第八章 多元函數(shù)微分學(xué)課件

1、高數(shù)課件重慶大學(xué)數(shù)理學(xué)院 教師 吳新生 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用開(kāi) 始退出第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念返 回第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度第三節(jié) 全微分總習(xí)題返 回一.區(qū)域四.多元函數(shù)的連續(xù)性三.多元函數(shù)的極限二.多元函數(shù)概念第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念習(xí)題第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 一、區(qū)域 1.鄰域 設(shè) 是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù).與點(diǎn) 距離小于的點(diǎn) 的全體稱(chēng)為 的鄰域，記為 ，即也就是返 回000(,)p xy000(,)p xy( ,

2、)p x y0p0(, )u p00(, )u pp pp22000(, )( , )()()u px yxxyy下一頁(yè)2.區(qū)域 設(shè)e是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，p是平面上的一個(gè)點(diǎn).如果存在點(diǎn)p的某一鄰域 使 ， 則稱(chēng)p為e的內(nèi)點(diǎn)(圖8-1). 如果點(diǎn)集e的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則 稱(chēng)e為開(kāi)集. 如果點(diǎn)p的任一鄰域內(nèi)既有屬 p 于e的點(diǎn)，也有不屬于e的點(diǎn)， e 則稱(chēng)p為e的邊界點(diǎn)（圖8-2）. 設(shè)d是開(kāi)集.如果對(duì)于d內(nèi)的 圖 8-1 任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起下一頁(yè)上一頁(yè)( )u p( )u pe返 回 來(lái),而且該折線上的點(diǎn)都屬于d, p 則稱(chēng)開(kāi)集d是連通的. 連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域. e 開(kāi)區(qū)域連同它的邊

3、界一起,稱(chēng) 為閉區(qū)域. 圖 8-23.n維空間 設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù),我們稱(chēng)有序n元數(shù)組 的全體為n維空間,而每個(gè)有序n元數(shù)組 稱(chēng)為n維空間中的一個(gè)點(diǎn),數(shù) 稱(chēng)12( ,)nx xx12( ,)nx xxix返 回下一頁(yè)上一頁(yè)為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo),n維空間記為 . n維空間中兩點(diǎn) 及 間的距離規(guī)定為n12( ,)np x xx12(,)nq y yy2221122()()()nnpqyxyxyx返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、多元函數(shù)概念 定義定義1 1 設(shè)設(shè)d d是平面上的一個(gè)點(diǎn)集是平面上的一個(gè)點(diǎn)集. .如果對(duì)于如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)p=(x,y)d,p=(x,y)d,變量變量z z按照一定法則總有確按照

4、一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)定的值和它對(duì)應(yīng), ,則稱(chēng)則稱(chēng)z z是變量是變量x x、y y的的二元函數(shù)二元函數(shù)( (或點(diǎn)或點(diǎn)p p的函數(shù)的函數(shù)),),記為記為點(diǎn)集d稱(chēng)為該函數(shù)的定義域,x、y稱(chēng)為自變量,z( ,)()zfx yzfp或例題返 回下一頁(yè)上一頁(yè)也稱(chēng)為因變量,數(shù)集 稱(chēng)為該函數(shù)的值域. 把定義1中的平面點(diǎn)集d換成n維空間內(nèi)的點(diǎn)集d.則可類(lèi)似的定義n元函數(shù) .當(dāng)n=1時(shí)，n元函數(shù)就是一元函數(shù).當(dāng)n2時(shí)n元函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù). .( , ),( , )z zf x yx yd12( ,)nuf x xx返 回下一頁(yè)上一頁(yè)三、多元函數(shù)的極限 二元函數(shù) 當(dāng) , ,即 時(shí)的極限.這里 表示點(diǎn) 以任

5、何方式趨于 ，也就是點(diǎn) 與點(diǎn) 間的距離趨于零，即 定義定義2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域（或閉區(qū)域）在開(kāi)區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 是是d d的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)如果的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，總存在正數(shù)，使得，使得對(duì)于適合不等式對(duì)于適合不等式( , )zf x y0 xx0yy000( , )(,)p x yp xy0pp0p0p22000()()0ppxxyy000(,)pxypp返 回下一頁(yè)上一頁(yè)的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)p(x,y)dp(x,y)d，都有，都有成立，則稱(chēng)常成立，則稱(chēng)常a a為函數(shù)為函數(shù)f(x,y)f(x,y)當(dāng)當(dāng)

6、， 時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作或或 這里這里 . . 220000()()p pxxyy( , )f x ya0 xx0yy0lim( , )xxf x ya( , )f x ya(0)0pp例題返 回下一頁(yè)上一頁(yè)四、多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域在開(kāi)區(qū)域( (或閉區(qū)域或閉區(qū)域)d)d內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 是是d d的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且 . .如果如果則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). . 若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn) 不連續(xù)，則稱(chēng) 為函數(shù)f(x,y)的間短點(diǎn). 函數(shù)0pd0000lim ( , )(,)xxyy

7、f x yf xy0p222222,0( , )0,xyxyxyf x yxy=0000(,)p xy000(,)p xy000(,)p xy返 回下一頁(yè)上一頁(yè)當(dāng)x0,y0時(shí)的極限不存在，所以點(diǎn)(0,0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn). 函數(shù)在圓周 上沒(méi)有定義，所以該圓周上各點(diǎn)都是間斷點(diǎn)，是一條曲線. 性質(zhì)性質(zhì)1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在有界閉區(qū)在有界閉區(qū)域域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在d d上一定有最大值和上一定有最大值和最小值最小值. . 在d上至少有一點(diǎn) 及一點(diǎn) ，使得 為最大值而 為最小值，即對(duì)于一切pd，有221sin1zxy221xy1p2p1()

8、f p2()f p返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 性質(zhì)性質(zhì)2(2(介值定理介值定理) ) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元上的多元函數(shù)，如果在函數(shù)，如果在d d上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在在d d上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。 如果是函數(shù)在d上的最小值m和最大值m之間的一個(gè)數(shù)，則在d上至少有一點(diǎn)q，使得f(q)=. *性質(zhì)性質(zhì)3(3(一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) ) 在有界閉區(qū)域上在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)必定在的多元連續(xù)函數(shù)必定在d d上一致連續(xù)上一致連續(xù). . 若f(p)在有界閉區(qū)域d上連續(xù)，那么對(duì)于任意給定的正

9、數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于d上的21()( )()f pf pf p返 回下一頁(yè)上一頁(yè)任意二點(diǎn) ，只要當(dāng) 時(shí)，都有成立. 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. . 由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn) 處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)函數(shù)值，即12()()f pf p0p00lim( )()ppf pf p例題12,p p12p p返 回上一頁(yè)一.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法二.高階偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)習(xí)題返 回一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)一鄰域內(nèi)有定義

10、，當(dāng)y y固定在固定在 而而x x固定在固定在 處處有增量有增量x x 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果如果 （1 1）存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處對(duì)處對(duì)x x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ，記作，記作( , )zf x y00(,)xy0y0 x0000(,)(,)f xx yf xy00000(,)(,)limxf xx yf xyx ( , )zf x y00(,)xy返 回下一頁(yè)例如，極限(1)可以表示為 (2)類(lèi)似地,函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 對(duì)對(duì)y y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)定義為數(shù)定義為 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yzfzfx y

11、xx或0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx ( , )zf x y00(,)xy返 回下一頁(yè)上一頁(yè) (3)記作記作 如果函數(shù) 在區(qū)域d內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y函數(shù),它就稱(chēng)為函數(shù) 對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作00000(,)(,)limxf xx yf xyy 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yzfzfx yxx或( , )zf x y( , )zf x y返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 類(lèi)似的，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 求 時(shí)只要把y暫時(shí)看作常量對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求 時(shí)只要把暫x時(shí)

12、看作常量對(duì)y求導(dǎo)數(shù).,( ,)xxzfzfx yxx或,( ,)yyzfzfx yyy或fxfy例題返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 圖 8-6xyz0 x0yo0mxtyt0(, )zf xy0( ,)zf x y返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域d內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在d內(nèi) 都是x,y的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱(chēng)它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的 不同下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y ( , ),( , )xyzzfx yfx yxy( , )( , )xyfx yfx y、2

13、22( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y 返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義. 設(shè) 為曲面z=f(x,y)上的一點(diǎn),過(guò) 作平面 ，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為 ,則導(dǎo)數(shù) ，即偏導(dǎo)數(shù) ,就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 對(duì)x軸的斜率(見(jiàn)圖8-6).同樣偏導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲面被平面 所截得的曲線在點(diǎn) 處的切線 對(duì)y軸的斜率.00(,)xy00000(,(,)mxyf xy0m0yy0yy0( ,)zf x y00( ,)df x yxxdx00(,)xfxy0m0 xm t00(,)yfxy0 xx0m0 xm t返

14、回下一頁(yè)上一頁(yè)其中第二、第三兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù). 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 及及 在在d d內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. .222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y 222( , ),( , )yxyyzzzzfx yfx yxyy xyyy 2zy x 2zx y 例題例題返 回上一頁(yè)第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用習(xí)題下一

15、頁(yè)返 回第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用 二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個(gè)自變量固定時(shí)，因變量相對(duì)于該自變量的變化率.上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏微分. 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)p(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè) 為這鄰域內(nèi)的任意一(, )( , )( , )xf xx yf x yfx yx( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yy(,)p xx yy下一頁(yè)上一頁(yè)返 回點(diǎn)，則稱(chēng)這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差為函數(shù)在點(diǎn)p對(duì)應(yīng)于自變量增量x、y的全增量，記作z，即 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=

16、f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)(x,y)的全增的全增量量 (1)(1)可表示為可表示為(,)( , )f xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y ( )za xb yo 下一頁(yè)上一頁(yè)返 回其中其中a a、b b不依賴(lài)于不依賴(lài)于xx、yy而僅與而僅與x,yx,y有關(guān)，有關(guān)， ，則稱(chēng)函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)(x,y)可微分，而可微分，而 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)(x,y)全微分，記作全微分，記作dz,dz,即即 (2) (2) 如果函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)各

17、點(diǎn)處都可微分，那么稱(chēng)這函數(shù)在d內(nèi)可微分. 下面討論函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分的條件. 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)22()()xy a xb y dza xb y 下一頁(yè)上一頁(yè)返 回(x,y)(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且函數(shù)必定存在，且函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)(x,y)的全微的全微分為分為 (3)(3) 證 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)p(x,y)可微分.于是對(duì)于點(diǎn)p的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) ，(2)式總成立.特別當(dāng)

18、時(shí)(2)式也應(yīng)成立，這時(shí) ，所以(2)式成為zxzyzzdzxyxy (,)p xx yyx 0y 下一頁(yè)上一頁(yè)返 回上式兩邊各除以 ，再令 而極限，就得從而，偏導(dǎo)數(shù) 存在，而且等于a.同樣可證 =b.所以三式成立.證畢.(, )( , )()f xx yf x yaxx x0 x 0(, )( , )limxf xx yf x yax zxzy下一頁(yè)上一頁(yè)返 回 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 如果如果z=f(x,y)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 在在(x,y)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分. . 證 因?yàn)槲覀冎幌抻谟懻撛谀骋粎^(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對(duì)于偏

19、導(dǎo)數(shù)也如此)，所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)p(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思.設(shè)點(diǎn) 為這鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，考察函數(shù)的全增量zzxy、(,)xx yy(,)( , )zf xx yyf x y (,)( ,)f xx yyf x yy下一頁(yè)上一頁(yè)返 回在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，由于y+y不變，因而可以看作是x的一元函數(shù) 的增量.于是應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到 又依假設(shè)， 在點(diǎn) 連續(xù)，所以上式可寫(xiě)為(,)( ,)f xx yyf x yy( ,)( , )f x yyf x y( ,)f x yy(,)( ,)f xx yyf x yy11(,)01xfxx yyx()( , )x

20、fx y( , )x y下一頁(yè)上一頁(yè)返 回 (4)其中 為x、y的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， . 同理可證第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可寫(xiě)為 (5)其中 為y的函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， . 由(4)、(5)兩式可見(jiàn)，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量z可以表示為(,)( ,)f xx yyf x yy1( , )xfx yxx 10,0 xy 102( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yyy 20y 20下一頁(yè)上一頁(yè)返 回 容易看出它就是隨著 即 而趨于零的. 這就證明了z=f(x,y)在點(diǎn)p(x,y)是可微分的.12( , )( , )xyzfx yxfx yyxy 1212xy 0,0 xy 0例題

21、上一頁(yè)返 回第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則返 回下一頁(yè)習(xí)題第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 及及 都在點(diǎn)都在點(diǎn)t t可導(dǎo)，函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)(u,v)具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù) 在在t t可導(dǎo)，切可導(dǎo)，切其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： (1)(1) 證 設(shè)t獲得增量t，這時(shí) 、 的對(duì)應(yīng)增量為u 、v,由此，函數(shù)z=f(u,v)( )ut( )vt( ),( )zfttdzz duz dudtu dtv dt( )ut

22、( )vt下一頁(yè)上一頁(yè)返 回相應(yīng)的獲得增量z.根據(jù)規(guī)定，函數(shù)z=f(u,v)在點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式(6)有這里，當(dāng) 時(shí)， . 將上式兩邊各除以t，得因?yàn)楫?dāng) ，時(shí) ， ，12zzzuvuvuv 0,0uv 120,012zzuzvuvtutvttt 0t 0,0uv udutdt下一頁(yè)上一頁(yè)返 回 ，所以 這就證明符合函數(shù) 在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式(1)計(jì)算.證畢. 全微分形式不變?nèi)⒎中问讲蛔?設(shè)函數(shù)z=f(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分vdvtdt0limxzz duz dvtu dtv dt( ),( )zftt下一頁(yè)上一頁(yè)返 回如果u、v又是x、y的函數(shù)

23、、 且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 的全微分為zzdzdudvuv( , )ux y( , )vx y( , ),( , )zfx yx yzzdzdxdyxy下一頁(yè)上一頁(yè)返 回其中 及 發(fā)分別由公式(4)及(5)給出.把公式(4)及(5)中的 及 帶如上式，得zxzyzxzxzyzuzvzuzvdzdxdyuxv xuyv y zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzzdudvuv下一頁(yè)上一頁(yè)返 回由此可見(jiàn)，無(wú)論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性.上一頁(yè)返 回一.一個(gè)方程的情形二.方程組的情形第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求

24、導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式返 回習(xí)題一、一個(gè)方程的情況 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ， ，則方程，則方程 在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單質(zhì)來(lái)年許具的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單質(zhì)來(lái)年許具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) , ,它滿(mǎn)足條件它滿(mǎn)足條件 ，并有，并有 （1 1）( , )f x y00(,)p xy00(,)0f xy00(,)0yf xy00(,)0f xy00(,)xy( )yf x00()yf xxyfdydxf 返 回下一頁(yè) 公式推導(dǎo)： 將方程 所確定的函數(shù) 代入，得恒等式其左端

25、可以看作是x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的00(,)0f xy( )yf x( ,( )0f x f x0ff dyxy dxyf00(,)0yf xy00(,)xy返 回下一頁(yè)上一頁(yè)一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ，于是得 如果 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(1)的兩端看作x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得0yf xyfdydxf ( , )f x y22xxyyffd ydydxxfyfdx返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 隱函數(shù)存在定理可以判定由方程所確定的二元函數(shù) 的存在，以及這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)

26、設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，22xxyyxxxyyyyxxyyyf ff ff ff fffff2232xxyxyxyyyxyf ff f ff ff( , , )0f x y z ( , )zf x y( , , )0f x y z 000( ,)p x y z返 回下一頁(yè)上一頁(yè)且且 ，則方程，則方程 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)數(shù) ，它滿(mǎn)足條件，它滿(mǎn)足條件 ，并，并有有 (2)將公式(2)做如下的推導(dǎo)，由于 將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函

27、數(shù)求導(dǎo) 000000(,)0,(,)0 xf xyzf xyz( , , )0f x y z 000(,)x y z( , )zf x y000(,)zf xy,yxzzffzzxfyf ( , ,( , )0f x y f x y返 回下一頁(yè)上一頁(yè)法則得因?yàn)?連續(xù)，且 ，所以存在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ，于是得0,0 xzyzzzffffxyzf000(,)0zf xyz000(,)xyz0zf ,yxzzffzzxfyf 返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、方程組的情況 考慮方程組 (5)在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立化，因此方程組(5)就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù).這種情形下我們可以由函數(shù)f、

28、g的性質(zhì)來(lái)斷定方程組(5)所確定的兩個(gè)二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì).( , , , )0( , , , )0f x y u vg x y u v返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理3 3 設(shè)設(shè) 以及以及 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 、 ，且，且 偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 ( (或稱(chēng)雅可比或稱(chēng)雅可比(jacobi(jacobi) )行列式行列式) )：( , , , )f x y u v( , , , )g x y u v0000(,)p xy u v0000(,)0f xy u v0000

29、(,)0g xy u v(,)( , )fff guvjggu vuv返 回下一頁(yè)上一頁(yè)在點(diǎn)在點(diǎn) 不等于零，則方程組不等于零，則方程組 、 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ， ，它們滿(mǎn)足條件，它們滿(mǎn)足條件 ， ，并有，并有0000(,)p xy u v0000(,)0f xy u v0000(,)0g xy u v0000(,)xy u v( , )uu x y( , )vv x y000(,)uu xy000(,)vv xy1(,)( , )xvxvuvuvffgguf gffxjx ugg 返

30、回下一頁(yè)上一頁(yè) (6)1(,)( , )uxuxuvuvffgguf gffxju xgg 1(,)( , )yvyvuvuvffgguf gffyjy vgg 返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 下面僅就公式(6)做如下推導(dǎo). 由于1( ,)( , )uyuyuvuvffgguf gffyju ygg , , ( , ), ( , )0f x y u x y v x y, , ( , ), ( , )0g x y u x y v x y返 回下一頁(yè)上一頁(yè)將恒等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得這是關(guān)于 的線性方程組，由假設(shè)可知在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，系數(shù)行列式00 xuvxuvuvfffxxuvgggxx

31、,uvxx0000(,)p xy u v0uvuvffjgg返 回下一頁(yè)上一頁(yè)從而可解出 ，得 同理，可得 ,uvxx1( ,)1( ,),( , )( , )uf gvf gxjx vxju x 1( ,)1( ,),( , )( , )uf gvf gyjy vyju y 返 回上一頁(yè)一.空間曲線的切線與法平面二.曲面的切平面與法線第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用返 回習(xí)題一、空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程 (1)這里假定(1)式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo). 在曲線上取對(duì)應(yīng)與 的一點(diǎn)及對(duì)應(yīng)于 的鄰近一點(diǎn) .根據(jù)解析幾何，曲線的割線 的方程是 ( ),( ),( )

32、xtytzt0tt000(,)m xyz0ttt000(,)m xx yy zzmm000 xxyyzzxyz返 回下一頁(yè)當(dāng) 沿著趨于 ，時(shí)割線 的極限位置 就是曲線在點(diǎn) 處的切線(圖8-7).用t除上式的各分母，得 令 (這t0)， 通過(guò)對(duì)上式取極限，即得 圖 8-7 曲線在點(diǎn) 處的切線方程mmmmtmzmmmm000 xxyyzzxyztttzxymtm o返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 這里當(dāng)要假定 都不能為零. 切線的方向向量稱(chēng)為曲線的切向量.向量就是曲線通過(guò)在點(diǎn) 處的一個(gè)切向量. 點(diǎn)通過(guò) 而與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線在000000( )( )( )xxyyzztttz000( )( )( )ttt

33、、000( ),( ),( )ttttmm返 回下一頁(yè)上一頁(yè)點(diǎn) 處的法平面，它是通過(guò)點(diǎn) 而以t為法向量的平面，因此這法平面的方程為zm000(,)m xyz000000( )()( )()( )()0txxtyytzz返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、曲面的切平面與法線 我們先討論由隱式給出曲面方程的情形，然后把顯式給出的曲面方程z=f(x,y)作為它的特殊情形. 設(shè)曲面由方程(9)給出， 是曲面上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零.在曲線上，通過(guò)點(diǎn)m引一條曲線(圖8-8)，假定曲線的參數(shù)方程為z( , , )0f x y z 000(,)m xyz( , , )f x y z返 回下一頁(yè)上

34、一頁(yè)程為 (10) 對(duì)應(yīng)于點(diǎn) 且 ， ， 不全為 零，則由(2)式可得這 曲線的切線方程為 圖 8-8 ( ),( ),( )xtytztzzxyomtn0tt000(,)m xyz0( )t0( )t0( )t000000( )( )( )xxyyzzttt返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 引入向量 則表示(10)在點(diǎn)m處的切向量 z000000000(,),(,),(,)xyzf xyzf xyzf xyz0000000(,)( )(,)( )xyf xyztf xyzt000(,)( )0zf xyzt0( ),( ),( )tttt返 回下一頁(yè)上一頁(yè)與向量n垂直.因?yàn)榍€(10)是曲面上通過(guò)點(diǎn)m的任

35、意一條曲線，它們?cè)邳c(diǎn)m的切線都與同一個(gè)向量n垂直，所以曲面上通過(guò)點(diǎn)m的一切曲線在點(diǎn)m的切線都在同一個(gè)平面上.這個(gè)平面稱(chēng)為曲面在點(diǎn)m的切平面.這切平面的方程是 (12) 通過(guò)點(diǎn) 而垂直于切平面(12)的直線稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)的法線.法線方程是z00000000(,)()(,)()xyf xyzxxf xyzyy0000(,)()0zf xyzzz000(,)m xyz返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 垂直于曲面上切平面的向量稱(chēng)為曲面的法向量.向量就是曲面在點(diǎn)m處的一個(gè)法向量.z000000000000()()()(,)(,)(,)xyzxxyyzzf xyzf xyzf xyz000000000(,),(,),(

36、,)xyzf xyzf xyzf xyz返 回上一頁(yè)一.方向?qū)?shù)二.梯度第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度返 回習(xí)題第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 一、方向?qū)?shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在p(x,y)的某一鄰域u(p)內(nèi)有定義.自點(diǎn)p引射線.設(shè)x軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 ，并設(shè) 為 上的另一點(diǎn)(圖8-9)且 .我們考慮函數(shù)的增量 與 兩點(diǎn)間的距離 的比值 .當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱(chēng)這極ll(,)p xx yyl( )pu p(,)( , )f xx yyf x ypp、22()()xy plp返 回下一頁(yè) 限為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)p沿 方向 的方向?qū)?shù)，記 作 ，即 圖 8-

37、9lyoxypxplfl0(,)( , )limff xx yyf x yl返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)p(x,y)p(x,y)是可微是可微分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存在且有在且有其中其中 為為x x軸到方向軸到方向 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角. . 證證 根據(jù)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)p(x,y)是可微分的假定，函數(shù)的增量可以表達(dá)為cossinffflxyl(,)( , )( )fff xx yyf x yxyoxy 返 回下一頁(yè)上一頁(yè)兩邊各除以 ，得到所以 (,)( , )f xx yyf x y

38、( )fxfyoxy ( )cossinffoxy返 回下一頁(yè)上一頁(yè)這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為0(,)( , )limf xx yyf x ycossinffxycossinffflxy返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 對(duì)于三元函數(shù)u=f(x,y,z)來(lái)說(shuō)，它在空間一點(diǎn)p(x,y,z)沿著 (設(shè)方向 的方向?yàn)?的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為其中 ， 同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 的方向?qū)?shù)ll、 、0(,)( , , )limff xx yy zzf x y zl222()()()xyz cos ,x cos,cos .yz l返 回下一頁(yè)上一頁(yè)為coscoscosff

39、fflxyz返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、梯度 在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域d內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)p(x,y)d，都可以定出一個(gè)向量這向量稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)p(x,y)的梯度，記作 ，即ffijxygrad ( , )f x ygrad ( , )fff x yijxy返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 由梯度的定義可知，梯度的模為 一般來(lái)說(shuō)二元函數(shù)z=f(x,y)在幾何上表示一個(gè)曲面，這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線l的方程為22grad ( , )fff x

40、yxy返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 這條曲線 在xoy面 的投影是一條平面曲 線 (圖8-10)，它 在xoy平面直角坐標(biāo) 系中的方程為 圖 8-10( , )zf x yzcyoxgrad ( , )f x y1( , )f x yc( , )f x yc2( , )f x yc*ll*l( , )f x yc返 回下一頁(yè)上一頁(yè)對(duì)于曲線 上的一切點(diǎn)，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱(chēng)平面曲線 為函數(shù)z=f(x,y)的等高線. 由于等高線f(x,y)=c上任一點(diǎn)p(x,y)處的法線斜率為所以梯度*l11xyxyfdyffdxf *lffijxy返 回下一頁(yè)上一頁(yè)為等高線上點(diǎn)p處的法向量.因此我們可得梯度

41、與等高線的下述關(guān)系：函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)p(x,y)的梯度方向與過(guò)點(diǎn)p的等高線f(x,y)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向. 對(duì)于三元函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)每一點(diǎn) ，都可定出一個(gè)向量( , , )p x y zg返 回下一頁(yè)上一頁(yè)這向量稱(chēng)為函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)p(x,y,z)的梯度，將它記作 ，即 如果我們引進(jìn)曲面fffijkxyzgrad ( , , )f x y zgrad ( , )ffff x yij

42、kxyz( , , )f x y zc返 回下一頁(yè)上一頁(yè)為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面的概念，則可得函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)p(x,y,z)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)p的等量面f(x,y,z)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).返 回上一頁(yè)一.多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二.條件極值第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法返 回習(xí)題第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該

43、鄰域內(nèi)異于 的點(diǎn)的點(diǎn) ：如果都適合不等式：如果都適合不等式則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 有有極大值極大值 ；如；如果都適合不等式果都適合不等式( , )zf x y00(,)xy00(,)xy( , )x y00( , )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy返 回下一頁(yè)則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 有有極小值極小值 . .極大極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為為極值點(diǎn)極值點(diǎn). . 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n 元函數(shù).設(shè)n元函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)有異于 的任何點(diǎn) 都不適合不等式 00( ,

44、 )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy( )uf p0p0pp返 回下一頁(yè)上一頁(yè)則稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) 有極大值(極小值) . 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在點(diǎn)點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) 處有極處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 證證 不妨設(shè) 在點(diǎn) 處有極大值.依極大值的定義，在 的某鄰00( )()( ( )()f pf pf pf p( )f p0p0()f p( , )zf x y00(,)xy00(,)xy0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy( , )zf x y00(,)xy00(,)

45、xy返 回下一頁(yè)上一頁(yè)域內(nèi)異于 的點(diǎn) 都適合不等式特殊地，該鄰域內(nèi)取 而 的點(diǎn)，也應(yīng)合適不等式這表明一元函數(shù) 在 處取得極大值，因而必有 ( , )x y00(,)xy00( , )(,)f x yf xy0yy0 xx000( ,)(,)f x yf xy0( ,)f x y0 xx00(,)0 xfxy返 回下一頁(yè)上一頁(yè)類(lèi)似地可證 如果三元函數(shù) 在點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn) 具有極值的必要條件為 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在00(,)0yfxy( , , )uf x y z000(,)xyz000(,)xyz000000000(,)0,(,)0,(,)0 xyz

46、fxyzfxyzfxyz( , )zf x y返 回下一頁(yè)上一頁(yè)點(diǎn)點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有 一階及二階一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ， ，令，令則則 在在 處是否取得極值的條件如處是否取得極值的條件如下：下： (1) (1) 時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)具有極值，且當(dāng) 時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng) 時(shí)有極小值；時(shí)有極小值； (2) (2) 時(shí)沒(méi)有極值；時(shí)沒(méi)有極值； (3) (3) 時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)00(,)xy00(,)0 xfxy00(,)0yfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyafxybfxyc( , )f x y00(

47、,)xy20acb0a0a20acb20acb返 回下一頁(yè)上一頁(yè)有極值，還需另作討論有極值，還需另作討論. . 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn). 第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn) ，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 和 . 第三步 定出 的符號(hào)，按定理2的( , )zf x y( , )0,( , )0 xyfx yfx y00(,)xyab、c2acb返 回下一頁(yè)上一頁(yè)結(jié)論判定 是否是極值、是極大值還是極小值.0( ,)f x y返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 上面所討論的極值問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域以外，并無(wú)其他

48、條件，所以有時(shí)候稱(chēng)為無(wú)條件極值.但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問(wèn)題. 例如，求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題.設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為 還必須滿(mǎn)足附加條件 .象這種對(duì)自變量有附加條件的極值稱(chēng)為條件極值.2a, ,x y z22()xyyzxza返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，可以把條件極值化為無(wú)條件極值，然后利用第一目中的方法加以解決.例如上述問(wèn)題，可由條件 ，將z表示成x,y的函數(shù)再把它代入 中，于是問(wèn)題就化為求222()axyzxyvxyz22()xyyzxza2222()xyaxyvxy返 回下一頁(yè)上一頁(yè)的無(wú)條件極值. 但在很多情形下，將條件極值化

49、為無(wú)條件極值并不這樣簡(jiǎn)單.我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問(wèn)題化到無(wú)條件極值的問(wèn)題. 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中 為某一常數(shù).求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，( , )zf x y( , )0 x y( , )( , )( , )f x yf x yx y返 回下一頁(yè)上一頁(yè)并使之為零，然后與方程 聯(lián)立起來(lái)：由這方程組解出 及 ，則其中 就是函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo). ( , )0 x y( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y( , )f x y(

50、 , )0 x y, x y, x y返 回下一頁(yè)上一頁(yè)第八章結(jié)束第八章結(jié)束上一頁(yè)返 回總習(xí)題總習(xí)題 八八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中選擇一個(gè)正 確的填入下列空格內(nèi)： （1） 在點(diǎn) 可微分是 在該點(diǎn)連續(xù)的 充分 條件. 在點(diǎn)連續(xù)是 在該點(diǎn)可微分的 必要 條件. （2） 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在是 在該點(diǎn)可微分的 必要 ( ,)f x y下一頁(yè)返 回( ,)x y( ,)f x y( ,)f x y( ,)x y( ,)f x y( ,)zf x y( ,)x yzxzy( ,)f x y條件. 在點(diǎn) 可微分是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在的 充分 條件. （3） 的偏導(dǎo)數(shù) 及 在點(diǎn)

51、存在且連續(xù)是 在該點(diǎn)可微分的 充分 條件. （4）函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域d內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階下一頁(yè)返 回( ,)zf x y( ,)x yzxzy上一頁(yè)( ,)zf x yzxzy( ,)x y( , )f x y( ,)zf x y2zx y 2zy x 混合偏導(dǎo)數(shù)在d內(nèi)相等的 充分 條件.2.求函數(shù) 的定義 域，并求 .3.證明極限 不存在.下一頁(yè)返 回上一頁(yè)120lim( ,)xyf x y2224( ,)ln(1)xyf x yxy22400limxyxyxy題解題解4.設(shè)求 及 .5.求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：下一頁(yè)返 回上一頁(yè)2222222,0( ,)0,0 x

52、 yxyxyf x yxy( ,)xfx y( ,)yfx y2(1)ln()zxy(2)yzx題解題解題解6.求函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的全增量和全微分.7.設(shè) 證明： 在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分. 下一頁(yè)返 回上一頁(yè)2222223/222,0()( ,)0,0 x yxyxyf x yxy 0.03y2,1,0.01,xyx22xyzxy( ,)f x y題解題解8.設(shè) ，而 都是可微函數(shù)，求 .9.設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而求 .10.設(shè) ，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求 . 下一頁(yè)返 回上一頁(yè),uvwdudt( ),( )xtytyux( , ,)zf u v w,zzz( , ,)

53、,yzf u x yuxe2zx y 題解題解題解11.設(shè) 試求 和 .12.求螺旋線在點(diǎn) 處的切線及法平面方程.13.在曲面 上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面 ，并寫(xiě)出這法線的方程.下一頁(yè)返 回上一頁(yè)cos ,sin ,.uuxev yev zuvzxzycos,sin,xayazb( ,0,0)azxy290 xyz題解題解題解14.設(shè)x軸正向到方向 的轉(zhuǎn)角為 ，求函數(shù)在點(diǎn)(1,1)沿方向 的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角 ，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函數(shù) 在橢球面上點(diǎn) 處沿外法線方向的方向?qū)?shù).下一頁(yè)返 回上一頁(yè)l22( ,)f x yxxyyl222uxy

54、z2221xyzabc0000(,)mxyz題解題解16.求平面 和柱面的交線上與xoy平面距離最短的點(diǎn).17.在第一卦限內(nèi)做橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小.求著切平面的切點(diǎn)，并求此最小體積.返 回上一頁(yè)221xy1345xyz2221xyzabc題解題解解：解：求定義域 需滿(mǎn)足即 需滿(mǎn)足下一頁(yè)返 回( , )x y222224010ln(1)0 xyxyxy( , )x y22222401011xyxyxy( , )x yd而 是d的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).返 回2224( , )ln(1)xyf x yxy222( , ) 40,01dx yxyxy上一頁(yè)1,0212012

55、lim( , ),032ln4xyf x yf解：解： 設(shè)當(dāng) 時(shí)， 沿 的方向趨近于零顯然，該極限隨k的 不同而改變.返 回0 x y22242420000limlimxxyyxykxxyxk x12ykx242400lim(1)1xykxkkxk解：解：當(dāng)當(dāng) , ,顯然顯然 . .當(dāng)當(dāng) , ,下一頁(yè)返 回(, )( , )( , )limxxf xx yf x yfx yx 220 xy0 xf 220 xyxyxyxyxxyxxfxx2222220)()(lim下一頁(yè)返 回2222222220()()()lim()()xxxyxyxy xxyxxyxyx 2222222222220()()

56、()()lim()()xxxxxxyxyy xyxxxxyxy 2223)(2yxxy上一頁(yè)同理同理當(dāng)當(dāng) , ,顯然顯然 . .當(dāng)當(dāng) , ,返 回220 xy220 xy0yf 222222)()(yxyxxfy上一頁(yè)解：解：返 回21xzxy22yxyzy22)(1yxzxx222()xyyxyzzxy222222)(22)(22)(2yxyxyxyyyxzyy解：解：返 回1yxzyxxxzyyln2) 1(yxxxyyz11lnyyxyyxzzxyxx2)(ln xxzyyy解：解：全增量返 回) 1 , 2()03. 1 ,01. 2(ffz3203. 101. 203. 101. 2

57、222222322222)()()2()(yxyxyyxxxyyxyzx2222322222)()()2()(yxxyxyxxyyyxxzy下一頁(yè)返 回上一頁(yè)22210 010 030 03xxyxyydzz.z.證明: 顯然 時(shí), 有返 回下一頁(yè)(0 0)0f，, 022( ,)( ,)x yx yxy22222332222221 ()04()()x yxyxyxy返 回下一頁(yè)21212241)(41yx處處連連續(xù)續(xù)在在)0 , 0(),(yxf000lim)0 , 0()0 ,0(lim00 xxfxfxx又又0)0 , 0(xf0)0 , 0(yf同理：同理：上一頁(yè)返 回下一頁(yè)上一頁(yè)(0

58、,0)即在處，偏導(dǎo)存在即在處，偏導(dǎo)存在yfxfzyx)0 , 0()0 , 0(而而0)0 , 0()0 ,0(fyxf232222)(yxyx222002200)(limlimyxyxyxzyxyx又：又：返 回若令若令 沿沿 方向趨近于方向趨近于0 xkyy22242222220000limlim()(1)xxyy k xxykxxykx 則則222(1)kk上一頁(yè)解解: 返 回xydudxdyuudtdtdt)( ln)( 1txxtyxyy解解: 返 回vwvwzvwzzzz uwuwzuwzzzzuuvzuvzzzz 解解: 返 回yuxuxzufffefxx2( )yyyyuuuu

59、yxuxyze ffxefefxefx y uyxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2解解: 返 回cos ,sinyuxev yevxyarctgvyxu),ln(2122zzuzvxuxvx222222()1 ( )yxxvuyxyx下一頁(yè) 返 回上一頁(yè)2222yxuyvyxxueuuvv)sincos(uevvvuyz)sincos(同理：同理：解解: 返 回sin ,cos ,xayazb 0)0 , 0 ,(對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的而點(diǎn)而點(diǎn) a, 0bat 0byazax切線方程為切線方程為0bzay法平面方程為：法平面方程為：解解: 返 回00000(,), 1zxyxyzyxn設(shè)曲

60、面上這點(diǎn)為設(shè)曲面上這點(diǎn)為113100 xy由題意得：由題意得：33, 1000zxy133113) 3 , 1, 3(zyx法線方程為：法線方程為：這點(diǎn)為這點(diǎn)為解解: 返 回cossinlfffxysin)2(cos)2(xyyx)4cos(2sincos11），（fl即：即：24時(shí)，有最大值時(shí)，有最大值（1）當(dāng)（1）當(dāng)245時(shí)，有最小值時(shí)，有最小值（2）當(dāng)（2）當(dāng)時(shí)，值為0時(shí)，值為04 47 7（3）當(dāng)（3）當(dāng)解解: 返 回( , , )(coscoscos )x y zxyzuuuun)cos2cos2cos2000zyx)2,2,2(),(,1222222222czbyaxfffnczb