第三節(jié)函數(shù)的極限01873

1、第三節(jié)第三節(jié)函數(shù)的極限函數(shù)的極限n 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限n 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限自變量趨向有限值時函數(shù)的極限n 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)n 小結(jié)小結(jié).sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化

2、趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應(yīng)應(yīng)函函數(shù)

3、數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .的過程的過程表示表示 xxx. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:問題問題: 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)x, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式xx 的一切的一切x, ,所對應(yīng)的函數(shù)值所對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 axf)(, ,那

4、末常數(shù)那末常數(shù)a就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim xaxfaxfx當(dāng)當(dāng)或或定定義義x .)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng) axfx)(lim1、定義：、定義：:.10情形情形x.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng):.20情形情形xaxfx )(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: x x.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中

5、心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當(dāng)當(dāng) ayxfyxxxxaxxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin x1 x1 , , 0 ,1 x取取時恒有時恒有則當(dāng)則當(dāng)xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfax

6、f .000的過程的過程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點點 x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多 么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx的一切的一切 x, ,對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都 滿足不等式滿足不等式 axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù) a就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時的極限時的極限, ,記作記作 )()()(lim00 xxaxfaxfxx 當(dāng)當(dāng)或或 定義定義 .)(,0, 0, 00 axf

7、xx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)1、定義：、定義：2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy aaa0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 例例2).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明cccxx 證證axf )(cc ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0ccxx , 0 任取任取,00

8、時時當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxaxf , 0 任給任給, 取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx0)(xxaxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxaxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxaxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( axf要使要使,0 xx就有就有,00 xx

9、x .00且且不不取取負負值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)證明證明3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(00

10、0axfaxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或記作記作.)0()0()(lim:000axfxfaxfxx 定理定理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定理定理 若在某個過程下若在某個過程下, ,)(xf有極限有極限, ,則存在則存在過程的一個時刻過程的一個時刻, ,在此時刻以后在此時刻以后)(xf有界有界. .2.唯一性唯一

11、性定理定理 若若)(limxf存在存在,則極限唯一則極限唯一.推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxuxbabxgaxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000baxgxfxuxbxgaxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxuxaaaxfxx或或時時當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理( (保號性保號性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 aaxfxfxuxaxfxx或或則則或或時時

12、當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論4.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000時的子列時的子列當(dāng)當(dāng)為函數(shù)為函數(shù)即即則稱數(shù)列則稱數(shù)列時時使得使得有數(shù)列有數(shù)列中中或或可以是可以是設(shè)在過程設(shè)在過程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limaxfaxxfxfaxfnnnax 則有則有時的一個子列時的一個子列當(dāng)當(dāng)是是數(shù)列數(shù)列若若定理定理證證.)(,0, 0, 00 axfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxnnnn恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)對上

13、述對上述,)( axfn從而有從而有.)(limaxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .xy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在證明證明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnn

14、sinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limanfn ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axfxx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx .)(, 0)(lim axfaxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n x x xnnn nx nx nx )(xf axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(