《管理學(xué)星航》ppt課件

1、2.52.5常用連續(xù)分布常用連續(xù)分布常見(jiàn)連續(xù)型分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)常見(jiàn)連續(xù)型分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)常見(jiàn)連續(xù)型分布的期望和方差常見(jiàn)連續(xù)型分布的期望和方差常見(jiàn)連續(xù)型分布的性質(zhì)常見(jiàn)連續(xù)型分布的性質(zhì)一、正態(tài)分布一、正態(tài)分布定義：若連續(xù)隨機(jī)變量定義：若連續(xù)隨機(jī)變量X X 的概率密度為的概率密度為22( ) 2 1( )2xp xe 其中其中 為為常數(shù)，常數(shù)， 0 0 為常數(shù)，則稱(chēng)為常數(shù)，則稱(chēng) X X服從參數(shù)服從參數(shù)為為 ( ( , , 2 2) ) 的的正態(tài)分布正態(tài)分布，亦稱(chēng)高斯亦稱(chēng)高斯(Gauss)(Gauss)分布，分布，稱(chēng)稱(chēng)X X為為正態(tài)變量正態(tài)變量。記為。記為 X X N( N( , ,

2、2 2) )。 21Ox p(x) 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為2 2() 2 1( ) , 2txF xedtxR 2Oxp (x) 1(1) p (x) 圖形關(guān)于直線圖形關(guān)于直線 x = 對(duì)稱(chēng)。對(duì)稱(chēng)。(4) 參數(shù)參數(shù) 決定曲線決定曲線 p (x)的位置，參數(shù)的位置，參數(shù) 決決定曲線定曲線p (x)的形狀。固定的形狀。固定 而改變而改變 值，則值，則曲線左右位置不同但形狀不變，即此時(shí)曲線左右位置不同但形狀不變，即此時(shí)p (x)圖形沿著圖形沿著 x 軸平行移動(dòng)；固定軸平行移動(dòng)；固定 而改變而改變 值，值，則曲線形狀改變而位置不則曲線形狀改變而位置不 變。變。 值越大時(shí)曲值越大時(shí)曲線越平緩，線越平緩

3、， 值越小，曲線越陡峭。值越小，曲線越陡峭。(3) 在在 x = 處，處， p (x)取得最大值：取得最大值： 2121Ox p (x) Oxp (x)其特點(diǎn)如下：其特點(diǎn)如下：(2) p(x)在在 x 軸上方，且以軸上方，且以 x 軸為漸近線。軸為漸近線。22( ) 2 1( )2xp xe 21Ox y標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)參數(shù)參數(shù) = 0, =1的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布其密度函數(shù)為：其密度函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Rxexx , 21)( 2 2 記為記為X N(0,1)。 (x)的性質(zhì)的性質(zhì) (1) (x) 是偶函數(shù)，即有是偶函數(shù)，即有

4、 (- x) = (x)。 曲線曲線 (x)是關(guān)于是關(guān)于 縱軸對(duì)稱(chēng)的古鐘型曲線；縱軸對(duì)稱(chēng)的古鐘型曲線；(2)在在x=0處處 (x) 取得最大值取得最大值 21 (3) (x) 在（在（- ，0）內(nèi)單增，在）內(nèi)單增，在（0，+ ）內(nèi)遞減。）內(nèi)遞減。其其分布函數(shù)分布函數(shù)為：為： 21)( )()( 2 2 xtxdtedttxXPx Ox (x) (x)的幾何意義的幾何意義x y若若 X X N(0,1)，密度函數(shù)為，密度函數(shù)為 21)(2 2xex 例：例：已知已知X X N(0,1)，求，求：(1) P(X X 0.68)；(2) P(X X 1.74)(1) P(X X 0.68) = P(

5、X X 0.68) = (0.68)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表分布函數(shù)表= 0.7517(2) P(X X 1.74)=1-P(X X 1.74)=1- (1.74)=1-0.9591=0.0409(3)P(0.680.68 X X 1.96)= (1.96)- (0.68)=0.975-0.7517= 0.2233(3)P(0.680.68 X X 1.96) 1.96)結(jié)論：結(jié)論：隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X N(0 , 1) 時(shí)，時(shí)，P ( X x)=1P ( X x) = 1 (x) , P ( a 0時(shí)，時(shí)， (- x)=1- (x)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：已知已知X X N N(0,1)(0,

6、1)，求，求P P(X(X 0時(shí)時(shí), P ( | X | x) = 2 (x) - 1因?yàn)橐驗(yàn)?P ( | X | x) = P ( -x X x)= (x)- (-x) = (x)- 1- (x) = 2 (x) - 1 例：例：已知已知X X N(0,1)，求，求(1) P( | X X | 1.96)；(2) P( | X X | 1.84) (3) P(X X - 8.7)；(1) P( |X X| 1.96) = P(-1.96-1.96 X X 1.96)= (1.96)- (-1.96) =2 (1.96)-1= 20.975 - 1= 0.95(2) P( | X X | 1.

7、84) = P(X 1.84 )+P(X -1.84)=21 - (1.84) = 0.0658(3) P(X -8.7)= (-8.7)=1- (8.7) = 0注：注： 當(dāng)當(dāng)x 5時(shí)時(shí) 0(x) 1 ，當(dāng)，當(dāng)x - 5時(shí)時(shí) 0(x) 0，當(dāng)，當(dāng) 0 x 5時(shí)查表時(shí)查表 當(dāng)當(dāng) -5x 0時(shí)時(shí) 0(x)=1- 0(-x) 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系)1 , 0(,),(2NYXYNX則則設(shè)設(shè) ),(),(,ypxpYXYX的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為證：設(shè)證：設(shè))(),(yFxFYX分布函數(shù)為分別為分布函數(shù)為分別為)()(yYPyFY yXPyXP ,

8、21222)( yxdxe ,dtdxtx 則則令令 ytdte2221 )(y )1 , 0( NY即即 有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算問(wèn)題有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算問(wèn)題),(2 NX設(shè)設(shè)率率的取值落入某區(qū)間的概的取值落入某區(qū)間的概隨機(jī)變量隨機(jī)變量X)()()( abbXaP)(bXaP )()( ab)1 , 0(NX 標(biāo)準(zhǔn)化，則標(biāo)準(zhǔn)化，則)( bXaP試求試求服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量),4 ,10(NX)210(),1310( XPXP),4,10(:NX已知已知解解2,10 則則)1310( XP)0()5 . 1( 4332. 05 . 09332. 0 128)210( XPX

9、P)2108()21012( )1()1( 6826. 01)1(2 例例)21010()21013( )2101321021010( XP?, 8 . 0)200120(),160(2值值最最多多為為多多少少試試問(wèn)問(wèn)允允許許若若要要求求某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的質(zhì)質(zhì)量量指指標(biāo)標(biāo) XPNX25.3128. 140 即即例例由題意由題意已知已知解解),160(2 NX)200120(8 . 0 XP)160120()160200( )40()40( 1)40(2 , 8 . 01)40(2 9 . 0)40( ,28. 140 查表得查表得 dtedttett22222121 正態(tài)分布正態(tài)分布N(,2)的

10、數(shù)學(xué)期望與方差的數(shù)學(xué)期望與方差其概率分布為其概率分布為設(shè)設(shè)),(2 NX021)(222)( xexpx。則有則有2)(,)( XVarXE dxxxpXE)()(因因?yàn)闉?dtett 2221)( dxexx222)(21 tx dxxpXExXVar)()()(2 dxexx222)(221)( dtett 222221 dtett22222 022222022dtetett tx 0222222dtett 0222212dtet 22212 方法二：方法二：021)(22yeyy。則有則有1)(, 0)( YVarYE)1 , 0(),(2NXYNX 則則設(shè)設(shè)。則有則有22)()(,)(

11、)( VarYYVarXVarEYYEXE正態(tài)分布的正態(tài)分布的3 3 原則原則設(shè)設(shè) X N( , 2) 求：求：(1) P (|X | )；(2) P (|X |2 )； (3)P (|X | 3 )解：解：P (|X | ) = P |(X )/ | 1) = 2 (1) 1 = 2 0.8413 1 = 0.6826P (|X | 2 ) = P |(X )/ | 2) = 2 (2) 1 = 2 0.97725 1 = 0.9545P (|X | 3 ) = P |(X )/ | 3 的概率是很小的的概率是很小的,因此可以認(rèn)為隨機(jī)變量因此可以認(rèn)為隨機(jī)變量X的幾的幾乎乎99.73%的值落在

12、的值落在 （ - 3 , +3 ） 區(qū)間內(nèi)，落在區(qū)間內(nèi)，落在 區(qū)間外的概區(qū)間外的概率很小，幾乎為零率很小，幾乎為零,這情況被實(shí)際工作者稱(chēng)為這情況被實(shí)際工作者稱(chēng)為 “3 原則原則”（三倍三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則標(biāo)準(zhǔn)差原則）。）。結(jié)論結(jié)論：設(shè)：設(shè) X N( , 2)， 則則P (|X | k )的大小的大小與與 , 無(wú)關(guān)，只無(wú)關(guān)，只與與k有關(guān)有關(guān)二、均勻分布二、均勻分布定義：定義：若連續(xù)隨機(jī)變量若連續(xù)隨機(jī)變量X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 p(x) = 0 其它其它bxaab 1則稱(chēng)則稱(chēng)X X服從區(qū)間，服從區(qū)間，bb上的均勻分布。上的均勻分布。記做記做X XUa,bUa,bbaoxp (x)密度函數(shù)圖形密

13、度函數(shù)圖形其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為0 x aF(x) =bxaabax 1 b xoabx分布函數(shù)圖形分布函數(shù)圖形1F(x)2baX E12)(2abVarX 例：例：某公共汽車(chē)站從上午某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起時(shí)起,每隔每隔15分鐘來(lái)一輛車(chē)，若某乘客從分鐘來(lái)一輛車(chē)，若某乘客從7點(diǎn)到點(diǎn)到7點(diǎn)點(diǎn)30分分內(nèi)內(nèi)到達(dá)車(chē)站是等可能的到達(dá)車(chē)站是等可能的 ，試求他候車(chē)少于，試求他候車(chē)少于5 分鐘分鐘的概率的概率解：解：設(shè)乘客于設(shè)乘客于7點(diǎn)過(guò)點(diǎn)過(guò)X分鐘到站分鐘到站, ,則則X X服從服從0, 30上的均勻分布。上的均勻分布。X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 p (x) = 1/30/30 0 x 30 0 x 30)

14、3025()1510( XPXP3130130130 25 51 10 dxdx例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X服從服從(0,10)(0,10)上的均勻分布，先對(duì)上的均勻分布，先對(duì)X X進(jìn)行進(jìn)行4 4次獨(dú)立次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有觀測(cè)，試求至少有3 3次觀測(cè)值大于次觀測(cè)值大于5 5 的概率的概率. .解：解：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 Y是是4次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于5 的次數(shù)，的次數(shù)，所求概率為所求概率為P(Y 3)則則Y b(4,b(4, p p ),其中其中p=P(X5)P(X 5)X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1/10 /10 0 x 0其中其中 0為常數(shù)為常數(shù),則稱(chēng)則稱(chēng)X服從

15、參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布,記為記為 X Exp（ ）其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 ( )( )xxp t dt F 0 0 0 + 0 0 0 xxxdxedxxdxx 1- e- x x 00 x 0= = 指數(shù)分布?？勺鳛楦鞣N指數(shù)分布常可作為各種“壽命壽命”分布的近似，如電子分布的近似，如電子元件的壽命，動(dòng)物的壽命，電話問(wèn)題中的通話時(shí)間，隨機(jī)元件的壽命，動(dòng)物的壽命，電話問(wèn)題中的通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都常被假定服從指數(shù)分布。服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都常被假定服從指數(shù)分布。指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差0( )xXxp x dxxedx E Var(X)

16、222221()( )XX EE21 0( )00 xexXp xx 0 xxde 10 xe 1 220 xXx p x dxxedx 2E00 xxxeedx 20 xx de 2020 xxx exedx 22 02xxedx 設(shè)某日光燈管的使用壽命設(shè)某日光燈管的使用壽命X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 = 1/ /2000的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。(1) 任取一根這種燈管，求能正常使用任取一根這種燈管，求能正常使用1000小時(shí)以上的概率；小時(shí)以上的概率；(2) 有一根這種燈管，求正常使用了有一根這種燈管，求正常使用了2000小時(shí)后，還能使用小時(shí)后，還能使用 1000 小時(shí)以上的概率。小時(shí)以上的

17、概率。例例：X X的密度函數(shù)，分布函數(shù)分別為的密度函數(shù)，分布函數(shù)分別為(1) P(X X 1000) =1- - P(X X 1000)=1- - F(1000) = e - -1000 = e - -1/ /2 0.607解：解：1- - e- x x 00 x 0F(x)=(2)2/112/3)2000(1)3000(1)2000()3000()2000()2000)(3000( eeeXPXXXXXXPPPPP 0.607 p(x) =0 x 0 e- x x 0)2000|3000( XXP從本例可看出，一根燈管能正常使用從本例可看出，一根燈管能正常使用1000小時(shí)以上的概率為小時(shí)以上

18、的概率為0.607，在使用，在使用2000小時(shí)小時(shí)后還能使用后還能使用1000小時(shí)以上的概率仍為小時(shí)以上的概率仍為0.607。這是指數(shù)分布的一個(gè)有趣的這是指數(shù)分布的一個(gè)有趣的“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”或或無(wú)后效性無(wú)后效性。即只要即只要X服從指數(shù)分布，便有服從指數(shù)分布，便有P (X s + t| X s ) = P (Xt )，這表明：如果已知壽命長(zhǎng)于這表明：如果已知壽命長(zhǎng)于 s 年，則再活年，則再活 t 年的概率與年齡年的概率與年齡 s 無(wú)關(guān)，故稱(chēng)指數(shù)分布是無(wú)關(guān)，故稱(chēng)指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕永遠(yuǎn)年輕”的分布。的分布。若若 X xp( ),則則故又把指數(shù)分布稱(chēng)為故又把指數(shù)分布稱(chēng)為“永遠(yuǎn)年輕永遠(yuǎn)年輕”的分布

19、的分布)()(tXPsXtsXP指數(shù)分布的“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”事實(shí)上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts定理解解 (1)( )()TFtP Tt 0,01(),0tP Ttt ()( )0)P TtP N t 0()0!tttee 例例 假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為 t 的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)數(shù) N( t ) P( t), 求求(1)相繼兩次故障的時(shí)間間隔相繼兩次故障的時(shí)間間隔 T 的概率分布的概率分布;(2)設(shè)備已正常運(yùn)行小時(shí)的情況下設(shè)備已正常運(yùn)行

20、小時(shí)的情況下,再正常運(yùn)行再正常運(yùn)行 10 小時(shí)小時(shí)的概率的概率.0,0( )1,0ttF tet ( )TExp (2) 由指數(shù)分布的由指數(shù)分布的“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”)8108()818( TTPTTP1010110()()P TFe 四、伽瑪四、伽瑪分布分布如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 具有概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù) 0, 00,)()(1xxexxpx 則稱(chēng)則稱(chēng) X 服從伽瑪分布服從伽瑪分布, 記作記作 XGa(,). 其中其中00 為形狀參數(shù)為形狀參數(shù), ,00 為尺度參數(shù)為尺度參數(shù). . dxexx 10)( 其中其中稱(chēng)稱(chēng)為為伽伽瑪瑪函函數(shù)數(shù). 伽瑪函數(shù)的伽瑪函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì): )21(; 1)1()1()()1()2( 伽瑪分布的數(shù)學(xué)期望和方差伽瑪分布的數(shù)學(xué)期望和方差1)() 1( 0, 00,)()(1xxexxpxx dxxxpEX)( 0)(dxexx 0)()(1dxexx dxexx 10)( 其中其中)()()(10 xdexx 22) 1(1)()2(22222(1)()()()Var XE XE X dxxpxEX)(22 01)(dxe