第5講.圓及扇形競(jìng)賽123班.教師版

1、圓與扇形第5講1. 利用圓與扇形面積公式進(jìn)行面積計(jì)算2. 會(huì)將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進(jìn)行面積計(jì)算研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過(guò)變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算它們的面積.圓的面積；扇形的面積=；圓的周長(zhǎng)=；扇形的弧長(zhǎng)=.一、 跟曲線有關(guān)的圖形元素。1、 扇形：扇形由頂點(diǎn)在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分.我們經(jīng)常說(shuō)的圓、圓、圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形的圓心角占這個(gè)圓周角的幾分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是.比如：扇形的面積=所在

2、圓的面積；扇形中的弧長(zhǎng)部分=所在圓的周長(zhǎng)扇形的周長(zhǎng)=所在圓的周長(zhǎng)2半徑（易錯(cuò)點(diǎn)是把扇形的周長(zhǎng)等同于扇形的弧長(zhǎng)）2、 弓形：弓形一般不要求周長(zhǎng)，主要求面積。一般來(lái)說(shuō)，弓形面積=扇形面積-三角形面積。（除了半圓）3、 “彎角”：如圖： 彎角的面積=正方形-扇形4、 “谷子”：如圖： “谷子”的面積=弓形面積×2二、 常用的思想方法：1、 轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的）2、 等積變形（割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等）3、 借來(lái)還去（加減法）4、 外圍入手（從會(huì)求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的“關(guān)系”）用平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)法求面積【例 1】 如圖，在188的方格紙上，畫(huà)有

3、1，9，9，8四個(gè)數(shù)字那么，圖中的陰影面積占整個(gè)方格紙面積的幾分之幾?【分析】 我們數(shù)出陰影部分中完整的小正方形有8+15+15+1654個(gè)，其中部分有6+6+820個(gè)，部分有6+6+820（個(gè)），而1個(gè) 和1個(gè) 正好組成一個(gè)完整的小正方形，所以陰影部分共包含54+2074（個(gè)）完整小正方形，而整個(gè)方格紙包含818144（個(gè)）完整小正方形所以圖中陰影面積占整個(gè)方格紙面積的，即拓展 如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以AB、BC、CD、DA分別為直徑畫(huà)半圓，求這四個(gè)半圓弧所圍成的陰影部分的面積（取3）分析 這道題目是很常見(jiàn)的面積計(jì)算問(wèn)題.陰影部分是一個(gè)花瓣?duì)畹牟灰?guī)則圖形，不能直接通過(guò)面積公式求解

4、，觀察發(fā)現(xiàn)陰影部分是一個(gè)對(duì)稱圖形，我們只需要在陰影部分的對(duì)稱軸上作兩條輔助線就明了了.如圖，這樣陰影部分就劃分成了4個(gè)半圓減去三角形，我們可以求得， 【例 2】 如圖，陰影部分的面積是多少？【分析】 首先觀察陰影部分，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分形如一個(gè)號(hào)角，但是我們并沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)如何求號(hào)角的面積，那么我們要怎么辦呢？陰影部分我們找不到出路，那么我們不妨考慮下除了陰影部分之外的部分吧！觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分左側(cè)是一個(gè)扇形，而陰影部分右邊的空白部分恰好與左邊的扇形構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，那么陰影部分的面積就等于大的矩形面積減去正方形面積。則陰影部分面積鋪墊 計(jì)算圖中陰影部分的面積(單位：分米)分析 將右邊的扇形

5、向左平移，如圖所示兩個(gè)陰影部分拼成個(gè)直角梯形(平方分米)【例 3】 (第四屆走美決賽試題)如圖，邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向內(nèi)側(cè)作等邊三角形，分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫(huà)弧求陰影部分面積(取3.14)【分析】 根據(jù)題意可知扇形的半徑恰是正方形的對(duì)角線，所以，如右圖將左邊的陰影翻轉(zhuǎn)右邊陰影下部，鞏固 求圖中陰影部分的面積（取3）分析 看到這道題，一下就會(huì)知道解決方法就是求出空白部分的面積，再通過(guò)作差來(lái)求出陰影部分面積，因?yàn)殛幱安糠址浅２灰?guī)則，無(wú)法入手.這樣，平移和旋轉(zhuǎn)就成了我們首選的方法. 解法一： 我們只用將兩個(gè)半徑為10厘米的四分之一圓減去空白

6、的、部分面積之和即可，其中、面積相等易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角邊AB的長(zhǎng)度未知單獨(dú)求部分面積不易，于是我們將、部分平移至一起，如右下圖所示，則、部分變?yōu)橐粋€(gè)以AC為直角邊的等腰直角三角形，而AC為四分之一圓的半徑，所以有AC10兩個(gè)四分之一圓的面積和為150，而、部分的面積和為，所以陰影部分的面積為(平方厘米)解法二： 欲求圖中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積. 所以陰影部分面積為（平方厘米）.【例 4】 如圖，兩個(gè)正方形擺放在一起，其中大正方

7、形邊長(zhǎng)為12，那么陰影部分面積是多少？(圓周率取)【分析】 方法一：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，則三角形與梯形 的面積均為陰影部分為：大正方形梯形三角形右上角不規(guī)則部分大正方形右上角不規(guī)則部分圓因此陰影部分面積為：方法二：連接、，設(shè)與的交點(diǎn)為,由于四邊形是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶定理有,所以鞏固 如圖，是正方形，且，求陰影部分的面積(取)分析 方法一：兩個(gè)分割開(kāi)的陰影部分給我們求面積造成了很大的麻煩，那么我們把它們通過(guò)切割、移動(dòng)、補(bǔ)齊，使兩塊陰影部分連接在一起，這個(gè)時(shí)候我們?cè)賮?lái)考慮，可能會(huì)有新的發(fā)現(xiàn). 由于對(duì)稱性，我們可以發(fā)現(xiàn)，弓形BMF的面積和弓形BND的面積是相等的，因此，陰影部分面積就等于不規(guī)則圖形B

8、DWC的面積。因?yàn)锳BCD是正方形，且FAADDE1，則有CDDE。那么四邊形BDEC為平行四邊形，且E45°.我們?cè)僭谄叫兴倪呅蜝DEC中來(lái)討論，可以發(fā)現(xiàn)不規(guī)則圖形BDWC和扇形WDE共同構(gòu)成這個(gè)平行四邊形，由此，我們可以知道陰影部分面積平行四邊形BDEC-扇形DEW.方法二：先看總的面積為的圓，加上一個(gè)正方形，加上一個(gè)等腰直角三角形，在則陰影面積為總面積扣除一個(gè)等腰直角三角形，一個(gè)圓，一個(gè)的扇形那么最終效果等于一個(gè)正方形扣除一個(gè)的扇形面積為【例 5】 如圖所示，陰影部分的面積為多少?(圓周率取)【分析】 圖中、兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的、的面積所以【例 6】 如圖，大圓半

9、徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，空白部分面積為，那么這兩個(gè)部分的面積之比是多少？(圓周率取) 【分析】 如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來(lái)，這樣，空白部分就是一個(gè)圓的內(nèi)接正方形設(shè)大圓半徑為，則，所以移動(dòng)圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系鞏固 如圖中三個(gè)圓的半徑都是5，三個(gè)圓兩兩相交于圓心求陰影部分的面積和(圓周率取) 分析 將原圖割補(bǔ)成如圖，陰影部分正好是一個(gè)半圓，面積為其他方法求面積【例 7】 在圖中，兩個(gè)四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個(gè)陰影部分的面積差(圓周率取)【分析】 我們只要看清楚陰影部分如何構(gòu)成則不難求解左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再

10、扣除一個(gè)長(zhǎng)方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長(zhǎng)方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的差應(yīng)為大扇形減去小扇形，再減去長(zhǎng)方形則為：鞏固 如圖，等腰直角三角形ABC的腰為10；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形AEF；兩個(gè)陰影部分的面積相等.求扇形所在的圓面積.分析 題目已經(jīng)明確告訴我們ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似沒(méi)有關(guān)系的兩個(gè)陰影部分通過(guò)空白部分聯(lián)系起來(lái).等腰直角三角形的角A為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍.而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即，則圓的面積為【例 8】 如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘

11、米，求陰影部分的面積.（取3）【分析】 方法一：觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分屬于一個(gè)大的扇形，而這個(gè)扇形除了陰影部分之外，還有一個(gè)不規(guī)則的空白部分ABFD在左上，求出這個(gè)不規(guī)則部分的面積就成了解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.我們先確定ABFD的面積，因?yàn)椴灰?guī)則部分ABFD與扇形BCF共同構(gòu)成長(zhǎng)方形ABCD，所以不規(guī)則部分ABFD的面積為（平方厘米），再?gòu)纳刃蜛BE中考慮，讓扇形ABE減去ABFD的面積，則有陰影部分面積為（平方厘米）.方法二：利用容斥原理（平方厘米）鞏固 如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15，是以C為圓心，AC為半徑的圓弧. 求陰影部分面積分析 陰影部分是個(gè)月牙形，不能直接通過(guò)面積公式

12、求，那么我們可以把陰影部分看成半圓加上三角形ABC再減去扇形ACB的結(jié)果.半圓面積為，三角形ABC面積為，又因?yàn)槿切蚊娣e也等于，所以，那么扇形ACB的面積為.陰影部分面積 225 （平方厘米）【例 9】 下圖中，陰影部分的面積是 【分析】 如圖可知3，設(shè)大半圓半徑為，小圓半徑為，如右圖，根據(jù)勾股定理得，故大半圓面積等于小圓面積，由圖可知鋪墊 如圖，求陰影部分的面積.（取3）分析 如圖，圖中陰影部分為月牙兒狀，月牙兒形狀與扇形和弓形都不相同，目前我們還不能直接求出它們的面積，那么我們應(yīng)該怎么來(lái)解決呢？首先，我們分析下月牙兒狀是怎么產(chǎn)生的，觀察發(fā)現(xiàn)月牙兒形是兩條圓弧所夾部分，再分析可以知道，兩條

13、圓弧分別是不同圓的圓周的一部分，那么我們就找到了解決問(wèn)題的方法了.陰影部分面積小圓面積中圓面積三角形面積大圓面積6【例10】 草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只羊(見(jiàn)如圖)問(wèn)：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？(圓周率取) 【分析】 (此題十分經(jīng)典)如圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為，三部分，其中是半徑米的個(gè)圓，分別是半徑為米和米的個(gè)圓所以羊活動(dòng)的范圍是【例11】 傳說(shuō)古老的天竺國(guó)有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘面有10平方米.每當(dāng)太陽(yáng)西下，鐘面就會(huì)出現(xiàn)奇妙的陰影(如左下圖).那么，陰影部分的面積是多少平方米？ 【分析】 在這個(gè)題目中，陰影部分和

14、空白部分都是不規(guī)則圖形，那么我們既無(wú)法通過(guò)面積公式直接求出陰影部分面積，也無(wú)法通過(guò)求出空白部分面積，再用大圓面積減去空白部分面積求解，這個(gè)時(shí)候，我們只能利用整體思想，通過(guò)轉(zhuǎn)化，尋找陰影部分與整體圖形的關(guān)系.將原題圖中的等邊三角形旋轉(zhuǎn)30°（注意，只轉(zhuǎn)三角形，圓形不動(dòng)），得到右上圖因?yàn)锳OD、BOD都是等邊三角形，所以四邊形OBDA是菱形，推知AOB與ADB面積相等又因?yàn)橄褹D所對(duì)的弓形與弦BD所對(duì)的弓形面積相等，所以扇形AOB中陰影部分面積占一半同理，在扇形AOC、扇形BOC中，陰影部分面積也占一半所以，陰影部分面積占圓面積的一半，是1025(平方米).【例12】 如圖，ABC是一個(gè)

15、等腰直角三角形，直角邊的長(zhǎng)度是1米.現(xiàn)在以C點(diǎn)為圓心，把三角形ABC順時(shí)針轉(zhuǎn)90度，那么，AB邊在旋轉(zhuǎn)時(shí)所掃過(guò)的面積是 平方米（取3.14）【分析】 如圖，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，A點(diǎn)沿弧轉(zhuǎn)到點(diǎn)，B點(diǎn)沿弧轉(zhuǎn)到點(diǎn)，D點(diǎn)沿弧轉(zhuǎn)到點(diǎn).因?yàn)镃D是C點(diǎn)到AB的最短線段，所以AB掃過(guò)的面積就是圖中的弧與之間的陰影圖形.（平方米），（平方米），所以，（平方米），我們推知 （平方米）.鋪墊 如圖所示，直角三角形ABC的斜邊AB長(zhǎng)為10厘米，ABC=60°，此時(shí)BC長(zhǎng)5厘米.以點(diǎn)B為中心，將ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A、C分別到達(dá)點(diǎn)E、D的位置.求AC邊掃過(guò)的圖形即圖中陰影部分的面積.（取3）分析

16、注意分割、平移、補(bǔ)齊.如圖所示，將圖形移補(bǔ)到圖形的位置，因?yàn)镋BD60°，那么ABE120°，則陰影部分為一圓環(huán)的.所以陰影部分面積為(平方厘米). 1. 求下列各圖中陰影部分的面積(圖中長(zhǎng)度單位為，圓周率按3計(jì)算)： 【分析】 2. 如圖是一個(gè)直徑為的半圓，讓這個(gè)半圓以點(diǎn)為軸沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，求陰影部分的面積(圖中長(zhǎng)度單位為，圓周率按計(jì)算)【分析】 面積圓心角為的扇形面積半圓空白部分面積(也是半圓)圓心角為的扇形面積3. 如下圖，長(zhǎng)方形ABCD，長(zhǎng)是8 cm，則陰影部分的面積 .（）【分析】 陰影部分的面積實(shí)際上是右上圖陰影部分面積的一半，所以求出右上圖中

17、陰影部分面積再除以2即可.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于兩個(gè)圓直徑，寬等于1個(gè)圓直徑，所以右圖的陰影部分的面積等于：所以左圖陰影部分的面積等于6.8823.44平方厘米. 4. 用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板問(wèn)：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？【分析】 大圓直徑是小圓的3倍，半徑也是3倍，小圓面積大圓面積，小圓面積，個(gè)小圓總面積，邊角料面積(平方厘米)5. 如圖，是等腰直角三角形，是半圓周的中點(diǎn)，是半圓的直徑已知，那么陰影部分的面積是多少？(圓周率取) 【分析】 連接、，如圖，平行于，則在梯形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，那么與面積相等，則陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為與圓內(nèi)的小弓形的

18、面積和的面積為：；弓形面積： ；陰影部分面積為：6. 一只狗被拴在底座為邊長(zhǎng)的等邊三角形建筑物的墻角上(如圖)，繩長(zhǎng)是，求狗所能到的地方的總面積(圓周率按3.14計(jì)算)【分析】 如圖所示，羊活動(dòng)的范圍是一個(gè)半徑，圓心角300°的扇形與兩個(gè)半徑，圓心角120°的扇形之和所以答案是切忌這山看著那山高兔子是世界上最善良的動(dòng)物了，它只吃青草，什么也不傷害?？墒?，它卻被很多動(dòng)物傷害：狐貍、狼、老虎這太不公平了！有一天，兔子就向上帝訴苦，它不想再做兔子了，要求上帝變一變。上帝很仁慈，馬上答應(yīng)了兔子的要求：“好吧，你想變成什么?”兔子說(shuō)：“變成一只鳥(niǎo)，在天上自由地飛來(lái)飛去，那些狐貍呀狼呀虎呀就再也抓不著我了。”上帝把兔子變成了鳥(niǎo)。沒(méi)過(guò)幾天，鳥(niǎo)又來(lái)訴苦：“仁慈