空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)題(含答案解析)

1、§ 3 空間向量與立體幾何【知識(shí)要點(diǎn)】1.空間向量及其運(yùn)算:(1) 空間向量的線性運(yùn)算: 空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊 形法則拓廣到空間依然成立. 空間向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律:加法交換律:a+ b = b + a ；加法結(jié)合律:但+ b + C) = a+ (b + C)；分配律：(+) a=(a + b)=a +(2) 空間向量的基本定理:共線(平行)向量定理：對(duì)空間兩個(gè)向量a, b(b工0), a /b的充要條件是存在實(shí)數(shù)使得a / b . 共面向量定理：如果兩個(gè)向量a, b不共線，則向量C與向量a, b共面的充要條件是存在惟一一對(duì)實(shí)

2、數(shù)，使得空間向量分解定理：如果三個(gè)向量C不共面，那么對(duì)空間任一向量 P ,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組1,3，使得ia+2b +3C.(3) 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算:cos a, b> ；空間向量的數(shù)量積的定義：a b = |a | |b | 空間向量的數(shù)量積的性質(zhì):a e= |a | cos< a, e>； a丄ba b = 0； |a|2= a a; |ab|<|a | |b | . 空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:(a) b =(a b)；交換律：a b = b a ；分配律：(a+ b) = a c+ b c.(4) 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示:空間向量的正交分解：建立空間直角坐標(biāo)

3、系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方i，j，k,向引單位向量i, j, k，則這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底由空間向量分解定理，對(duì)于空間任一向量a，存在惟一數(shù)組(ai, a2, a3),使a= aii + a2j +a3k，那么有序數(shù)組但1,a2,a3)就叫做空間向量a的坐標(biāo)，即a=但i, a2,a3).空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示:設(shè) a = (ai, a2, a3), b = (bi, b2, b3)，則a+ b = (ai + bi, a2+ b2, as + b3)； a b = (ai - bi, a2- b2, as b3)；a = ( ai,a2,a3)

4、； a b = aibi + a2b2 + a3b3.空間向量平行和垂直的條件:ab(b MO)a = b a1 = b1, a2=b2, a3=b3( R)；a丄b a b = 0aibi + a2b2 + a3b3 = 0. 向量的夾角與向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式:設(shè) a = (ai, a2, a3), b = (bi, b2, b3)，則gbi a2b2 asd|a | Va a Ja： a； af ,| b| Vb b Jb b2 b3;cos a,b,，-;|a|b| Ja； a| a；Jb2 b； b；在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(ai, a2, a3), B(bi, b2, b3)，貝U

5、 A, B兩點(diǎn)間的距離是 |AB| J(ai b)2 2 b2)2 3 bO2.2 .空間向量在立體幾何中的應(yīng)用:(1)直線的方向向量與平面的法向量:如圖，I為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量a的直線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線I上的充要條件是存在實(shí)數(shù)a叫做直線的方向向量.由此可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一確定.如果直線I丄平面 ，取直線I的方向向量a,則向量a叫做平面 的法向量.由此可知，給定一點(diǎn) A及一個(gè)向量a，那么經(jīng)過(guò)點(diǎn)A以向量a為法向量的平面惟一確定.(2)用空間向量刻畫(huà)空間中平行與垂直的位置關(guān)系:設(shè)直線I, m的方向向量分別是a, b，平面的法向量分別是U, v

6、，則 l/ma /ba = kb , k R； I/a /uu/Va = ku , k R；u = kv, k R；用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問(wèn)題:異面直線所成的角：設(shè)a, b是兩條異面直線，過(guò)空間任意一點(diǎn) O作直線a / b /,則a與)所夾的銳角或直角叫做異面直線 a與b所成的角.,顯然(0,寸,則|COS Vi,V2| Vi V2 I|Vi IIV2 I角.直線和平面所成的角:直線和平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的設(shè)直線a的方向向量是u，平面的法向量是 V,直線a與平面的夾角為設(shè)異面直線a與b的方向向量分別是 vi, v2, a與b的夾角為n1 |u|V|0,，

7、則 |cos u, V2記作二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.I在二面角的棱上任取一點(diǎn) 0,在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作射線 OA丄l,0B丄I，則/A0B叫做二面角I的平面角.利用向量求二面角的平面角有兩種方法:方法一:如圖，若AB , CD分別是二面角I 的兩個(gè)面內(nèi)與棱I垂直的異面直線，則二面角I的大小就是向量 AB與CD的夾角的大小.方法二:如圖，mi, m2分別是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，則mi, m2與該二面角的大小相等或互補(bǔ).(4)根據(jù)題目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立 體幾何問(wèn)題.【復(fù)習(xí)要求】1.了解空間向量的概念，了解

8、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分 解及其坐標(biāo)表示.2 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4 .理解直線的方向向量與平面的法向量.5 能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系.6 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題.【例題分析】例1如圖，在長(zhǎng)方體OAEB OiAiEiBi 中，OA = 3, OB = 4 , OOi= 2，點(diǎn) P 在棱AAi 上，且 AP= 2PAi,點(diǎn)S在棱BBi上，且BiS= 2SB,點(diǎn)Q , R分別是OiBi, AE的中點(diǎn)，求證：PQ /RS.Ar【分析】

9、建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)法證明存在實(shí)數(shù)k，使得PQ kRS解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則0(0, 0, 0), A(3 , 0 , 0), B(O , 4 , 0), Oi(0, 0 , 2), Ai(3 , 0, 2) , Bi(0, 4, 2), E(3, 4, 0).AP = 2PAi, AP -aAi -(O,O,2) (O,O,-),3334P (3,O,-)同理可得：Q(O , 2 ,22) , R(3 , 2 , 0), S(0,4,-)3PQ ( 3,2,|)3RS,PQ/RS，又 RPQ,PQ /RS.【評(píng)述】1、證明線線平行的步驟:(1)證明兩向量共線;(2)證明其中一個(gè)向量

10、所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上即可.2、本體還可采用綜合法證明，連接 PR, QS，證明PQRS是平行四邊形即可，請(qǐng)完成這個(gè)證明.例 2 已知正方體 ABCD AiBiCiDi 中，M , N , E, F分別是棱 AiDi, AiBi, DiCi,BiCi的中點(diǎn),求證：平面 AMN /平面EFBD.ftC,CF【分析】要證明面面平行， 可以通過(guò)線線平行來(lái)證明，也可以證明這兩個(gè)平面的法向量 平行.解法一：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(O , 0, 0) , A(4 , 0,0),M(2 , 0, 4),N(4 , 2 , 4), B(4 , 4 , 0) , E(

11、0 , 2 , 4) , F(2 , 4 , 4).取MN的中點(diǎn)K , EF的中點(diǎn) G , BD 的中點(diǎn) O ,則 O(2, 2 , 0), K(3 , 1, 4), G(1 , 3 ,MN = (2 , 2 ,0),EF = (2 , 2 , 0), AK = ( 1 , 1 , 4), OG = ( 1, 1, 4),MN / EF ,AKOG , MN/EF , AK/OG ,MN /平面 EFBD ,AK /平面 EFBD ,平面 AMN /平面 EFBD.解法二：設(shè)平面AMN的法向量是a = (ai, a2 ,a3),平面EFBD的法向量是b = (b1 , b2 , b3).由a

12、AM0, a AN 0,2a12a24a34a30,取 a3= 1,得0,a= (2 , 2 ,1).由b DE0,bBF 0,得企2b14b34b30,取 b3= 1,得0,b = (2, 2 ,1).a /b, 平面 AMN /平面 EFBD.注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)綜合法加以證明，請(qǐng)?jiān)囈辉?例3 在正方體 ABCD A1B1C1D1中，M, N是棱A1B1 , B1B的中點(diǎn)，求異面直線AM和CN所成角的余弦值.解法0) , A(2 , 0,0), M(2 , 1 , 2), C(0, 2 , 0) , N(2 , 2 , 1).AM (0,1,2),CN(2,0,1),設(shè)

13、AM和CN所成的角為，則 cosAM CN異面直線AM和CN所成角的余弦值是| AM II CN |2解法二：取AB的中點(diǎn)P, CCi的中點(diǎn)Q,連接BiP, BiQ, PQ, PC.易證明：BiP/MA , BiQ /NC,/PBiQ是異面直線 AM和CN所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2，易知BiP BiQ75, PQJpc2 QC2 76,cos PB,QBiP2 BQ2 PQ22BP BiQ25,異面直線AM和CN所成角的余弦值是【評(píng)述】空間兩條直線所成的角是不超過(guò)90。的角，因此按向量的夾角公式計(jì)算時(shí)，分 子的數(shù)量積如果是負(fù)數(shù)， 則應(yīng)取其絕對(duì)值，使之成為正數(shù)，這樣才能得到異面直線所成的角例

14、4 如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為 J2a，求直線ACi與平面ABBiAi所成角的大小.ABBiAi的法向量【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)， 適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計(jì)算；二是利用平面 求解.P3a aJJ2 2解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0 , 0, 0) , B(0 , a , 0) , A(0,0,J2a),J2a）取 AiBi 的中點(diǎn) D,則 D（0,旦，J2a），連接 AD , CiD.2|f aI1IJ丁 0,0）,AB（0，a，0）,AAi（0,0,忌）,DCi AB0, D

15、Ci AA 0,DC平面 ABBiAi,zCiAD是直線ACi與平面ABBiAi所或的角.ACi （子,"I，血a）, AD （0,|，血a）,cosCiAD 壬竺|ACi |AD|J32直線ACi與平面ABBiAi所成角的大小是 30解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0 , 0 , 0), B(0 , a, 0), Ai(0 , 0, J2a),Ci(號(hào)從而AB（。翻莎（o,。，忌疋 1（存+設(shè)平面ABBiAi的法向量是a = (P, q, r).由 a AB 0,a AA 0,得aq 0,取P = 1,得V2ar0,a= (1, 0,0) 設(shè)直線ACi與平面ABBiAi所成的

16、角為sin I cosAC1,a |AC1 a|疋 I|a|12'30 .【評(píng)述】充分利用幾何體的特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，再利用向量的知識(shí)求解線面角;法二給出了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互余轉(zhuǎn)換.例5 如圖，三棱錐P-ABC中，PA丄底面 ABC, AC丄BC, PA= AC = 1 , BC J2 ,求二面角A - PB- C的平面角的余弦值.解法一：取PB的中點(diǎn)D,連接CD,作AE丄PB于E.PA = AC = 1 , PA丄 AC,PC= BC =寸2 ,.CD 丄 PB.EA丄 PB,向量EA和DC夾角的大小就是二面角A - PB- C的大小.如圖建立

17、空間直角坐標(biāo)系，則C(0 , 0, 0), A(1 , 0 , 0), B(0,丿2 , 0), P(1 , 0 , 1),AP21AB23EA|),DC (41 逅 1.2,亍 2)cosEA, DCEA DC|EA|DC|即二面角A PB C的平面角的余弦值是解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系,A(0, 0, 0), B(V2,1,O) , C(0 , 1 , 0), P(0,0, 1),AP (0,0,1), AB (J2,1,O),CB(J2,O,O),C P (0, 1,1).設(shè)平面PAB的法向量是a= (a1, a2, a3),平面PBC的法向量是b = (b 1, b2,b3).由a

18、 AP0,aAB0,a30,得妊1a2取0,a1 = 1，得 a(1,血,0).由b CB0,bCPb20,b3取 b3 = 1，得 b = (0 , 1, 1). 0,1 1由D是PB的中點(diǎn)，得Dg,務(wù)，才得E是PD的中點(diǎn)，從而E(-2,-)4443cos a,b二面角A PB C為銳二面角,二面角A PB C的平面角的余弦值是I 罟1 罟【評(píng)述】1、求二面角的大小，可以在兩個(gè)半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩個(gè)向量，轉(zhuǎn)化為 這兩個(gè)向量的夾角；應(yīng)注意兩個(gè)向量的始點(diǎn)應(yīng)在二面角的棱上.2、當(dāng)用法向量的方法求二面角時(shí)，有時(shí)不易判斷兩個(gè)平面法向量的夾角是二面角的平面角還是其補(bǔ)角，但我們可以借助觀察圖形而得到結(jié)

19、論，這是因?yàn)槎娼鞘卿J二面角還是鈍 二面角一般是明顯的.例6 如圖，三棱錐 P ABC中，PA丄底面 ABC, PA= AB, /ABC = 60。，啟CA= 90。，點(diǎn)D , E分別在棱PB, PC上，且DE/BC.(I )求證：BC丄平面PAC;(n )當(dāng) D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求 AD與平面PAC所成角的余弦值;(川)試問(wèn)在棱PC上是否存在點(diǎn)E,使得二面角 A DE P為直二面角？若存在，求出PE： EC的值；若不存在，說(shuō)明理由. AP BC 0,C丄 AP .又/BCA = 90,.BC丄 AC.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA= a,由已知可得 A(0 , 0, 0), B(-a?23

20、a,0),C(0?23a,0), P(0,0, a).2 2 2(I 廠AP (0,0,a),BC(2a,0,0),BC丄平面PAC.（n ）.D為PB的中點(diǎn)，DE/BC,.E為PC的中點(diǎn).D( ia43a，ia),E(043a，ia)44242由（I ）知，BC丄平面PAC,.DE丄平面PAC,/DAE是直線AD與平面PAC所成的角. AD ( 4a43a,la),AE (0罟a,*),cos DAE 竺 AE 用|AD|AE|即直線AD與平面PAC所成角的余弦值是（川）由（n ）知，DE丄平面PAC,.DE丄AE, DE丄PE, ZAEP是二面角A DE P的平面角.PA丄底面 ABC,.

21、PA丄AC，/PAC= 90在棱PC上存在一點(diǎn)E,使得AE丄PC,PE PA24這時(shí)，/A吐90 °，且EC亦3故存在點(diǎn)E使得二面角 A DE P是直二面角，此時(shí) PE : EC= 4 : 3 .注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)綜合法加以證明，請(qǐng)?jiān)囈辉?練習(xí)1-3、選擇題:1.在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E是BBi的中點(diǎn)，則二面角E AiDi D的平面角的正切值是（）(A) V2(B)2(C) V5(D) 2寸 22 正方體 ABCD AiBiCiDi中，直線 ADi與平面AiACCi所成角的大小是（）(A)30(B)45(C)60(D)903 .已知三棱柱ABC

22、 AiBiCi的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,Ai在底面ABC內(nèi)的射影為 ABC的中心，貝yAB 1與底面ABC所成角的正弦值等于（1(A)3(B)習(xí)2(D)34 如圖,n = I,A , B,A, B到I的距離分別是a和b, AB 與所成的角分別是和 ，AB在內(nèi)的射影分別是m和n,(A)(C)二、填空題: 5 .在正方體 ABCD AiBiCiDi 中，E, F, G, H 分別為 AAi, AB, BBi, BiCi 的中點(diǎn),則異面直線EF與GH所成角的大小是6 .已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為J6，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四3棱柱的體積等于 7 .如圖，正四棱柱 ABCD AiBiCi

23、Di中，AAi= 2AB，則異面直線 AiB與ADi所成角的余弦值為18 .四棱錐 P ABCD 的底面是直角梯形，/ BAD = 90 °,AD /BC, AB BC AD , PA2，則丄底面ABCD , PD與底面ABCD所成的角是30。.設(shè)AE與CD所成的角為cos =三、解答題:9 .如圖，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AAi = 2AB = 4，點(diǎn) E在 CCi 上，且 CiE= 3EC.£CC,(I )證明：AiC丄平面BED;nABC - , 0A 丄4(n )求二面角Ai DE B平面角的余弦值.10 如圖，在四棱錐 0 ABCD中，底面ABC

24、D是邊長(zhǎng)為1的菱形,底面ABCD , 0A = 2 , M為0A的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).D(I )證明：直線MN /平面OCD ;(n )求異面直線 AB與MD所成角的大小.11 .如圖，已知直二面角PQ , A PQ, BC , CC , CA = CB, /BAP=45 °，直線CA和平面(I )證明：BC丄PQ;(n )求二面角B-AC P平面角的余弦值.習(xí)題1、選擇題:1 關(guān)于空間兩條直線 a b和平面，下列命題正確的是()(A)若 a/b, b，則 a /(B)若 a /, b，貝y a /b(C)若 a /, b /，貝U a /b（D）若a丄 ,b丄，貝U a /b2

25、.正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2晶 ，底面邊長(zhǎng)為2，則該棱錐的體積為(A)8(B)|(C)6(D)23 .已知正三棱柱 ABC AiBiCi的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則直線ABi與側(cè)面ACCiAi所成角的正弦值等于（）(A)罟(BF(C)普(D)半4 .已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸伸位:cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（）(A)40%3(C)2000cm 310俯視0正ft(B)8000cm33(D)4000cm 35 .若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為 2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為60的菱形，則該棱柱的體積等于 （）(A) 72(B) 22(C) 3花(D) 4丘二、填空題:已知正

26、方體的內(nèi)切球的體積是4J3n則這個(gè)正方體的體積是若正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面邊長(zhǎng)為1 , ABi與底面ABCD成60。角，則直線ABi和BCi所成角的余弦值是若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為J3，則其外接球的表面積是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱(chēng)為球的弦半徑為4的球的兩條弦 AB、CD的長(zhǎng)度分別等于2J7、4巧，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為io .已知AABC是等腰直角三角形， AB = AC = a, AD是斜邊BC上的高，以 AD為折痕使/BDC成直角在折起后形成的三棱錐A BCD中，有如下三個(gè)結(jié)論:直線AD丄平面BCD;側(cè)面ABC是等邊三角形;

27、三棱錐A BCD的體積是V2 3 a .24其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題:ii 如圖，正三棱柱AB = AAi.(I )求證：AD 丄 BiD;(n )求證：AiC/ 平面 AiBD;（川）求二面角B ABi D平面角的余弦值.12 .如圖，三棱錐 P ABC 中，PA丄AB, PA丄AC, AB丄AC, PA= AC = 2 , AB= 1, M為PC的中點(diǎn).(I )求證：平面PCB丄平面MAB ;(n )求三棱錐P ABC的表面積.i3 .如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，/ ABC= 90 °,AB = BC = AAi = 2 , M、

28、N 分別是AiCi、BCi的中點(diǎn).Clc(I )求證：BCi丄平面AiBiC;(n )求證：MN /平面 AiABBi；(川)求三棱錐 M BCiBi的體積.14 在四棱錐S ABCD中，底面ABCD為矩形，SD丄底面ABCD , AD J2 , DC = SD=2 點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，/ABM = 60(I )證明：M(n)求二面角一、選擇題:二、填空題:5. 60 °6 . 2是側(cè)棱SC的中點(diǎn);S AM B的平面角的余弦值.練習(xí)1-38. ¥三、解答題:9 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D xyz .依題設(shè)，B(2 , 2 , 0) ,

29、C(0, 2 , 0) , E(0, 2 , 1), Ai(2 , 0, 4).DE (0,2,1),DB(2,2,0),AiC( 2,2, 4), DA (2,0,4).(I ) AC DB 0,AC DE 0,.AiC 丄 BD , AiC 丄 DE.又 DB nDE= D ,.AiC丄平面 DBE.(n)設(shè)向量n = (x, y, z)是平面DAiE的法向量，則n DE,n DA,.2y2xz4z0 令 y= I，得 n = (4, I, - 2).cos(n, AC)n ACJi4JT4miiACi P2二面角Ai-DE-B平面角的余弦值為 wI0 .作AP丄CD于點(diǎn)P.如圖，分別以

30、AB, AP , AO所在直線為x, y, z軸建立坐標(biāo)系.則 A(0 , 0 , 0), B(i, 0 ,I), N(i 晉，晉,0) (I )MN (i 孚,¥，0), P(0,¥,O),D("",0) , O(0 , 0 , 2) , M(0, 0,i),Op (O,#, 2),Od (善，琴,2)設(shè)平面OCD的法向量為n = (x, y, z)，則n OP0, n OD 0,丁 y 2z 0,即x -y 2z 0.72,，得 n(0,4,72).MN n0, aMN /平面 OCD .(n)設(shè)AB與MD所成的角為AB (1,0,0), MD (丘

31、丘1), COSI AB MD I 1| AB|MD |2'n3,即直線AB與MD所成角的大小為11 . (I )證明：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CO丄PQ于點(diǎn)O,連結(jié)OB.n = PQ ,aCO 丄又.5 = CB,aOA = OB .,.BO丄 PQ,又 CO丄 PQ,/BAO = 45 °,.ABO = 45 °,AOB = 90PQ丄平面 OBC,.PQ丄 BC.(n )由(I )知，OC丄OA, OC丄OB , OA丄OB,故以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線 OB, OA ,OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).CO丄,a/CAO是CA和平面所成的角，則/ CAO

32、 = 30 ° .不妨設(shè) AC = 2，貝y AO V3 , CO = 1 .在 Rt OAB 中，/ABO = /BAO = 45 °，/BO AO /3.o（o,o,o）,b（/3,o,o）,a（o,73,o）,c（o,o,i）.AB （73,廳,o）,AC （0, 5/3,1）.設(shè)ni = (x, y, z)是平面ABC的一個(gè)法向量,ni（1,1, J3）.由n今0,得佯屁0,取x= 1 , n AC 0, 妁 z 0,易知n2= (1 , 0, 0)是平面 的一個(gè)法向量.設(shè)二面角B- AC P的平面角為 COSn1 n2|n1|n2|J5即二面角B AC P平面角的

33、余弦值是習(xí)題、選擇題:二、填空題:10 .、三、解答題:11 . （I ）證明:/ ABC A1B1C1 是正三棱柱，BB1丄平面ABC,平面BB1C1C丄平面ABC.正KBC中，D是BC的中點(diǎn)， AD丄BC,aAD丄平面BB1C1C,AD 丄 B1D.4（n ）解：連接 A1B,設(shè) A1BnAB1 = E,連接 DE.AB = AA1,四邊形 A1ABB1是正方形,E是AiB的中點(diǎn)，又 D是BC的中點(diǎn)， DE/A1C.DE 平面 AiBD, AiC 平面 AiBD ,.AiC/ 平面 Ai BD .（川）解：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB = AA1= 1,431則 D(0,0,0),A(0,0),B1( -0,1)設(shè) n 1 = (p ,q , r）是平面AiBD的一個(gè)法向量,則 n1 AD0,且 ni BiD 0,0, P r0.取 r = 1，得 ni= (2, 0, 1).2