解析幾何中的定點(diǎn),定值問答(含答案解析)

1、解析幾何中的定點(diǎn)和定值問題【教學(xué)目標(biāo)】學(xué)會(huì)合理選擇參數(shù)（坐標(biāo)、斜率等）表示動(dòng)態(tài)圖形中的幾何對(duì)象，探究、證明其不變性質(zhì)（定點(diǎn)、定值等），體會(huì)“設(shè)而不求”、“整體代換”在簡化運(yùn)算中的作用.【教學(xué)難、重點(diǎn)】解題思路的優(yōu)化.【教學(xué)方法】討論式【教學(xué)過程】一、基礎(chǔ)練習(xí)1、過直線x 4上動(dòng)點(diǎn)P作圓0:4的切線PA PB，則兩切點(diǎn)所在直線 AB恒過一定點(diǎn).此定點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】（1,0）【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(4,t),則以O(shè)P直徑的圓C 方程為：x(x 4) y(y t) 0 ,故AB是兩圓的公共弦，其方程為4xty注：部分優(yōu)秀學(xué)生可由xoxyoy公式直接得出.令4x 40得定點(diǎn)y 0(1,0).2、已知

2、PQ是過橢圓C: 2x21中心的任一弦， A是橢圓C上異于P、Q的任意一點(diǎn)若AP、AQ分別有斜率ki、k2 ,ki k2 =【答案】-2【解析】設(shè) P（X, y）, A（Xo, yo），則 Q（ x,y)k1 k2 g gX) X Xo X22yoy22 ，XoX又由A、P均在橢圓上，故有:2Xo22x22yo2y兩式相減得2（Xo22 2X ) (yoy2),kik222yoy 2222X)X2X3、橢圓一362y271，過右焦點(diǎn)F作不垂直于x軸的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn),AB的垂直平分線交x軸于N，則NF :【答案】-4【解析】設(shè)直線AB斜率為k ,則直線方程為 y k X與橢圓方程聯(lián)立消

3、去 y整理可得3 4k2X2則 XiX224k4k2，X1X236k2 1083 4k2所以y1 y218k3 4k2 ,則AB中點(diǎn)為12k2_3 4k2,39k4k2所以AB中垂線方程為9k4k2ab|等于e_12 424k2x 36k2 1080,12k23 4k2，即3 4k2,0所以NF9(1 k2)3 4k2AB2x1 x24x1 x?36 1 k2,所以3 4kNFABx24、已知橢圓孑21（a b 0） , A, F是其左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，2P是圓x2 .2y b上的動(dòng)點(diǎn)，若PA=常數(shù)，則此橢圓的離心率是PF【答案】e=【解析】I PA因?yàn)閕pF常數(shù)，所以當(dāng)點(diǎn)P分別在（±

4、b , 0）時(shí)比值相等,a+b即b c b+c，整理得:b2 ac,又因?yàn)閎2 a2所以 a2 c2 ac 0同除以a2可得e2+e-1=0，解得離心率e=75 1二、典例討論例1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：2T 1的左頂點(diǎn)為A，過原點(diǎn)O的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓 C交于P, Q兩點(diǎn)，直線PA,QA分別與y軸交于M , N兩點(diǎn).試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與直線PQ的斜率無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.分析一:設(shè)PQ的方程為y kx，設(shè)點(diǎn)P Xo，yo(Xo 0 ),則點(diǎn) QXo, yo .y聯(lián)立方程組2XkX,2y24消去y得X22所以Xo 山2kyo2kJl 2 k2所以直

5、線AP的方程為k1 7l 2k22 .從而2k同理可得點(diǎn)N O,1 x/r2?所以以MN為直徑的圓的方程為(y2kr)(y2kFTHFo整理得:2k,)y 2 O1 7l 2k2O，可得定點(diǎn)F(分析二：設(shè) P (xo, yo)，則2 2Q (- X0, - y0),代入橢圓方程可得 x0 2 y04 .由直線PA方程為：y七(XX022),可得M 02y0X02 ，同理由直線QA方程可得0,2y0X0 2，可得以MN為直徑的圓為2y0X0 22y0X0 22整理得：X2y0X0 22y0X0 24y242X02由于X042y02，代入整理即可得x22X0此圓過定點(diǎn)F (分析三:易證：k AP

6、k AQ£2a故可設(shè)直線AP斜率為k ,則直線AQ斜率為12k直線AP方程為y k(x 2)，從而得M (0, 2k)，以2k 代 k 得 N0,故知以MN為直徑的圓的方程為 x1(y 2k)(y 1)整理得:1(1 2k)y可得定點(diǎn)F(屁0).分析四、設(shè) M(0, m), N(0, n),為直徑的圓的方程為 x2(y m)(yn)即 x2 y2 (m n)y mn 0b2再由 kAPkAQkAM kAN = 2a1得mn - 2，下略22 2例2、已知離心率為e的橢圓C : 4 缶1(a b 0)恰過兩點(diǎn)(1,e)和2,0 .求橢圓C的方程;已知AB、MN為橢圓C上的兩動(dòng)弦，其中

7、M、N關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，AB過點(diǎn)E(1, 0),且AB、MN斜率互為相反數(shù).試問：直線AM、BN的斜率之和是否為定值？證明你的結(jié)解析:(1)由題意:22eb2b2所以橢圓2XC的方程為41. 設(shè) AB方程為 y k(x 1)，A(x1, y1)，B(x2, y2)則MN方程為y kx又設(shè)M(X3,kx3)，N( X3, kx3)kAMkBNy1 kx3y kx3kg 1) gX1X3X2X3X1X3k(X21) kx3X2 X3則整理得:kAMkBNk (X1 X3 1)(X2 X3) (X2X3 1)(X1 X3)kAMkBN2x1x2(X1X3)(X22x32 (X1 X2)(X1X3)(X

8、2X3)X3)由 y2 k(X2 1)消元整理得：(4k2 1)x2 8k2xX 4y 44k240，所以XiX22 28k4k 4一2一, X1X2 一24k 14k 1又由y kxx2 4y2消元整理得:4(4k21)x24，所以2X3將、代入式得:kAMkBN0.例2(變式)、已知離心率為e的橢圓1(a b 0)恰過兩點(diǎn)(1,e)和2,0 .解析:求橢圓C的方程;已知AB、MN為橢圓C上的兩動(dòng)弦，其中M、N關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，E(m, 0), ( 2 m 2)，且AB、MN斜率互為相反數(shù).試問：直線 AM、和是否為定值？證明你的結(jié)論(3)由題意:12a22eb2b2所以橢圓x2C的方程為41

9、.AB過定點(diǎn)BN的斜率之設(shè) AB方程為 y k(x m)，Ag%)， Bg, y?)，則MN方程為y kx又設(shè) M(X3, kx3)， N( X3,kx3)kAMkBNyi kx3y2 kx3k(x1 m) kx3XiX3X1 X3X2 X3k (x2 m) kx3X2 X3則整理得:kAMkBNk (xi X3 m)(X2 X3) (X2 X3 m)(Xi X3)(Xl X3)(X2X3)kAMkBNk 2x1x222X3m(Xi X2)(XiX3)(X2X3)由y2Xk(x4y2m)消元整理得:4(4 k21)x2 8k2mx4k2m2 4所以X1X28k2m4k21'曲24k2m

10、244 k21又由yX2kx4y24消元整理得:(4k21)X24 ,所以2X344k2 1將、代入式得:kBN 0 .三、課外作業(yè)2 21、已知橢圓亍亡1 ,A、B是其左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MB丄AB,連結(jié)AM交橢圓于點(diǎn)P,在X軸上有異于點(diǎn) A、B的定點(diǎn)Q,以MP為直徑的圓經(jīng)過直線 BP、MQ的交點(diǎn)，則點(diǎn) Q的坐標(biāo)【答案】(0,0 )【解析】試題分析：設(shè) M(2,t),則AM : y -(X 2)，與橢圓方程聯(lián)立消y得(t2 8)x2 4t2x 4t2 32 0,4所以Xp216 2tP，yP&t2 88t，因此kBPt 216 2t2(0,0)2、已知2XP是橢圓1221上不同于左

11、頂點(diǎn) A、4右頂點(diǎn)分別為ki,k2,則ki k2的值為【答案】【解析】設(shè) P(x, y)，A(273,0), B( 273,0)貝 y kt"-_嚴(yán)X 2J3，k2y273，k1k2 出yX 2732yX212因?yàn)镻在橢圓上，所以2y_41，即123把代入，得k1k22y2X 122t，即kBpkoM1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0B的任意一點(diǎn)，記直線 PA, PB的斜率2X3、已知橢圓a2 y b21(a b0）的離心率e= 1，A,B是橢圓的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上不同于2AB的動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB的傾斜角分別為，則 COSH=【答案】7【解析】試題分析：因?yàn)锳,B左右頂點(diǎn)，為橢圓上不同于AB 的

12、kpA kpBb2Qecos(coscossinsincos( )cos cossinsin4、如圖所示,已知橢圓 C：X2點(diǎn)為A'，當(dāng)A，B變化時(shí)，如果直線【答案】（4，0）a2 b21 tanb2kpA kpBb2tan1 tan tan341 34在橢圓C上任取不同兩點(diǎn)AB經(jīng)過【解析】設(shè)直線 AB的方程為x= my + 1，由2my 3 = 0.記 A(X1, y1), B(X2, y2)，則 A'(X1, y1),當(dāng) m MO 時(shí)，經(jīng)過點(diǎn) A'(X1, y1), B(X2,X2 X1y2 y1y1 + X1 =y2 y1+ my1 + 1A，B,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)

13、稱x軸上的定點(diǎn)T（1，0），則直線 A'B經(jīng)過x軸上的X2my1得(my + 1)2 + 4y2 = 4，即(m2 + 4)y2 +2m3y1 + y2=- , y1y2=-m 4m 4y2）的直線方程為乂 X X1y2y1X2X1令 y = 0,得 x =my1 y2 my2 + m% 討? + my2y2+ y1y2+ y12m 二m4 + 1 = 4，所以 y= 0 時(shí)，x= 4.2m當(dāng)m = 0時(shí)，直線AB的方程為x=m241，此時(shí)A ',B重合，經(jīng)過A ',B的直線有無數(shù)條，當(dāng)然可以有一條經(jīng)過點(diǎn)(4 , 0)的直線.當(dāng)直線AB為x軸時(shí)，直線 A B就是直線AB

14、，即x軸，這條直線也經(jīng)過點(diǎn)(4 , 0).綜上所述，當(dāng)點(diǎn)B變化時(shí)，直線A B經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)(4 ,0).x2y25、過橢圓1的右焦點(diǎn)43F2的直線交橢圓于于 M ,N兩點(diǎn)，令F2Mn，則mn【答案】【解析】x2試題分析:不失一般性，不妨取MN垂直x軸的情況，此時(shí) MN : x=1,聯(lián)立2y31(1 , 3 ) ,N (1 , -3 ),5=n=2 2mn6、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左頂點(diǎn)為A ,左焦點(diǎn)為Fi2,0，點(diǎn) B 2, J2在橢圓C上，直線y kx k 0與橢圓C交于E , F兩點(diǎn)，直線AE , AF分別與y軸交于點(diǎn)M ,(I)求橢圓C的方程;(n)以MN為直徑的圓

15、是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由.2 2解析：(I)解法一：設(shè)橢圓C的方程為 令與 1 (a b 0), a b因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為 F12,0，所以a2 b2 4.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F22,0，由橢圓的定義知BF1BF2所以2a3近4近.所以a2 J2，從而b2.所以橢圓C的方程為X2! 2y2a,84已知點(diǎn)B 2, J2在橢圓C 上,解法二:2X設(shè)橢圓C的方程為篤a2 y b21 (a b 0),因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為 Fi2,0，所以因?yàn)辄c(diǎn)B 2, 在橢圓C上，所以2a由解得，a 2恵，所以橢圓C的方程為X2(n)解法一：因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為242,0

16、 .因?yàn)橹本€y kx(k2X0)與橢圓21交于兩點(diǎn)E，4設(shè)點(diǎn)E x0, y0 (不妨設(shè)Xo0)，則點(diǎn) FX0，y0 .y聯(lián)立方程組 X28kX,y2 消去4y得X282k所以X0222k2，則y。_/2k_2 k2所以直線AE的方程為k1 J1 2k222 .因?yàn)橹本€AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，令X 0得y忌242k，即點(diǎn)M 0,.1 V1 2k2同理可得點(diǎn)N 0,一2y2k1 Jl 2 k2所以MN2J2 1 2k2/2k272k1 x/1 2k21(1 2k2設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P0,則以MN為直徑的圓的方程為X2J2 1 2k2 2|k|即 X2y2 癥 y 4.k令y 0

17、 ,得X24，即X故以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn) P2,0，F(xiàn)2解法二：因?yàn)闄E圓C的左端點(diǎn)為 A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為2/2,0.因?yàn)橹本€y kx(k 0)與橢圓設(shè)點(diǎn) E(xo, yo)，則點(diǎn) F( Xo,2X8y。).1交于兩點(diǎn)E , F ,所以直線AE的方程為yy。X242因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)2丘*X0 242，即點(diǎn)M20%X0同理可得點(diǎn)所以MN2屁2咼0242 X 22X016y0x： 8因?yàn)辄c(diǎn)E(X0,y0)在橢圓C上，所以8所以MNy。設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P 0,y。則以MN為直徑的圓的方程為X2y邑y。162 - y。即X2y2 +込 y 4 y00 ,得 X24，即 X故

18、以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn) P解法三：因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為 A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為2/2,0 .2 2X y因?yàn)橹本€y kx(k 0)與橢圓 6 亍 1交于兩點(diǎn)E , F ,設(shè)點(diǎn) E 2逅cos ,2sin)，則點(diǎn)F2a/?cos , 2sin所以直線AE的方程為y2si n22 cos242因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)y上目，即點(diǎn) cos 10迪cos同理可得點(diǎn)N 0,亙 cos所以MN2si n cos 12sincos 14sin設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P0,2cossin則以MN為直徑的圓的方程為 x2y2cossin4.2 Sin即 x2y24 .sin令y 0 ,得x24，即x 2

19、或x 2 .故以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn)P 2,0 , F22,0 .7、已知橢圓C:篤 與=1 (a>0 , b>0 )的離心率為 ，點(diǎn)A(1 , 3)在橢圓C上. a b22(I)求橢圓C的方程;(n )設(shè)動(dòng)直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)O為圓心的圓，滿，且使得直線 OPi，OP2的斜率之足此圓與I相交于兩點(diǎn)Pi, P2 (兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上)積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由.解：由題意，得a Tb2又因?yàn)辄c(diǎn)A3)在橢圓C上，2所以橢圓4321，解得a732C的方程為41.(n)結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為證明如下:假設(shè)存在符合

20、條件的圓，并設(shè)此圓的方程為r2(r 0)當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)I的方程為ykx由方程組y kx m,2 2x22 得(4k1)x才y 1,8kmx4m2因?yàn)橹本€I與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),所以12 2 2(8km)4(4k1)(4m4) 0，即 m4k2y kx由方程組 22X ym,2 得(k21)x222kmx mr20(2 km)2 4(k2 1)(m2r2) 0設(shè) R(xi,yi),P2(X2,y2)，則 X1X22kmk2 1設(shè)直線OPi ,OP2的斜率分別為ki,k2,k1k2所以ym(kxim)(kx2m)k2x1x2km(x1 x2) m2X1X2X1X2XX2要使得22,2 m r ,2 kmk 2 km rk21k222m rk2124k 1代入上式，得4 r2k