自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)答題

1、+理工大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模強(qiáng)化訓(xùn)練專題四自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題學(xué)員：曹陽(yáng)許佳利 倪迪杭學(xué)院：通信工程學(xué)院時(shí)間：2010.08.19自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題本文就自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，采用解析幾何的方法建立數(shù)學(xué)模型， 求出了自行車在各種不同形狀的道路上行駛時(shí)飾物和橢圓板中心的運(yùn)動(dòng)軌跡方 程，并且利用Matlab軟件模擬仿真出了兩者的運(yùn)動(dòng)軌跡。對(duì)于問(wèn)題1和問(wèn)題2,先運(yùn)用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方程， 而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運(yùn)動(dòng)建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。 求出的曲線軌跡分別見圖2、圖4和圖5。對(duì)于問(wèn)題4,將“圓板”換為“橢圓板”，通過(guò)設(shè)定參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的 知識(shí)

2、，將轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中橢圓板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表示，求出了其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。其軌跡圖像見圖 &關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)軌跡，解析幾何，拋物線，橢圓，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、問(wèn)題的提出為了改變平淡的自行車外表，給自行車添加一分美妙的動(dòng)感，同時(shí)，也為了 增加騎車人的“安全系數(shù)”，一些騎車人及自行車廠家在自行車的輻條上安裝一 塊亮麗的飾物。當(dāng)有這種飾物的自行車在馬路上駛過(guò)時(shí)，這種飾物就如游龍一樣， 對(duì)街邊的行人閃過(guò)一道波浪形的軌跡。這一波一閃的光亮游龍，也默默地維護(hù)著 騎車人的安全。建立數(shù)學(xué)模型解決以下問(wèn)題：1、這軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。2、當(dāng)這自行車又在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，或是在一拱一拱的正弦 曲線（例

3、如山地摩托車賽場(chǎng)）上通過(guò)時(shí)，這飾物又畫出一條曲中有曲的軌跡，這 軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。3、這種滾動(dòng)中圓盤中心的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？4、將問(wèn)題中“圓板”換為“凸形板”（例如橢圓板）時(shí)，其滾動(dòng)軌跡會(huì)有什么結(jié) 果？二、問(wèn)題的分析對(duì)于問(wèn)題1、2,裝有飾物的自行車在馬路上行駛過(guò)程中，飾物會(huì)形成一道 道曲線軌跡。而隨著路況的不同，如平坦的公路、拋物線形的拱橋、正弦曲線形 的山地摩托車賽場(chǎng)等，飾物會(huì)形成不同的曲線軌跡。不管形狀的道路怎么樣，不 管曲線軌跡有多復(fù)雜，都可以先運(yùn)用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方 程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運(yùn)動(dòng)建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。飾物繞車輪軸心的

4、參數(shù)方程是較易得到的， 故問(wèn)題的關(guān)鍵在于求出不同形狀 的道路上自行車輪軸心的軌跡方程。求出飾物的軌跡方程后，設(shè)定合理的參數(shù)， 利用Matlab軟件就可以模擬仿真出飾物的曲線軌跡。對(duì)于問(wèn)題4,研究凸形板（橢圓板）中心的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，可以通過(guò)設(shè)定參數(shù), 將轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中橢圓板中心的坐標(biāo)通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換用參數(shù)表示，求出其運(yùn)動(dòng)軌跡方 程，設(shè)定合理的參數(shù)，利用 Matlab軟件就可以模擬仿真出橢圓板中心的曲線軌 跡。三、模型假設(shè)1、自行車在行駛過(guò)程中車輪不打滑；2、自行車在行駛過(guò)程中速度保持不變；3、自行車在行駛過(guò)程中車輪始終與地面接觸。1、符號(hào)說(shuō)明Ra,b四、模型的建立及求解自行車輪的半徑飾物距車輪軸心的距離自

5、行車車輪上的飾物 自行車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度 定常量2、模型建立2.1模型1 （問(wèn)題1）2.1.1模型的分析自行車在馬路上行駛時(shí)，可以認(rèn)為馬路是平坦的，因此自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng) 軌跡就是一條直線。求出這條直線方程后聯(lián)立飾物繞車輪軸心的參數(shù)方程，就可以容易的得到飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡。在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性時(shí)，可以利用圖像求出幾個(gè) 特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，與利用軌跡方程求出的坐標(biāo)一一比較， 若兩者求出的坐標(biāo)都是相 同的，則驗(yàn)證了模型的正確性。2.1.2模型的建立與求解設(shè)自行車輪的半徑為R，某一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，1所示，則飾物B的初始坐標(biāo)車輪上的飾物B距離車輪軸心為r。以自行車輪上 假設(shè)飾物B的初始位置在y軸上，其示意圖如

6、圖Bo 為 0,R r。v設(shè)自行車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為，則自行車的速度為物B的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：R。經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，飾xrsin t，yr cos tox Rt， y Ro所以，飾物B的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：r sin t r cos ty根據(jù)一般自行車的規(guī)格，取R 軟件畫出其圖像如圖2所示：0.5m, rRt，R。0.4m,20rad / s ,使用 Matlab而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程:圖2飾物在平坦道路上的軌跡2.1.3模型的驗(yàn)證用飾物B在特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)驗(yàn)證模型。假設(shè)自行車沿正x軸方向行駛，貝哨行車輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)一、 和- 時(shí)的坐標(biāo)分別為B1、B2和Ba。2

7、 2飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)一時(shí)的圖像如圖3所示。2由圖像我們可以得到Bj的縱坐標(biāo)為R。飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)一時(shí)，車輪中心經(jīng)過(guò)的2距離為一R，故Bi的橫坐標(biāo)為一R r。因此飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)一時(shí)的坐標(biāo)為2 2 2B R, R r。而把t T一 帶入方程式求得的B的坐標(biāo)Bi'R-R r，這2422與Bi的坐標(biāo)是相同的。3用同樣的方法，我們可以把飾物B轉(zhuǎn)動(dòng) 和3時(shí)的圖像作出，然后利用圖 像求得飾物B轉(zhuǎn)動(dòng) 和3時(shí)的坐標(biāo)，這與由方程式計(jì)算出飾物 B轉(zhuǎn)動(dòng)2時(shí)的坐標(biāo)都是相同的。從而驗(yàn)證了我們的模型的正確性。2.2模型2 （問(wèn)題2）個(gè)類 拋物線。在求飾物的軌跡時(shí)，先利用拱橋的拋物線方程求出自行車輪軸心的軌跡， 然后聯(lián)立飾物的坐標(biāo)的

8、參數(shù)方程，就可以得到飾物的軌跡。當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)， 使用類似的方法，先求出自行 車輪軸心的軌跡，然后確定飾物的軌跡。2.2.2模型的建立與求解（1）當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，設(shè)拱橋的拋物線方程為：2.2.1模型的分析當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，自行車輪軸心的軌跡是Xi X0,2yiaX0bx0(a 0, b 0)。拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率ki為:人yi |x2ax0 b ,則該點(diǎn)的法向量的斜率k2為:1k2。ki假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為（X2,y2），則自行車輪的軸心的軌跡方程為:2 2 2(y2 yi) (X2 xi)R ,k2oX2為y2

9、yi解之得:X2Xiy2yiRk2F?Ro廠這就是自行車輪軸心的軌跡方程。拋物線上從原點(diǎn)到任意一點(diǎn)的距離為 s，則有:xs 0Ji (yi')2dx-1 ki Ji ki2 ln4abji b2 In 4aki Ji ki2b Ji b2又根據(jù)行駛路程與行駛時(shí)間之間的關(guān)系，有s vt Rt，令u t，則:su 一。R而經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，飾物B的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程:x r si nu,y r cosu。而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程:xX2,yy2。所以，飾物B的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程:x rsinu x2,y r cosu y2o這就是當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)

10、時(shí)飾物B的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取a 0.05, b 2，R 0.5m，r 0.4m，使用Matlab軟件畫出其圖像如 圖4所示：圖4飾物在拋物線拱橋上的軌跡(2)當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)，設(shè)正弦曲線的方程為:X Xo,y1 asi nbXoO 0,b 0)。正弦曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率k1為:kiyi lx Xab cosxo,則該點(diǎn)的法向量的斜率k2為:k2丄ki假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為(X2,y2)，貝哨行車輪的軸心的軌跡方程為:(y2 yi)2 (X2 xi)2 R2,k2oy2 yX2 X,解之得:X2Xiy2yiRR_ 。丄這就是自行車輪軸心的軌跡方程。設(shè)自行車在正弦曲線上行

11、駛的距離為 s，則有：X0 Ps x'j1 (y1)2dx o這個(gè)定積分較為復(fù)雜，故在求解s的時(shí)候，運(yùn)用微積分的思想，將圖形等步 長(zhǎng)微分成n份，對(duì)每一部分求出面積后累加即可得到 s的解。n越大，求出的s就 卻精確。故有：s 冷(y1)dxx0 'nJ1 (abcosi)2。i 1 n Vn同樣令u t，根據(jù)s vtRt，得到飾物B的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程:x rsinuX2,圖5飾物在正弦曲線上的軌跡1, b 0.6, n 100 , R 0.5m, r 0.4m，使用 Matlab 軟件畫出其 5所示：y r cosu y2o這就是當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)飾物 B的

12、運(yùn)動(dòng)軌跡方程。 取a圖像如圖模型3 (問(wèn)題4)2.32.3.1模型的建立與求解將問(wèn)題中的“圓板”換為“橢圓板”之后，考慮在水平道路上運(yùn)動(dòng)。 設(shè)初始狀態(tài)時(shí)橢圓的方程為：2 2y a x221 a b 0 ，a b其參數(shù)形式為:x bsin , y a acos o則橢圓中心的坐標(biāo)為0 0, a，坐標(biāo)原點(diǎn)為01 0,0，如圖6所示。圖6設(shè)橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度 后，橢圓中心為0' X2,y2 A Xo,yo。嘗試通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，找出橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)角度 達(dá)式，即：，橢圓與X軸的切點(diǎn)為 后x2和y2關(guān)于的參數(shù)表X2X2y2y2則過(guò)切點(diǎn)A x0,y0的切線方程為:yo a y2 aX0gX 1。b2所以，該切

13、線的斜率k2為:k2b2 yoa2Xo atan 。從而可以推得:yo a2a帯Xo。b k2點(diǎn)A Xo,yo在橢圓上，故又滿足:yo a2 a聯(lián)立（1）、（2）可以得到：2Xo1。b2Xob2k2yoa這樣就得到了 Xo和yo關(guān)于 的參數(shù)表達(dá)式。 由于點(diǎn)A Xo，yo在橢圓上，亦滿足橢圓的參數(shù)方程:Xoyobsin o,0°a a cos故得到:令直線OA與橢圓長(zhǎng)軸的夾角為tanarc cos 1，則有:Xoayoyo 。a故,arc tanXoa yo令坐標(biāo)原點(diǎn)Oi和切點(diǎn)A之間的弧長(zhǎng)OiA為s，則有:o722,s va Sin b cos d 。o運(yùn)用微積分的思想求解s，將圖形等

14、步長(zhǎng)微分成n份，對(duì)每一部分求出面積 后累加即可得到s的解。n越大，求出的s就卻精確。故有：7a2 sin2b2 cos2 d2.i o Sin n2i ocos。n切點(diǎn)A X0,y0到橢圓中心O 0,a的距離d2yo a觀察圖7,容易得到橢圓中心o'在坐標(biāo)軸中滿足:%o1a'1 1OAy2O'a' cossin所以，橢圓中心O在橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程當(dāng)中的軌跡方程為:x2s d sin取a 4.5 , b 2.5，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖8所示:圖8橢圓中心在水平道路上運(yùn)動(dòng)軌跡五、模型的評(píng)價(jià)本文通過(guò)對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中飾物以及圓板（凸形板）的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)的 分析

15、，并通過(guò)一定的物理和數(shù)學(xué)思想及方法，借助于MATLAB件模擬了問(wèn)題中所需的各點(diǎn)的軌跡。在解決問(wèn)題二時(shí)，我們巧妙地運(yùn)用了數(shù)值積分的方法， 把自 行車在拋物線軌道上通過(guò)時(shí)飾物的軌跡方程求解出來(lái)，從而模擬出了其軌跡。對(duì)于問(wèn)題四，我們?cè)O(shè)定了橢圓參數(shù)方程，通過(guò)對(duì)其運(yùn)動(dòng)過(guò)程物理狀態(tài)的分析，完成 了對(duì)其中心軌跡的求解。本文的缺點(diǎn)在于由于時(shí)間有限，對(duì)于問(wèn)題 4的求解，只考慮橢圓板在水平直 線上的運(yùn)動(dòng)。七、模型的推廣可以將問(wèn)題4拓展為較為簡(jiǎn)單的凸形板在常見平滑曲線上的運(yùn)動(dòng)， 通過(guò)設(shè)定 參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識(shí)，將轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中簡(jiǎn)單的凸形板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表 示，從而求出其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。參考文獻(xiàn)1.同濟(jì)大學(xué)數(shù)

16、學(xué)系高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)高等教育出版社 2007 年4月出版附錄一一圖2的程序:t=0:0.01:3;r=0.4;R=0.5;a=3;v=a*t w=v./R x =-r*si n(w.*t)+w.*R.*t ; y =R-r*cos(w.*t); plot(x,y)axis(0 7 0 1.2)附錄二圖4的程序：x0=-1:0.01:40;a=-0.05;b=2;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y仁a*x0.A2+b*x0k1=2*a*x0+b;plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率；x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x1;y2=R./

17、sqrt(1+(1./k2).A2)+y1%p Iot(x2,y2)hold onu=1/R*(1/(4*a)*(k1.*sqrt(1+k1.2)+Iog(k1+sqrt(k1.2+1)-1/(4*a)*(b*sqrt(1+b2)+Iog(b+sqrt(1 +b2);x=-r*s in( u)+x2;y=y2-r*cos(u);Plot(x,y);axis(-2 45 0 30)圖5程序：x0=-2:0.01:18; a=1； b=0.6;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*si n(b*x0);k1=a*b*cos(b*x0);plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1

18、;%法線的斜率；x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1;%p Iot(x2,y2)hold onfor x3=-2:0.01:18s=0;for i=1:100s=s+sqrt(1+(a*b*cos(b*i*(x3+2)/100-2)A2)*(x3+2)/100end u=s/Ry1=a*si n(b*x3);k仁a*b*cos(b*x3);k2=-1./k1;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x3;y2=R./sqrt(1+(1./k2)A2)+y1;x=-r*s in( u)+x2;y=y2-r*c