2 y1 1 21

5、yf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy xxf(x,y)dydx 1 2 1 。 oxy1 1211D2 2xy 1 1xy1 例例 5 5設設 D 是是xoy平面上以平面上以)1 , 1(，)1 , 1( 和和)1 , 1( 為為 頂點的三角形區(qū)域，頂點的三角形區(qū)域，1D是是 D 在第一象限的部分，若在第一象限的部分，若 dxdyyxxyID )sincos(，試問下列等式是否成立？，試問下列等式是否成立？ （1 1）dxdyxyID 12； （2 2）dxdyyxID 1sincos2； （3 3）dxdyyxxyID)sincos(41 。 ) 1 , 1 () 1 , 1( ) 1

6、, 1( oxy1DD 1D與與2D關關于于 y 軸軸對對稱稱， 3D與與4D關關于于 x 軸軸對對稱稱， 將將I分分為為兩兩個個二二重重積積分分，記記 dxdyxyID 1，dxdyyxID sincos2。 xy 關關于于 x 和和關關于于 y 都都是是奇奇函函數(shù)數(shù)， 021 dxdyxyDD,043 dxdyxyDD，01 dxdyxyID。 解解：將將區(qū)區(qū)域域D分分為為四四個個子子區(qū)區(qū)域域：1D、2D、3D、4D。 ) 1 , 1 () 1 , 1( ) 1, 1( oxy1D2D3D4D yxsincos是是關關于于 y 的的奇奇函函數(shù)數(shù)，關關于于 x 的的偶偶函函數(shù)數(shù)， dxdyy

7、xdxdyyxDDD 121sincos2sincos， 0sincos43 dxdyyxDD， dxdyyxdxdyyxIDD 1sincos2sincos2， 從而從而dxdyyxIIID 1sincos221， 故故等等式式（1 1） 、 （3 3）不不成成立立；等等式式（2 2）成成立立。 oxy1D2D3D4D5 5利利用用積積分分區(qū)區(qū)域域的的對對稱稱性性和和被被積積函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性簡簡化化計計算算 設設),(yxf在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的可可積積，21DDD ， （1 1）若若21DD 與與關關于于軸軸 y對對稱稱，則則 ),( .),(),( , 0 ),(

8、 .),(),( ,),(2),(1為為奇奇函函數(shù)數(shù)關關于于即即時時當當為為偶偶函函數(shù)數(shù)關關于于即即時時當當xyxfyxfyxfxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （2 2）若若21DD 與與關關于于軸軸 x對對稱稱，則則 ),( .),(),( , 0 ),( .),(),( ,),(2),(1為為奇奇函函數(shù)數(shù)關關于于即即時時當當為為偶偶函函數(shù)數(shù)關關于于即即時時當當yyxfyxfyxfyyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （3 3）若若21DD 與與關關于于原原點點對對稱稱，則則 ),(),( .),(),( , 0 ),(),( .),(),( ,),(2

9、),(1為為奇奇函函數(shù)數(shù)關關于于即即時時當當為為偶偶函函數(shù)數(shù)關關于于即即時時當當yxyxfyxfyxfyxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （4 4）若若積積分分區(qū)區(qū)域域關于關于D直直線線xy 對對稱稱 （DxyDyx ),(),(） ， 則則 dxdyxyfdxdyyxfDD ),(),(。 又若又若21DDD ，且，且21DD 與與關于直線關于直線xy 對稱，則對稱，則 dxdyxyfdxdyyxfDD 21),(),(。 解解：拋拋物物線線2xy 把把 D 分分為為兩兩個個子子區(qū)區(qū)域域： 2 , 1),(21 yxxyxD， 0 , 1),(22xyxyxD 。 2xy

10、 D1D2oxy-1-11 12 2例例 6求求dxdyxyD 2，其其中中20 , 1),( yxyxD。 22122),( ,),( ,DyxyxDyxxyxy 10310234)2(3423dxxdxx.235 被被積積函函數(shù)數(shù)2xy 在在 D 上上是是關關于于的的 x偶偶函函數(shù)數(shù)，積積分分 區(qū)區(qū)域域 D 關關于于軸軸 y對對稱稱，1D、2D也也關關于于軸軸 y對對稱稱，故故 dxdyyxdxdyxydxdyxyDDD 21222 dyyxdxdyxydxxx 22021022102231cos316404 tdttxsin2 例例 7設設)(xf連連續(xù)續(xù)且且恒恒不不為為零零，證證明明

11、.2)()()()(2222RbadxdyyfxfybfxafIRyx 證證：積積分分區(qū)區(qū)域域222Ryx 關關于于直直線線xy 對對稱稱，所所以以 交交換換被被積積函函數(shù)數(shù)中中的的 x、y 的的位位置置，結結果果不不變變，故故有有 222)()()()(RyxdxdyxfyfxbfyafI， 2)()(2222RbadxdybaIRyx ，22RbaI 。 （一一）把把二二重重積積分分 dyxfD),(化化為為極極坐坐標標形形式式 設設函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上連連續(xù)續(xù)。區(qū)區(qū)域域 D 的的邊邊界界 曲曲線線為為)(1 和和)(2 ， ，其其中中 )(1 ， )(2 在在,

12、 上上連連續(xù)續(xù)。 oxD )(1 )(2 假設從極假設從極O 點點出發(fā)且穿過閉區(qū)域出發(fā)且穿過閉區(qū)域 D 內(nèi)部的射內(nèi)部的射 線與線與 D 的邊界曲線相交不多于兩點。的邊界曲線相交不多于兩點。 用用以以極極點點為為中中心心的的一一族族同同心心圓圓：常常數(shù)數(shù) ，以以及及從從極極點點 出出發(fā)發(fā)的的一一族族射射線線： 常常數(shù)數(shù)，把把 D 分分成成 n 個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域，除除 了了包包含含邊邊界界點點的的一一些些小小閉閉區(qū)區(qū)域域外外，小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的面面積積可可 i 計計算算如如下下： i i i i ii i ii Dox極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素即即 DDddfdyxf)sin,

13、cos(),(。 又又可可寫寫成成 DDddfdxdyyxf )sin,cos(),( 故故iiiniiiiidiniiidff 1010)sin ,cos(lim) ,(lim （二）把二重積分的極坐標形式化為二次積分（二）把二重積分的極坐標形式化為二次積分 oxD)(2 )(1 oxDD)(2 )(1 一一般般地地，先先對對積積分分 后后對對積積分分 。 )()(21)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf1 1極極點點在在積積分分區(qū)區(qū)域域 D 的的外外部部 )()( :21D )(0 :D )( oxD則則 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf 2

14、2極極點點在在積積分分區(qū)區(qū)域域 D 的的邊邊界界上上 3 3極極點點在在積積分分域域 D 的的內(nèi)內(nèi)部部 D： )(020，則則有有 ox)( D 2 0 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf 在在極極坐坐標標系系中中，閉閉區(qū)區(qū)域域D D的的面面積積 DDddd 若若D如如圖圖，則則 . )()(212122)()(21 dddddD oxD)(2 )(1 )( oxD.)(212)(0 dddddD解解：D： 1cossin120. xyo dfddyyxfdxxx1 cossin1 2 1 1 )sin,cos(),(0210 4cos24 4 3 0 2 4 cos

15、38 dddI 解：解：.2920)(sin)sin1(316 240 doxy4 4 cos2（1 1） dyxRD222，D 為圓為圓Rxyx 22所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。 解解：把把區(qū)區(qū)域域 D 的的邊邊界界曲曲線線的的直直角角 坐坐標標方方程程Rxyx 22化化為為極極坐坐 標標方方程程，得得 cosR，于于是是有有 D： cos022R dRddyxRRD22 cos 0 22222 xo cosRD 22023 cos22)(31dRR 22 33)sin1(31dR 20 33)sin1(32dRsin32220 30 3 ddR)43(93223233 RR。 解解：D：

16、2140， （2 2） dxyDarctan ，D：4122 yx，0 y，xy 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。 2 4 2 4 1010cossinarctanarctan dddddxyD.6432332212122224210 xoy解解：由由對對稱稱性性，得得 dxdyyxaVD 22244 D： cos2020a。 例例 4球體球體22224azyx 被圓柱面被圓柱面)0(222 aaxyx 所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。 oxyz22224azyx axyx222 D cos20222022244 44aDdaddxdyyxaV)3

17、22(332)sin1(33232033 adaoxy cos2aD例例 5 5求三葉玫瑰線求三葉玫瑰線 3sina所圍成的面積。所圍成的面積。 解解： 3sin 0 0 66 6aDdddS ox6 da3sin0206216 dada6602022)6cos1(233sin3.46sin61232620aa 解解在在極極坐坐標標系系下下dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxd

18、ye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rded0022 );1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 當當 R時時,41 I,42 I故故當當 R時時,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 9.2.39.2.3二重積分的一般換元法則二重積分的一般換元法則（1 1）),(),(vuyvux在在D 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)

19、偏偏導導數(shù)數(shù)， （2 2）在在上上D ， 0, vuyxvuJ， （3 3）變變換換 T：DD 是是一一對對一一的的， 定理定理 設函數(shù)設函數(shù)),(yxf在在xoy平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域 D 上連續(xù)，上連續(xù)， 變換變換 T：),(),(vuyyvuxx ，將，將平面上的平面上的 uov閉區(qū)域閉區(qū)域 D 變?yōu)樽優(yōu)閤oy平面上的平面上的 D，且滿足，且滿足 則則有有 dudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD),(),(),(, 。 在在極極坐坐標標變變換換 sincosyx下下， cossinsincos,yxJ， 按按二二重重積積分分的的換換元元公公式式，便便得得： DDddfdxdyyxf)sin,cos(,。 注注：DvuJ ),(只只在在內(nèi)內(nèi)個個別別點點上上，或或一一條條線線上上為為零零， 而而在在其其他他點點上上不不為為零零，那那么么換換元元公公式式仍仍成成立立。 oxyDxy 2xy22 3 xy2 xyuv1223oD .