三角形四心的向量表示（課堂PPT）

1、1三角形三角形“四心四心”的向量表的向量表示示2一、一、 外心外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心外心。 證明外心定理證明外心定理證明證明: 設(shè)設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)的中垂線交于點(diǎn)O， 則有則有OA=OB=OC， 故故O也在也在AC的中垂線上，的中垂線上， 因?yàn)橐驗(yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等，到三頂點(diǎn)的距離相等， 故點(diǎn)故點(diǎn)O是是ABC外接圓的圓心外接圓的圓心 因而稱為外心因而稱為外心OO3點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題將本題將平面向量平面向量模的定義與模的定義與三角形三角形外心外心

2、 的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。OABCOABC到到的三頂點(diǎn)距離相等。的三頂點(diǎn)距離相等。故故 是是解析：解析：由向量模的定義知由向量模的定義知的外心的外心 ，選，選B。ABC O是是的外心的外心OABCOAOBOC OABC若若 為為內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，則則 是是 的（的（ ） A內(nèi)心內(nèi)心 B外心外心 C垂心垂心 D重心重心222OAOBOCOAOBOC ()()()OAOBABOBOCBCOCOA CA 0B4 二、垂心二、垂心ABCABCABC三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的垂心垂心。DEF證明證明: AD、

3、BE、CF為為ABC三條高，三條高， 過點(diǎn)過點(diǎn)A、B、C分別作對邊的平行線分別作對邊的平行線 相交成相交成ABC，AD為為BC 的中垂線；同理的中垂線；同理BE、CF也分別為也分別為 AC、AB的中垂線，的中垂線， 由外心定理，它們交于一點(diǎn)，由外心定理，它們交于一點(diǎn)， 命題得證命題得證證明垂心定理證明垂心定理ABC5例例1如圖，如圖，AD、BE、CF是是ABC的三條高，的三條高， 求證：求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。相交于一點(diǎn)。ABCDEFH,BHAC CHAB ()0()()()0.()0h a bh a bh b ah b ah b a .AHBC 又又點(diǎn)點(diǎn)D在在AH的延長線上，的延長

4、線上，AD、BE、CF相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn) ,ABa ACb AHh 令,BHh a CHh b BCb a 則證：證：設(shè)設(shè)BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)H， 垂心垂心6ABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 則證：設(shè)證：設(shè)例例2已知已知O為為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足:,.ABOC BCOA CAOB 求證：求證：222222| .OABCOBCAOCAB 化簡：化簡：222222:| .OABCOBCAOCAB 由題設(shè)222222()()()ac bba ccb a 同理：同理：,.BCOA CAOB ()0,AB OCbacb ca c 從

5、而從而:c ba cb a 得.ABOC 垂心垂心7ABC OAOCOCOBOBOA 1.O是是的垂心的垂心2.()|cos|cosABACABBACC 0,)是是ABC的邊的邊BC的高的高AD上的任意向量，過垂心上的任意向量，過垂心.128例例3 O是平面上一定點(diǎn)，是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)， 動點(diǎn)動點(diǎn) P 滿足滿足(),|cos|cosABACOPOAABBACC ()|cos|cos|cos|cosABACBC ABBC ACBCABBACCABBACC | |cos() | |cos| | 0|cos|cosBCABBBCACCBCBCAB

6、BACC ()|cos|cosABACBCABBACC ()|cos|cosABACABBACC ()|cos|cosABACOPOAABBACC 則則P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABC的的 _ 在在ABC的邊的邊BC的高的高AD上上.P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABC的的垂心垂心.所以，所以，時(shí)，時(shí)，解解:9OCOBOBOA解解: 例例4.（2005全國全國）點(diǎn)點(diǎn)O是是ABC所在平面上一點(diǎn)，所在平面上一點(diǎn)， 若若 ， 則點(diǎn)則點(diǎn)O是是ABC的（的（ ）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)）三條中

7、線的交點(diǎn)（D）三條高線的交點(diǎn)）三條高線的交點(diǎn)OAOCOCOBOBOA0)(OCOAOB0CAOBCAOB則則O在在CA邊的高線上邊的高線上,同理可得同理可得O在在CB邊的高線上邊的高線上.DOCBA 垂心垂心 5. (2005湖南湖南) P是是ABC所在平面上一點(diǎn)，若所在平面上一點(diǎn)，若 則則P是是ABC的（的（ ） A外心外心B內(nèi)心內(nèi)心C重心重心D垂心垂心,PA PBPB PCPC PA D10設(shè)中線BE,CF交于點(diǎn)G,連結(jié)EF, 則EF/BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同理中線AD,BE交于G ,連結(jié)DE,則: DE/AB,且EG :G B=DG :G A=DE:AB=

8、1:2, 故G(,證明同一法:)G 重合.三、重心三、重心ABCABCABC三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心重心。 證明重心定理證明重心定理 E F D G11ABC 0OCOBOA 3. O是是的重心的重心14.()3PGPAPBPC GABC為為的重心的重心.1.(),0,)ABAC 是是BC邊上的中線邊上的中線AD上的任意向量，過重心上的任意向量，過重心.ABC1,2ADABAC ABC2.在在中，給出中，給出等于已知等于已知AD是是中中BC邊的中線邊的中線;121()3PGPAPBPC 例例1 P是是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)所在平面內(nèi)任

9、一點(diǎn).G是是ABC的重心的重心CGPCBGPBAGPAPG3()()PGAGBGCGPAPBPC 0GAGBGC 0,AGBGCG 證明證明: G是是ABC的重心的重心PCPBPAPG3)(31PCPBPAPG即即由此可得由此可得（反之亦然（證略）（反之亦然（證略）1()3OGOA OB OC 思考：思考： 若若O為為ABC外心，外心，G是是ABC的重心，則的重心，則_.OGO為為ABC的內(nèi)心、垂心呢？的內(nèi)心、垂心呢？13例例2證明：三角形證明：三角形重心重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍與頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍 A B C E F D G11,.22AC b CB aA

10、DAC CD ba EBEC CBb a 則證：設(shè)證：設(shè)A, G, D共線，共線，B, G, E共線共線,.AGAD EGEB 可設(shè)可設(shè)即：即：AG = 2GD 同理可得：同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF 11(),2211().22AGADbabaEGEBbaba 則,AE EGAG ADAG32313202121021111:().222bbaba即111()()0.,222aba b 不平行, 重心重心14例例2證明：三角形證明：三角形重心重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍與頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍另證另證:連結(jié)EF,則EF為 ABC的中位線,EF/B

11、C,且EF:BC=1:2,由平行線分線段成比例得 FG:GC=1:2,同樣可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A B C E F D G 重心重心想想看？想想看？15四、內(nèi)心四、內(nèi)心ABCABCABCABCABC三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心內(nèi)心。證明內(nèi)心定理證明內(nèi)心定理證明證明 : : 設(shè)設(shè)A A、C C的平分線相交于的平分線相交于I,I, 過過I I作作IDBCIDBC，IEACIEAC， IFAB IFAB，則有，則有IE=IF=IDIE=IF=ID 因此因此I I也在也在C C的平分

12、線上，的平分線上， 即三角形三內(nèi)角平分線即三角形三內(nèi)角平分線 交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)I II I E F D161.設(shè)設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，是三角形的三條邊長，O是三角形是三角形ABC內(nèi)心內(nèi)心的的 充要條件是充要條件是0OCcOBbOAa |0BC OACA OBAB OC ACBO Oa ab bc c172003天津理科高考題A AB BA AC CO OP P = = O OA A + +( (+ +) ), , 0 0, ,+ +) ). .| |A AB B| | | |A AC C| | 2. O是平面上一定點(diǎn)，是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，是平面上不共線的

13、三個(gè)點(diǎn)， 動點(diǎn)動點(diǎn)P P滿足滿足 則則P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABC的（的（ ） A外心外心 B內(nèi)心內(nèi)心 C重心重心 D垂心垂心B 內(nèi)心內(nèi)心(),|ABACRABAC 是是BAC的角平分線上的任意向量，過內(nèi)心；的角平分線上的任意向量，過內(nèi)心； 183.（20062006陜西）陜西）已知非零向量已知非零向量 與與 滿足滿足 則則ABCABC為（為（ ） A A三邊均不相等的三角形三邊均不相等的三角形 B B直角三角形直角三角形 C C等腰非等邊三角形等腰非等邊三角形 D D等邊三角形等邊三角形AB AC1()0,2| |ABACABACBCABACABAC 且解法一：解法一：根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)

14、的特點(diǎn)，本題可采用驗(yàn)證法來處理根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)的特點(diǎn)，本題可采用驗(yàn)證法來處理. 不妨先驗(yàn)證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時(shí)不妨先驗(yàn)證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時(shí) 排除其他三個(gè)選擇項(xiàng)，故答案必選排除其他三個(gè)選擇項(xiàng)，故答案必選 D.D19 解法二：解法二：由于由于 所在直線穿過所在直線穿過ABCABC的內(nèi)心，的內(nèi)心，則由則由 ( (等腰三角形的三線合一定理等腰三角形的三線合一定理) )；又；又 ，所以所以 , ,即即ABCABC為等邊三角形，故答案選為等邊三角形，故答案選D.D.3A|ABACABAC ()0|ABACBCABACABAC 知 |= |12| |ABACABAC 注注: 等邊

15、三角形等邊三角形(即即正三角形正三角形)的的“外心、垂心、外心、垂心、 重心、內(nèi)心、中心重心、內(nèi)心、中心 ” 五心合一！五心合一！20 法一抓住了該題選擇項(xiàng)的特點(diǎn)而采用了法一抓住了該題選擇項(xiàng)的特點(diǎn)而采用了驗(yàn)證法驗(yàn)證法,是處理本題的巧妙方法；法二要求學(xué)生能領(lǐng)會一些是處理本題的巧妙方法；法二要求學(xué)生能領(lǐng)會一些向向量表達(dá)式與三角形某個(gè)量表達(dá)式與三角形某個(gè)“心心”的關(guān)系，的關(guān)系，如如 所在直線一定通過所在直線一定通過ABCABC的內(nèi)心的內(nèi)心; ; 所在所在直線過直線過BCBC邊的中點(diǎn)，從而一定通過邊的中點(diǎn)，從而一定通過ABCABC的重心；的重心； 所在直線一定通過所在直線一定通過ABCABC的垂心等的

16、垂心等. .|ABACABAC ABAC | cos| cosABACABBACC 21【總結(jié)總結(jié)】(1).是用數(shù)量積給出的三角形面積公式是用數(shù)量積給出的三角形面積公式; (2).則是用向量坐標(biāo)給出的三角形面積公式則是用向量坐標(biāo)給出的三角形面積公式. 4. 在在ABC中中: (1)若若CAa，CBb，求證，求證ABC的面積的面積 (2)若若CA(a1，a2 )，CB(b1，b2 )， 求證：求證：ABC的面積的面積 2221babaS122121babaS解解:22(1).cos(1cos)sinS2222211221122aba babababab222212121 12 21 22 11

17、22 1(2).|Saabbabababababab222211221122由(1)知:a ba b225.222 例如 圖 ,在ABC內(nèi) 求 一 點(diǎn) P,使 得 : |AP| +|BP| +|CP| 的 值 最 小 .ABC P222222222.|()()23()()3APBPCPb 設(shè)AP=m, AB=a, AC=b,則BP=m-a, CP=m-bmmambamaba b3解:b222a當(dāng) m =時(shí) , 即 P 為A B C 的 重 心 時(shí) ,3| A P | + | B P | + | C P | 的 值 最 小 .費(fèi) 爾 馬 點(diǎn) ( 即 正 等 角 中 心 -當(dāng) | A P | +

18、| B P | +- - - P 對 三擴(kuò) 展 :頂 點(diǎn) A| C P, B ,| 的 值 最 小 時(shí) , 點(diǎn)C 的 張 角 均 為 1 2P 是A B C0的) .23ABC230,OAOBOC 思考思考: 如圖，設(shè)點(diǎn)如圖，設(shè)點(diǎn)O在在內(nèi)部，且有內(nèi)部，且有則則 ABCAOC的面積與的面積與的面積的比為的面積的比為_ (2004年全國奧賽題年全國奧賽題) 3作作AC、BC邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn)E、D，2(1)(1) 2(2)2(2)232(2)0.| |,2,22 1122233 43COECODAOCCOECDEABCOBOCODOA OCOEOAOBOCODOEOD OEODOE SSSSSSS 與共線且2|ABC解解1:DEABC O24OCBA作作AC邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn)E，2,6332()2,3,|3.|ABCAOCOEOA OCOEOAOCOA OBBAOEBASBASOE 解解2:ABC230,OAOBOC 思考思考: 如圖，設(shè)點(diǎn)如圖，設(shè)點(diǎn)O在在內(nèi)部，且有內(nèi)部，且有則則 ABCAOC的面積與的面積與的