解析幾何存在性問題

1、解析幾何一一存在性問題1、已知橢圓 的離心率為，過的左焦點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為(1) 求橢圓的方程；;若不(n)設(shè)的右焦點(diǎn)為，在圓上是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo))存在，說明理由.解：(1)因?yàn)橹本€的方程為，令，得，即1分二，又，,橢圓的方程為.4分(2) 存在點(diǎn)P,滿足/圓心到直線的距離為，又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，由垂徑定理得，故圓的方程為 8分設(shè)圓上存在點(diǎn)，滿足即，且的坐標(biāo)為，則，整理得，它表示圓心在，半徑是的圓。 12分故有，即圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)。圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足 14分2、平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：()的離心率為，焦點(diǎn)為、，直線：經(jīng)過焦點(diǎn)，

2、并與相交于、兩點(diǎn). 求的方程；在上是否存在、兩點(diǎn)，滿足，？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.解:依題意， 2分，由得 3分 ，橢圓的方程為4 分(方法一)若存在滿足條件的直線，設(shè)直線的方程為 由6分，得7分10 分,(*) 設(shè)，則，9分 由已知，若線段的中點(diǎn)為，則， ，即，由，解得13分14分14 分時(shí)，與(* )矛盾，.不存在滿足條件的直線 (方法二)假設(shè)存在，線段的中點(diǎn)為， 貝y,5分 由兩式相減得：7 分， 代入、化簡(jiǎn)得：由已知，則，9由得，由解得，即11分直線CD的方程為：，聯(lián)立得 13分,方程(組)無(wú)解，不存在滿足條件的直線3、在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M (

3、1, 3)、N(5,1), 若點(diǎn) C滿足1- - - 2OC tOM (1 t)ON (t R),點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2 4x交于A B兩點(diǎn).(1)求證：OA OB ；若存在，請(qǐng)求出 m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)在X軸上是否存在一點(diǎn) P(m,0),使得過點(diǎn)P直線交拋物線于 D E兩點(diǎn)，并以該弦 DE為直徑的圓都過 原點(diǎn)，解：由OCtoM (1 t)ON(tR)知點(diǎn)C的軌跡是MN兩點(diǎn)所在的直線,故點(diǎn)C的軌跡方程是1 ( 3)(X1),即yy法一:4x4 (X 4)24x12x16X1X216,X1X212(X14)(X24) X1X24(X1X2)1616X1X20,故

4、OA OB.6分存在點(diǎn)P(4,0),滿足條件。證明如下：由題意知：弦所在的直線的斜率不為零,設(shè)弦所在的直線方程為：X ky 4代入y24ky 16y1 y2 4k， yy16,koA koB1 2 xT x2y1業(yè)4y22土416OA OB,故以AB為直徑的圓都過原點(diǎn)10法二：若存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，設(shè)D(x1,y1), E(x2, y2).則有 x1x2y-i y20 得 yy16,又 PD (X1 m,y1),PE(X2 m,y2),由DP、E三點(diǎn)共線可得(X1 m, yj y(X2 m y?) y(m4)(y1y2)0k (4k) 8 4k2842，消去k得y2 2x 8.當(dāng)y1y時(shí)，

5、m 4,此時(shí)P(4,0),可驗(yàn)證當(dāng)P(4,0)且yy時(shí)也符合條件,所以存在點(diǎn)P(4,0)滿足條件.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x, y)112(X1X2)，y2(y1y2)X1 X2ky1 4 ky2 4 k y2)8x 2k2弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為：y 2k2x24、如圖(6),設(shè)點(diǎn) F, c,0)、F2(c,0)分別是橢圓 C：r y21(a 1)a的左、右焦點(diǎn)， P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且（1）求橢圓C的方程；uuu uuu PR PF2最小值為0 .B到Il,l2的距離之（2）若動(dòng)直線Ii,l2均與橢圓C相切，且li /12，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B，點(diǎn)解：（1）設(shè)P（x, y），則有F

6、iP(x c, y) , F2P (X c,y)1分a212.22 x1 c , xa, a a2分c20 c 1 a22,3分1 .4c2積恒為1?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) B坐標(biāo); 若不存在，請(qǐng)說明理由. 2 2PR PF2 x yuuu uuu由PF, PF2最小值為0得12橢圓C的方程為y22（2）當(dāng)直線I1,|2斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y kx m, y kx n把l1的方程代入橢圓方程得 （1 2k2） X2 4mkx 2m220直線 l1 與橢圓 C 相切，16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) 0 ,化簡(jiǎn)得2 2m 1 2k2 2同理，n 1 2k2 2 m n ,若m n，則I2

7、重合，不合題意，二 m n設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B（t,0），點(diǎn)B到直線Il,l2的距離之積為1,則k2 1,101，即 |k2t2 m2|Vk2 1 Vk2 1把1 2k2 m2代入并去絕對(duì)值整理,k2(t23)2或者 k2(t2 1)0前式顯然不恒成立；而要使得后式對(duì)任意的k R恒成立t21012當(dāng)直線l1,l2斜率不存在時(shí)，其方程為x 和x13定點(diǎn)（1,0）到直線l1 ,l2的距離之積為 （應(yīng)1）（血1) 1 ；定點(diǎn)（1,0）到直線11,12的距離之積為（J2 1）（ J2 1） 1 ；綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)B為（1,0）或（1,0）14解法 2：設(shè)點(diǎn),，由, 即得.4分5、已知橢圓()的左

8、、右焦點(diǎn)分別為、 ，且經(jīng)過定點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓 求橢圓的方程；若圓與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍； 是否存在定圓，使得圓與圓恒相切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：由橢圓定義得，1分即，二，又，.故橢圓的方程為 圓心到軸距離，圓的半徑， 若圓與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則有，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)在橢圓上代入以上不等式得：，解得：.8分又，即點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是.9 分 存在定圓與圓恒相切，其中定圓的圓心為橢圓的左焦點(diǎn)，半徑為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng) 由橢圓定義知，即，圓與圓恒內(nèi)切 .2分3分4 分6分144.12 分6、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， 線在點(diǎn)處

9、的切線分別為，且與交于點(diǎn) .(1)(2)1)，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物求橢圓的方程；是否存在滿足的點(diǎn) ? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)) 橢圓的方程為 .3分; 若不存在，說明理由 .(2) 解法 1：設(shè)點(diǎn) ， ，則，三點(diǎn)共線,(.,化簡(jiǎn)得：.5分由, 即得.拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即 同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 設(shè)點(diǎn)，由得：，而，則.代入得 ，則，代入 得 ，即點(diǎn)的軌跡方程為 .若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上，9分1112直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).1314 分拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即 .,.點(diǎn)在切線上,

10、.6分5分同理，綜合、得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.經(jīng)過的直線是唯一的，.直線的方程9分為，點(diǎn)在直線上，若 ，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上， 點(diǎn)的軌跡方程為.11 分12 分直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn).-滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè).14分13 分解法 3：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， 由消去，得 . 4分設(shè),則.5分由, 即得.6分拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.7 分,. 同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為10 分點(diǎn)在橢圓上 .11 分化簡(jiǎn)得 .(*) 由 ，可得方程 (*) 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 . 滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè) .14 分7、已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為, 且雙曲線經(jīng)過點(diǎn) .(1)求雙

11、曲線的方程；(2)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn) A在雙曲線C上，點(diǎn)B在直線上，且，是否存在以點(diǎn)0為圓心的定圓恒與直線AB相切？若存在，求出該圓的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.解:(1)解法一：依題意知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)其方程為點(diǎn)在雙曲線C上，-3 分又，二，二所求雙曲線 解法二：依題意知雙曲線 點(diǎn)在雙曲線C上，C的方程為4分C 的焦點(diǎn)在 x 軸，設(shè)其方程為 1 又， ，又，解得 3 分4代入去分母整理得：所求雙曲線C的方程為(2)設(shè)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為，其中或 當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，即 6分若存在以點(diǎn)0為圓心的定圓與 AB相切，則點(diǎn)0到直線AB的距離必為定值, 設(shè)圓心0到直線AB的距離為，則.7分,.8 分又， 故 =11 分此時(shí)直線