線性代數(shù)之行列式的性質及其計算

1、.第二節(jié)行列式的性質與計算 2.1行列式的性質考慮Da11a21La12a22Lan1an2LLLLa1na2nLann將它的行依次變?yōu)橄鄳牧?，得dt311a21Lan1312322Lan2LLLLa1 na2nLann稱為D的轉置行列式.性質1行列式與它的轉置行列式相等(DT事實上，若記dtb21L Lbn1b12b22L Lbn2LLLLDT( 1)8 3 Pn)b1 p1b2p2L bnpnb1nb2nLbnn(1)(P1P2LPn)ap11aP22L apnn D則 bijaji (i, j 1,2,l ,n)說明：行列式中行與列具有同等的地位，因此行列式的性質凡是對行成立的結論對列

2、也同樣成立.性質2互換行列式的兩行rj）或兩列（CiCj），行列式變號.12 3123例如0 8 63513510 8 6(ri推論 若行列式D有兩行（列）完全相同，則D 0.證明：互換相同的兩行,則有D D,所以D 0.性質3行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù) k，等于數(shù)k乘以此行列式，即311Lkai1Lai2Lkai2Lan1an2nLLLLL推論：（1） D中某一行（列）所有元素的公因子可提到行列式符號的外面; D中某一行（列）所有元素為零，則DO ;性質4:行列式中如果有兩行（列）元素對應成比例，則此行列式等于零.性質5:若行列式某一行（列）的所有元素都是兩個數(shù)的和，則此行列式等于

3、兩個行列式的和.這兩個行列式的這一行（列）的元素分別為對應的兩個加數(shù)之一，其余各行（列）的元素與原行列式相同.即aiiLaiibiiLai2Lai2bi2Lan1an2LLLLLannaiiai2LdnLLLLaiiai2LainLLLLanian2LannaiiLbiiLainLainhnLaniai2Lb2Lan2LLLLLainLbinLann由行列式定義（i） w Pn）iaip ia2 P2(aiPibiPi ) L anpn性質6(Pn)aiPia2P2L行列式D的某一行素上，行列式的值不變（DaiPiLanpn(i)(PiP2Lal Pl a2 P2 L biPi L anB .

4、（列）的各元素都乘以同一數(shù)k加到另一行（列）的相應元aiiai2Lainaiiai2LainLLLLri krjLLLLaiiai2Lainaii kajiai2 kaj2LainkajnLLLLLLLLanian2Lannanian2Lann即D)，特別是性質2,3,6,kfj計算行列式常用方法：利用性質6把行列式化為上（下）三角形行列式，從而，較容易的計算行列式的值.例1：計算行列式(1)23243iiii232(2)i3ii3234ii3i0425iii3D解：（i）i232i232r22324r2 2ri0i883234r3 3ri086204250425riD1232123230 r

5、4 r3018801884 58 3005862005862143003037000293 8r21r4 4ririi(1) 58嗎 286 .294ri266661111111113111311ri r102006611311131i 2,3,40020111311130002D6(1 2 2 2)48.此方法稱為歸邊法.例2:計算n階行列式解:(1)rir1Dni2,3,LC1 acia1a1a1Ma1a20M0a3M0LLLML100ManL2,3,L ,nana1i 20L0a2L0a2a3 L an10L0a2L0an丄)i 2 aa1a2 LLLLLa1an11L1a2L0LLLL

6、anan(1（箭形行列式）1a11L1xaLa11 a2L1DnaxLaLLLLLLLL11L1anaaLx1,2,L ,n)(a0,i(1)Dnx (n 1)aaLa1aLac1 cx (n 1)axLa1xLax (n 1)a2,3,L ,nLLLLLLLLx (n 1)aaLx1aLx(n 1)a,有iDn注意到行列式各行元素之和等于xr riXi 2,3,L ,n(n1)ai0L0LLLLX(n1)a(x a)ni例3:設DaiiMaikMakiCiiMakkCikMCn1cnkbiiMbnibinMbnnaiiLaikbiiLbinMM，D2MMakiLakkbniLbnn,Di證明

7、：DD1D2.證：對Di作行運算把Di化為下三角形行列式：DiPiiMPiiLPkk；PkiPkk對D2作列運算Ci把D2化為下三角形行列式：D2qiiM O qni LPnkqii L qnn .下三角形行列式：PiiMO0DPkiLP kkCiiLCikqiiMMM OCniLCnkqni L故，D PiiLP kkqiiLqnnDiD2.思考練習i.計算行列式先對D的前k k行作行運算qnnri krj ,然后對D的后n列作列運算CikCj,把D化為2512a1 1a12Lan3714Dna2 1a22La2n5927MMMM4612an1an2Lann(1)D(n2)abbccaabc

8、aib1b1C1qa12a1b1qa2b2b2C2qa2a2b2C22.證明23.證明abacaebdcddebfcfef(1)4abcdefab2c2 d2(a (b (c(d1)21)21)21)2(a (b (c (d2)22)22)22)2(a (b (c (d3)23)23)23)24.計算行列式a2a3abbbba3a6acb2b3b4a10adb3b6bc 12c3c15221522r3 2r20113430113r4r2003000300033000313)c ciDn i2,3,L ,na1a2Mq0,a2,答案152215221522c1c31734r2 r1 ,r3 2r

9、10216r2 r301131.(1)D42957r4r101130216164201200120an11 Ln1abbccaabcacaC2 C1左邊=a1b1b1C1C1a1a1b1C1a1C1a1a2b2b2C2C2a2a2b2C2a2C2a2abca2cabcacc2a1blGai2C12a1b1C1a1C1a2b2C2a22qa2b2C2a2C22.C3c2 c3abacq qbacabc2aibla1C12bla1c12a1blqa2b2a2qb2a2c2a2b2C2左邊abcdefr2r1abcdefr2abcdef4abcdef.(2)左邊2a 2a 1 4a 4 6a 9a2

10、 2a 1 2 6b2 2b 1 4b 4 6b 9c3 2c2b2 2b 1 2 62c 2c 1 4c 4 6c 9c4 3c 2c2 2c 1 2 6d2 2d 1 4d 4 6d 9d2 2d 1 2 6Ci Ci0i 2,3,4后行減前行得,右邊4.abcd43abcdabcd0aabab c0aa ba bc430aa ba b c0a2ab3a2b c3200a2ab00a2a b0a3ab6a3b c00a3ab000a從第4行開始,Da4 2.2行列式按行(列)展開3.證a11a12La21a22LLLLan1an2L定義：在n階行列式DnainannL2n中，劃去元素aj所

11、在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構成的對于三階行列式，容易驗證:a11a12a13a22a23a21a23a21a23a21a22a23a11a12a13a32a33a31a33a31a33a31a32a33可見一個三階行列式可以轉化成三個二階行列式的計算 .問題：一個n階行列式是否可以轉化為若干個n1階行列式來計算?、余子式與代數(shù)余子式1階行列式，稱為 元素aj的余子式，記作Mij ；而Aj（ 1） jMjj稱為兀素aij的代數(shù)余子式.aiiai2ai3例如三階行列式a2ia22a23a3ia32a32元素a23的代數(shù)余子式為A23(i)中元素aij的余子式為M23M 23 M 2

12、3四階行列式i 0 i 0i520ii3i、行列式按行（列）展開定理 n階行列式Daiia2iLan1代數(shù)余子式的乘積之和，即證 （i）此時Daiia3i中元素x的代數(shù)余子式為a32（ i）3 2ai2a22Lan2LLLLaina2nLannai2a32DaiiAi或 Daij Aij等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的ai22 L ain Ain (i i,2,L , n) a2jA2j L anj Anj (j i,2,L , n)元素aii位于第一行、第一列，而該行其余元素均為零；aiia2iL322LaniLLLLa2nLj1(i)(jij2Lji)ajia2j2L anjn (

13、 i)心怙屜 L an ji iaii(j2j3L jn)an2i)(j2L jn)a2j2LannanjnaiiMii而 Aii( i)iiMiiMil,故 DaiiAii ；(2) DaiiM0ManiLMLMLaijMaijManjLMLMLainM0Mann將D中第i行依次與前ii行對調，調換ii次后位于第一行;將D中第j列依次與前j 1列對調，調換j 1次后位于第一列；經(jīng)(i 1) (j 1)j 2次對調后，aij就位于第一行、第一列，即1)ij 2aijMij(1)iGjMijaijAij.(3) 一般地a11Lai1 0 LLa12Lai2LLLLLLLa1nL0Laina11a

14、12La1 nana12Lai na11%La1nLLLLLLLLLLLLai10L00ai2L0L00LainLLLLLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lannan1an 2Lannan2Lan Ainan1ai1 AHai2 2ann同理有Da1 jA1ja2j A2 janj Anj推論n階行列式Dana21La12a22Lan1an2LLLLa1na2nLann的任意一行(列)的各元素與另一行(列)對應的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即ai1 As1 aij Altai2As2 L ain Asn a2jA2t L anj Ant0(is)0(jt)證考慮輔助行列式a11La

15、1jLa1jLa21La2jLa2jLMMMMMMan1LanjLanjLD1i列j列a2na1na2nM按第t列展a1 j Ata2j A2tLanj Ant( jt).該行列式中有兩列對應元素相等.而D10，所以0.ai j Alta2 j A2tL anj Ant ( j t)關于代數(shù)余子式的重要性質nD ,ijaki AiDjk1 jij0,ij；naik Ajkk 1D ijD,i0,ij，其中ijj；1,i j，0,i j.例4:計算四階行列式1131201231104205在計算數(shù)字行列式時，直接應用行列式展開公式并不一定簡化計算，因為把一個 階行列式換成n個（n-1）階行列式的

16、計算并不減少計算量，只是在行列式中某一行或 某一列含有較多的零時，應用展開定理才有意義.但展開定理在理論上是重要的.三、行列式的計算利用行列式按行按列展開定理，并結合行列式性質，可簡化行列式計算：計算行列式時，可先用行列式的性質將某一行（列）化為僅含1個非零元素，再按此行（列）展開，變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式.化零,計算行列式常用方法：122222211 1C3 C11000按第2行展2 1r1 2D11146121146c42c13146.(1)2172171217111100C2c1按第1行展11 1353521462135211224.C3C1393921

17、723911解:例5已知4階行列式3205027342020202,求 M41M 42 M 43 M 44的值.其中Mjj為ajj的余子式.解：（方法1）直接計算A4i（i 1,2,3, 4）的值，然后相加（略）.（方法2）利用行列式的按列展開定理，簡化計算.7324202143 4 0283 41111 1111002A24A34042228.0101M 43 M 441A14M 41M 42A441 A411 A42( 1) A431 A44例6:計算n階行列式xy0L00010L00xyL00002L0MMMMMM1DnMMMMM000Lxy000Ln 1y00L0xn00L0(1)Dn

18、按第1列展解：(JDnShaha21A21L an1 An1xy0L00y00L000xyL00xy0L00MMMMMM1 y( 1)n 1MMMMMM000Lxy000Ly0000L0x000Lxyx( 1)1 1/ 八n 1 n(1) y .按第1列展Dna11 A11a21 A21L an1An1(1)n1 n!./ 八n 1(1) n例7:計算四階行列式D4解：按第1行展開，有a ba b00a ba bD4 (a b)( 1)11a ba b0(a b)( 1)1 40a ba b00a ba b00.147對等式右端的兩個3階行列式都按第3行展開，得D (a b)2 (a b)224a2b2.例8:證明范得蒙行列式(Van derm ondeDnX1Ln 1X1X2Ln 1X2LLLLXiLn 1Xn(X Xj) (n 2),1 j i n其中(XiXj)表示所有可能的(XiXj)(j i)的乘積.證：(用數(shù)學歸